當前位置：首頁 > 教育 > 正文

四步解題法（高中數學）3——實例示範1

本節我們用幾個具體例子，介紹“四步解題法”的實際操作過程（四步解題法的内容，請查閱前面的文章）。

首先要讨論的，就是在“四步解題法之整體框架”中談到的那個變異後的極值問題:

例1、已知x+2xy+4y=1，求x²+xy-x+2y的極小值。

【分析與解】 先“明确目标”：問題的目标狀态是“x²+xy-x+2y≥常數”。

經驗告訴我們，達到這一目标的常用方法是，通過換元或消元，使之化為一元函數的極值求解或利用基本不等式求解。

然後“尋找條件”：已知條件為x+2xy+4y=1，發現其功能是：式子x+2xy+4y可以換作常數“1” （整體消元）。

接着“發現差異”：比較兩個狀态的差異，發現目标狀态含有“xy+2y”，它與條件中的式子“x+2xy+4y”比較接近，但又不盡相同。

下面來“構造相同”：先将系數變得相同，這将“xy +2y”乘以2，即可變成條件中式子的一部分“2xy +4y”。再配上x，就可利用條件，整體式子換成1（消元）。于是想到下面的變形：

x²+xy-x+2y=[2x²+（2xy+4y+x）-3x]/2=（2x²-3x+1）/2。

至此，問題已被轉化為求（2x²-3x+1）/2的極小值，而這個問題是“已經”解決了的，故可實施解題方案。詳細解答留給讀者完成。

上面的分析過程告訴我們，解題的關鍵在于那種構造性的湊配，而這種湊配來源于對條件與結論間的差異的認識，隻要想到“構造相同”，以利用條件，解題便水到渠成。

顯然，在上面的分析過程中，我們隻進行了一個“循環”，就發現了解法，這是一個較易分析的例子。而且，一旦掌握了這種分析的本質，解題過程還可簡化。

實際上，我們隻須将條件式變形為xy+2y=（1-x）/2，然後代入所求極值的式子即可。這種局部性的構造，來源于對局部差異的認識。

例2、對一切實數x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=1，讨論f（x）的奇偶性。

【分析與解】 先明确目标：本題的目标是證明f（-x）=f（x）；或證明f（-x）=-f（x）；或以上兩式同時成立；或找到反例，說明以上兩式均不成立。

現在來尋找條件：題給條件為

f（1）=1，且f（x+y）=f（x）+f（y） ①

由于目标有多種可能，我們希望利用條件，否定其中一些可能，使目标變得更具體，這隻須找一個符合①的特殊函數來試驗。

取f（x）=x，此時f（x）為奇函數。又f（1）=1，從而f（1）不恒為0，不可能是“既奇又偶”函數。由此可知，我們的目标是，證明或否定

f（-x）=-f（x）。 ②

下面發現差異：觀察①與②，發現它們的差異是，目标②中不含y而含有“-x”。這樣，不難想到“構造相同”的方法是，在①中令y=-x。

于是，由①得f（0）=f（x）+f（-x） ③

繼續發現差異：再比較②與③，為了便于發現差異，我們把②改寫為0 =f（x）+f（-x）。

至此，問題已發生轉化，目标已變為證明或否定f（0）= 0。

現在進一步發現差異：再觀察條件①，發現⑤與①的差異是，⑤中不含x、y，于是，可在①中令x=y=0來消除差異，實現目标⑤。

于是，由①，得f（0）=f（0）+f（0），故 f（0）=0。

至此，問題已被解決，詳細解答留給讀者完成。

顯然，本題的分析過程中，進行了多個子循環：“明确目标，發現差異，構造相同”。

你可能想看：

初中數學11個模型解題法

數與式模型，方程模型，不等式模型，初等函數模型；函數綜合模型，輔助線模型，幾何變換模型；開放探究題模型；閱讀理解題模型。在幾何證明或計算問題中，從而利用有關性質去解題從而利用它們的相互關系解題本講主要...

初中數學解題秘籍——等量代換用得好，幾何解題無煩惱

初中幾何中的題目，絕大多數都離不開等量代換，命題人往往是聲東擊西，随時運用“就可以讓解題輕松起來。下面舉一個例子：此題如何充分運用等量代換呢？我們看下面的分析圖：數學解題因為其思路較多，容易沒有頭緒，...

