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正弦函數求導公式基本推導

以前背過正弦函數的求導公式,就是sin'x = cos x,可是總也沒推導過。這兩天看了很多網上的推導做法,簡直是誤人子弟。含糊不清的,曲線救國的,各種做法滿天飛,也是好笑。在這兒,我盡量地再仔細地推導一遍,本着“為往聖繼絕學”的遠大理想,為偉大的科普事業添磚加瓦罷。

函數式求導公式的推導是有一個基本原則的:用極限的手段,推導函數式在自變量變化的同時,因變量的變化趨勢。用幾何中的說法就是,導式就是斜率的函數式。

廢話不多說,以下正弦函數的求導公式證明,會用到、、三角函數的幾何特性和高等數學的等手段,來做一次“步驟無跳躍”的推導。


第一階段的推導:


上圖中第一行是求導公式的定義,第二行是借助了三角函數的(如下)


第三行是簡單化簡,第四行推導的理由是第三行中的因式可如下推導


至此,第一階段推導的結果歸結到求下式的值

這個式子的值等價于

這個式子中除了△x外并沒有其他變量,所以這個式子的值是一個常數(其實就是sin’(0)的值)。求得這個常數,就能得到正弦公式的導式了,我們把這個求值過程交給第二階段來做。


第二階段的求解:

其實第一階段最後的式子,是需要使用夾逼定理和一些幾何特性來證明的,不可以用任何微積分的結果來證明這個式子的值。

我不重複解釋了,直接搬來維基的答案,如下:


怎麼樣,這份答案夠詳細了吧。不過啊不過,這份維基的推導中,有一行,我是無論如何都沒弄明白為啥會直接列出來,就是那句arcAD

那麼,有沒有嚴謹的做法來證明:當0<θ<π/2時,線段AE比弧AD長。呵呵,這就是我的答案和網上大部分答案不同的地方了,兄弟我啊,證明出來了,嘻嘻。請大家來繼續看最後一階段的證明好了。


第三階段的證明:

想要證明線段AE比弧AD長呢,需要先做一條輔助線,做法是過D點做一條線段與OD垂直且與線段AE交于點I,得到一條線段ID,如下圖:

注意,圖中三角形IDE是一個直角三角形,其中∠IDE是直角,根據直角三角形特性斜邊長于直角邊可得IE>ID,所以,AE = AI + IE > AI + ID。那麼,證明AI + ID大于弧AD就可以了。

從直覺來說,我覺得AI + ID是大于弧AD的,但是,就像上面說的,數學求解是不能靠直覺的,那怎麼辦呢?有辦法,看下圖:

連接IO,交弧AD于點J,然後過J做弧AD的切線交AI和ID于點K、L,于是得到上圖。從這個圖裡容易得到一個結論:AI + ID > AK + KJ + JL + LD(在三角形KIL中,利用兩點之間線段最短原理可得)。

直覺告訴我AK + KJ + JL + LD還是長于弧AD的,可我還是得繼續證明才行。所以,我在四邊形AOJK和四邊形DOJL中重複剛才在四邊形AODI中的做輔助線的做法,繼續繪制輔助線,可以得到新的四個子四邊形,然後再在新的子四邊形中重複做輔助線的做法,可以得到新的八個子四邊形,然後再在新的子四邊形中重複做輔助線的做法,可以得到新的十六個子四邊形……當我畫到1024個子四邊形的時候,我的眼睛,我的胃,我的手,我的腰,都感覺到強烈的不适,上吐下瀉涕泗橫流啊……

然而,我發現直覺總是成立的。每條新做的切線的連線都比上一次的輔助切線要短,而且切線連起來越來越逼近弧AD了。

随着腦海中一句“智商上線中”的彈幕閃過,我想起了一個數學家的名字——劉徽。這位數學大佬的經典之一就是發明了割圓術。

回過頭來看,一遍遍畫輔助線的做法不正是在割圓麼?根據極限的思路,輔助線畫到無窮遍的時候,切線之和自然就是弧長了啊。

于是倒推回來可證,弧長AD < AI + ID,于是,第三階段得證。


The end.

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