行程問題-柳卡圖
1、關于柳卡圖
在十九世紀的一次國際數學會議期間，有一天，正當來自世界各國的許多著名數學家晨宴快要結束的時候，法國數學家柳卡向在場的數學家提出困擾他很久、自認“最困難”的題目：“某輪船公司每天中午都有一艘輪船從哈佛開往紐約，并且每天的同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛。輪船在途中所花的時間來去都是7晝夜，而且都是勻速航行在同一條航線上。問今天中午從哈佛開出的輪船，在開往紐約的航行過程中，将會遇到幾艘同一公司的輪船從對面開來?”
此題的叙述如下：
每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛．輪船在途中均要航行七天七夜．試問：某條從哈佛開出的輪船在到達紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開來的輪船？
他先畫了如下一幅圖：
這是一張運行圖．畫兩條平行線，一條直線表示哈佛，另一條表示紐約．那麼，從哈佛或紐約開出的輪船，可用圖中的兩組平行線簇來表示．圖中每條線段分别表示每條船的運行情況．粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點即為與對方開來輪船相遇的情況．
從圖中可以看出，某天中午從哈佛開出的一條輪船（圖中用實線表示）會與從紐約開出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）．而且在這
相遇的15艘船中，有1艘是在出發時遇到（從紐約剛到達哈佛），1艘是到達紐約時遇到（剛好從紐約開出），剩下13艘則在海上相遇；另
外，還可從圖中看到，輪船相遇的時間是每天中午和子夜．如果不仔細思考，可能認為僅遇到7艘輪船．這個錯誤，主要是隻考慮以後開出
的輪船而忽略了已在海上的輪船．
2、在多次相遇裡的行程問題應用 多次相遇行程問題的必備工具——柳卡圖。柳卡圖，也稱為折線圖，可以很好的解決複雜的行程問題。快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數交點個數即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現運動過程中“相遇的次數”，“相遇的地點”，以及“由相遇的地點求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少。
其中相遇”兩字廣義上講，隻要兩人在同一地點就算相遇，因次分為兩種情況，一種叫做迎面相遇（即我們平時說的相遇問題），一種叫做追及相遇（即我們平時說的追及問題），一般題目說的相遇，我們默認指的是迎面相遇，若題目說隻要兩人在同一地點算做一次相遇，那麼這時兩種情況都要算
例7】甲、乙兩人在一條長90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他們同時分别從直路的兩端A、B出發，當他們跑了12分鐘後，共相遇幾次？
【解析】多次相遇，先計算甲乙兩人分别走一個全程需要的時間:甲需要30秒，乙需要45秒。而後作如下所示的柳卡圖，甲用實線表示，乙用虛線表示。
在180秒内，甲、乙共相遇5次，最後又回到出發的狀态。所以甲、乙共相遇了[12÷（180÷60)]×5=20（次）
【補充】
甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他們同時分别從直路的兩端出發，當他們跑了10分鐘後，共相遇幾次？
首先，甲跑一個全程需要30÷1=30（秒），乙跑一個全程需要30÷0.6=50（秒）．與上題類似，畫運行圖如下（實線表甲，虛線表示乙，那麼實虛兩線交點就是甲乙相遇的地點）：
從圖中可以看出，當甲跑5個全程時，乙剛好跑3個全程，各自到了不同兩端又重新開始，這正好是一周期150秒．在這一周期内兩人相遇了5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個周期，也就相遇5×4=20（次）
備注：一個周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇。
以上即為關于柳卡圖的補充和說明，主要是用于解決多次相遇的一些技巧。關于柳卡圖的應用，我們在五年級還将在做補充，把它和“沙漏模型”結合起來學習，到時用來求解距離。若有興趣者，可以參看我們這一期五年級“2013小升初行程綜合”裡的一些題目。
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