班主任：高中數學這203條快速解題公式，逢考必出|是一輪複習寶典

這裡是高考知識庫。不單是數學的題型多，而且數學的考點也很多，有的同學甚至不知道數學的複習重點是什麼？接下來就是二輪複習，有的同學或許會說，數學公式就是死記硬背也要記下來，即使你真的背下來了，解題時還是...

高中數學丨解題思路「運用函數思想」六種方法再解取值範圍問題

函數是中學數學的一個重要概念，必修一中主要講了函數的概念、圖象和性質以及幾類典型的函數，函數思想是對函數内容在更高層次上的抽象、概括的思維，從函數各部分内容的内在聯系和整體角度來考慮和解決問題.函數思...

如何學好高中數學？關鍵是掌握7個數學思想，從根本上提高思維力

數學思想是道，函數思想，方程思想，數學思想的大道就是方程思想和函數思想，小道就是分類讨論思想，一定要看一看方程的個數，這就是方程思想的指導意義。因為隻有函數才能夠刻畫變量。這些本質都是函數，說白了都是...

初中數學：12個角度剖析初中數學旋轉模型（一）

【小結】本題考查了折疊的性質、旋轉的性質、勾股定理的應用，【小結】考查圖形的旋轉，【小結】此題主要考查了矩形的性質以及坐标與圖形的性質和等腰三角形的性質根據△ODP 是腰長為 5的等腰三角形進行分類讨...

初中數學72個解題思維與方法——巧思妙解篇

用常規方法解決不易奏效時，某些求代數式的值的題目。不易直接代入求解，需認真分析題目的特點，使問題巧妙獲解“數學問題中，如果已知關系式存在幾個變量，四、變換主元巧解題”變換問題中的主元。五、利用非負數的...

濃縮105個初中數學常考幾何模型輔助線添加技巧精髓以及解題思想

每年的中考數學題型都在千變萬化，這樣很難應對題型的變化。我們中考數學題庫成千上萬，真正到了中考到來，進入考場面對如此新題型隻會無動于衷，必然很難突破高分。無論是中考還是高考，要想在中考數學這個科目“我...

初中數學：因式分解解題技巧（第1講）-版本2

因式分解解題技巧（第1講），1.多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，是我們解決許多數學問題的有力工具.因式分解方法靈活，不僅是掌握因式分解内容所必需的，2.初中數學教材中主要介紹了提取公因...

初中數學找規律題的解題方法

經常出現數列的找規律題,一、基本方法——看增幅：（一）如增幅相等（此實為等差數列）,則第n個數可以表示為,(n-1)b為第一位數到第n位的總增幅.然後再簡化代數式a+(n-1)b.,也即增幅為等差數列...

【初中數學】動點軌迹問題解題攻略

掃描下面二維碼，動點軌迹問題是我們初中的重點内容，那動點軌迹問題有什麼方法呢，1.等邊三角形的動點軌迹（中位線路徑長）？3.矩形的動點軌迹（全等三角形“中位線），5.圓的動點軌迹（最值求邊長）6.圓的...

初中數學解題秘籍——與圓有關的最值

在《初中數學解題秘籍》系列文章裡，要讓每篇的标題具有一定的概括性，我就可以根據文章的标題歸類了，真正的解題秘籍就會呈現在我們的面前。今天的标題叫做《與圓有關的最值》，但它并沒有把與圓有關的最值講得系統...

高中數學公式大全，複習看這一份就夠了

https://m.toutiao.com/is/d3K4WH1/?=高中數學公式大全，高中數學想要考高分，首先第一步肯定是要基礎牢固，特别是公式要做到熟練的掌握，畢竟，記不住公式，就算做題有思路。那...

高中數學必修1 函數單對稱、雙對稱（證明思路、方法和技巧歸納）

則有y=f(x)=2b-f（2a-x）或者f(a+x)=2b-f(a-x)：∵f(x)上關于點（a,∴有2b-y=f(2a-x)，b）對稱的表達式是y=f(x)=2b-f（2a-x），也可表示為f(a...

高中數學幾何知識總結！高考“幾何知識考點”專項攻克！

高中數學是高考的重要拉分科目，因為種種原因數學成績就是提不上來，數學成績的後期提升會非常辛苦！隻有從根本下手數學知識才會提升的快速，就高中幾何知識就有：高中幾何知識類的題需要比較強的空間思維想象力，幾...

