【雜題】
1.難度:
将1到8這8個自然數分别填入如圖數陣中的8個圓圈,使得數陣中各條直線上的三個數之和都相等,那麼A和B兩個圓圈中所填的數之差(大數減小數)是______ 。 【答案】
設各條直線上的三個數之和都為s,那麼在五條直線上
5s=2(1+2+3+…+8)-B,即5s=72-B,
所以或
隻考慮斜着的兩條直線和橫着的一條直線又可得(1+2+3+…+8)+A=3s,
即36+A=3s,
因此有或,綜合有,
所以A和B兩個圓圈中所填的數之差(大數減小數)是4。
2.難度:
把1~2012這2012個自然數,按順時針方向依次排列在一個圓圈上,如圖所示,從1開始沿順時針方向,保留1,擦去2;保留3,擦去4;……(每隔一個數,擦去一個數),轉圈擦下去。求最後剩的是哪個數?
【答案】
如果是2個數1、2,最後剩下1;如果是3個數1、2、3,最後剩下3;如果是4個數1、2、3、4,最後剩下1;如果是5個數1、2、3、4、5,最後剩的是3;如果是6個數1、2、3、4、5、6,最後剩的是5;如果是7個數1、2、3、4、5、6、7,最後剩的是7;如果是8個數1、2、3、4、5、6、7、8,最後剩的是1……
可以發現當數的個數是2,4,8時,最後剩的都是1(操作的起始數)。這是為什麼呢?以8個數為例,數一圈,擦掉2,4,6,8,就相當于從1開始還有4個數的情況,4個數時,從1開始,數一圈,又擦掉2個,還剩從1開始的兩個數,擦掉1以外的數,最後剩1。
這樣,數的個數是16,32,64,…,2n時,最後剩的都是起始數1。
當數的個數是3時,擦去2,還剩2個數,最後應剩下此時的起始數3;數的個數是5時,擦去2,還剩4個數,最後也應剩下此時的起始數3……
根據以上規律,如果有18個數,擦去2、4,剩下16個數,再擦下去,最後應剩下此時的起始數5。就是說,擦去若幹個數後,當剩下的數的個數是2n時,此時的起始數就是最後剩下的數。
本題中,因為 =1024 , ,所以,且2012-1024=988,就是說,要剩個數,需要擦去988個數,按題意,每兩個數擦去一個數,當擦第988個數時,擦的數是988×2=1976,下一個起始數是1977,那麼最後剩的就應該是1977。 |
有話要說...