【立體幾何】平行證明的四大必殺技!
類型一
根據已有平行關系證平行
例題1：已知四棱錐P-ABCD，且G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，且有BC∥平面GEFH，證明GH∥EF。 證明： ∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF 且BC⊂平面ABCD ∴BC∥EF ∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC ∴平面EF∥平面PBC ∵平面EFGH∩平面PBC=GH ∴EF∥GH 例題2：如圖，三棱台DEF-ABC，AB=2DE，且G，H分别為AC，BC的中點，求證：BD∥平面FGH。證明：
在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE 且H為BC的中點， ∴BH∥EF，且BH＝EF ∴四邊形BHEF是平行四邊形 又G是AC中點，H為BC的中點， 根據三角形中位線可得： GH∥AB，又GH∩HF=H ∴平面FGH∥平面ABED ∵BD⊂平面ABED ∴BD∥平面FGH 變式：如圖所示，在三棱錐P-ABQ中， D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中點， PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH，求證AB∥GH。
類型二
利用三角形的中位線證平行 例題：如圖，四棱錐P-ABCD，AD∥BC，且AD=2BC，且E，F分别為線段AD，PC的中點，求證：AP∥平面BEF。 證明： 連接AC，CE，且AC與BE相交于點O，連接OF，如下圖： ∵AD∥BC，且AD=2BC， 且E是AD的中點，可得： 四邊形ABCE是平行四邊形 ∴O是AC的中點，又F是PC的中點 ∴OF是△ACP的中位線 ∴OF∥PA ∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF ∴AP∥平面BEF 變式：如圖，直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 ，點M，N分别為A 1 B和B 1 C 1 的中點，求證：MN∥A 1 ACC 1
類型三
利用平行四邊形的性質證平行
例題1：在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E為PD的中點，求證：AE∥平面PBC。 證明： 取PC的中點F，連接EF，BF，如下圖：∵E，F分别是PD，PC的中點 ∴EF∥CD，且CD=2EF 又AB∥CD，且CD=2AB ∴AB∥EF，且AB=EF 即四邊形ABFE是平行四邊形 ∴AE∥BF 又AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC ∴AE∥平面PBC 例題2：如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側面BCC1B是矩形，AB=A1B，N是B 1 C的中點，M是棱AA1上的一點，且AA1⊥CM，證明：MN∥ABC 證明： 連接BM，取BC得中點P，連接AP，NP，如下圖： ∵BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1， ∵AA1∥BB1∴AA 1 ⊥BC ∵AA1⊥MC，BC∩MC=C， ∴AA 1 ⊥平面BCM ∴AA1⊥MB ∵AB=A1B ∴M是AA1的中點， 又P，N分别是CB，CB 1 的中點， 由三角形的中位線可得： NP∥BB 1 ，且BB 1 =2NP ∴NP∥MA，且NP=MA ∴四邊形AMNP是平行四邊形 ∴MN∥AP ∵MN⊄平面ABC，AP⊂平面ABC ∴MN∥平面ABC 變式：如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=3，BC=4，且M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點，證明：MN∥平面PAB。
類型四
利用向量法證垂直
1 利用平面法向量 利用法向量證明直線與平面平行的基本原理為： 若平面外一條直線的方向向量垂直于此平面的法向量，則該向量與此平面平行。 即若法向量n⊥平面ɑ，且法向量n ⊥向量 a ，則向量a∥平面ɑ 例題：如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1=4，AB=2，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中點，證明：MN∥C1DE 證明： 以D為原點，以DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐标系如下：根據AA1=4，AB=2，可得點的坐标如下： D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，4) M(2，2，2)，N(1，0，2) 則有：
2利用向量共面定理
向量共面定理： 已知向量a，向量b，向量c兩兩不共線，若存在實數x，y，使得向量c=xa+yb，則向量a，向量b，向量c共面。具體如下動圖所示： 備注： 因為向量是可以移動的，所以幾個向量共面不代表向量所對應的直線是相互共面的。例題：如圖所示四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=4,PA=2，E為PD的中點，證明：PB∥平面AEC
證明： 以A為原點，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐标系如下：
根據AB=4， PA=2，可得點的坐标如下： A(0，0，0)，P(0，0，2) ，B(4，0，0) D(0，4，0) ，C(4，4，0) ∵E為PD的中點， ∴E(0，2，1)
3利用平面向量共線定理
平面向量共線定理：不共線的兩條直線所對應的向量分别為向量a，向量b，若向量a=λb，則向量a∥向量b 接下來用平面向量共線定理再解上面用法向量求解的例題 例題：如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1=4，AB=2，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中點，證明：MN∥C1DE
證明： 以D為原點，以DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐标系如下：
根據AA1=4，AB=2，可得點的坐标如下： D(0，0，0)，E(1，2，0) M(2，2，2)，N(1，0，2) 則有：
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