熬了整整七夜：我把高中數學曆年考點題型，提煉成479道 | 都是重點

這裡是高考知識庫。高中數學的重要性，數學在我們所有科目中，是屬于考點多，題型多，難點也多的科目，數學的學習，我們往往是付出最大的科目。有的同學數學成績一直都不好，要麼就是成績忽上忽下的，數學該怎麼去調...

高中數學：基本初等函數比較大小，從原理方法到例題詳解

如指數函數、對數函數、幂函數等比較大小的題目。今天我們把這種解題方法做一下比較詳細的總結：一、比較兩數大小常用的方法：1、中間值法或1/0比較法，然後在各部分内再利用函數性質比較大小．,所以在比較大小...

秒殺高中數學常考題型——外接球問題，外接球從此無難題

2019年全國一卷選擇壓軸題考察的是外接球問題，今天我們精講外接球問題：首先我們一起來學習（1）五種特殊的幾何體，第一部分、五種特殊的幾何體；其次我們一起來整理（2）外接圓柱的幾何體。特征是①底面有外...

6個步驟，學會高效的麥肯錫解決問題法

解決問題的7個步驟,問題的最終界定必須是明确且可執行的“三、将問題拆解為具體可執行的任務”對理清複雜問題的結構非常有幫助,進行一項較難的研究分析時淘汰不重要問題是掌握合理的工作風格的關鍵經常一一通過反...

高中無疑最難的科目就是數學了！而數學當中...

高中無疑最難的科目就是數學了！而數學當中最難的就是圓錐曲線，其中最難的7種大題題型！特别是圓錐曲線類的難題得分率都很好。下面是洪老師高考必備資料庫，高中數學60種熱點難點中關于圓錐曲線的大題彙總，完整...

超多數學動畫：高中、初中、小學！動态數學軟件GeoGebra教程彙總

本文有函數、概率、立體幾何、平面幾何、計算等多個内容，均是使用動态數學軟件GeoGebra制作而成。圓柱、圓錐、球、棱錐的體積公式：以及圓柱表面積、圓錐側面面積，三角形、平行四邊形、梯形、圓面積公式推...

初中數學輔助線.專題學習，很多學生在數學...

初中數學輔助線.專題學習，很多學生在數學幾何知識點上，來看看這6張圖，肯定會讓你豁然開朗起來！原來數學也挺簡單的！三角形4個輔助線定理非常基礎，一定要牢記在心！考試的時候經常出現，平行四邊形的5個輔助...

初中數學必須掌握的9種證垂直的方法（下篇：數學方法技巧歸納）

由直角三角形的定義與三角形的内角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，∠CAB＝∠ACB：cos∠CAB＝7/8，∵ ∠CAB＝∠ACB，又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為菱形，...

初中數學：證明兩條直線垂直的方法（上篇，數學方法技巧歸納）

BF分别平分∠DAB和∠ABC：∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，即∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠DEA＝∠EAB...

“尾闾中正神貫頂，氣透三關入泥丸”講一講松尾闾的四步功訣

能否練好垂尾闾的要害正在于尾闾下垂指向地面的地位能否正确。尾闾與指所在的聯機成一向後的斜線，大腿根内側松開，這一行動可以拔開腰骶關節。尾闾與指所在的聯機呈向前傾斜的直線，于是尾闾從下垂形态釀成向前扣的...

二十四山很好記，隻需四步讓你一輩子都忘不掉，零基礎一看就懂

由于前面【風水基礎三十講】中并沒有專門介紹，1、十二地支全部在廿四山當中出現。坎、離、震、兌這四正位置與十二地支的子午卯酉重合，剩下的乾坤艮巽則是加入廿四山當中，因此周邊的廿四山當中就不體現這兩個天幹...

教師資格考試備考材料分析題四步完美答題

教師資格考試備考材料分析題四步完美答題，材料分析題讓不少同學頭痛，從而需要一個清晰的思路做材料分析題非常的重要，今天從四步來學習解答材料分析題，在做材料分析題時，所以再做材料分析題時要先看問題，才能知...

x條件目标差異過程

上一篇
有關數字的英語成語

下一篇
身體好不好，全靠脾運化！有沒有脾虛，這幾個部位一眼看出來

有話要說...

最新文章

取消
掃碼支持 支付碼