一道初中幾何題，費了我一個月時間，終于解出來了
題目看着賊簡單：如圖∠A＝60°，∠EBC＝∠DCB＝30°，求證BD＝DE＝EC。
剛看這道題，覺得應該挺簡單的，圖形也不複雜，等腰、全等變換幾次，應該就可以了。沒想到整了一個月才算有結果了，中間也參考大神“共圓”的思路，但發現過程不嚴謹，禁不住推敲。
最終證明如下：
在BE上取一點G，使∠GCB＝∠DBC
∴∠GCB－30°＝∠DBC－30°
即∠GCF＝∠DBF
∵BC＝BC
∴△GCB≌△DBC（角邊角）
∴GC＝DB
∠EGC＝∠GFC＋∠GCF
＝∠FBC＋∠FCB＋∠GCF
＝60°＋∠GCF
∠GEC＝∠A＋∠DBF
＝60°＋∠DBF
∴∠EGC＝∠GEC
∴EC＝GC
∴DB＝EC
再分别作DH⊥BC、EI⊥BC，BE和DC于點H、I
∠FEI＝90°－∠FBC＝60°
∠EFI＝∠FBC＋∠FCB＝60°
∴△EFI為等邊三角形
同理可知△DFH也是等邊三角形
∠CEI＝∠CEB－∠FEI
＝∠CEB－60°
＝∠A＋∠DBH－60°
＝∠DBH
∠BDH＝∠BDC－∠FDH
＝∠BDC－60°
＝∠A＋∠ECI－60°
＝∠ECI
∴△BDH≌△ECI（角邊角）
∴BH＝EI＝EF
∵DH＝DF
∠DHB＝∠DFE＝180°－60°
∴△DHB≌△DFE（邊角邊）
∴DB＝DE
∴BD＝DE＝EC
我看一眼，兩分鐘就有思路了，就連一個AF。
首先以F為圓心，FB為半徑作圓F，則因為∠BFC=120°，∠A=60°，A一定在圓F上（圓周角的逆定理，角度滿足兩倍關系與在圓上互為充要條件），推出FA=FB，∠DAF=∠DBF。
又因為∠DFE=120°，∠A=60°，推出ADFE四點共圓（同一弦在兩側圓周角互補與四點共圓也是互為充分必要條件，可以互證），推出∠DAF=∠DEF。
綜上可得∠DBF=∠DAF=∠DEF，所以DB=DE。
CE同理
如圖，角DFE=角BFC=120度，
角DAE=60度，所以DFEA四點共圓，再做三角形的外接圓，F為圓心，這樣就很容易證得BD=DE=EC
角EFC=60，以FC為邊構造等邊三角形，證明一次全等，以FE為邊再構造一個等邊三角形，再證明一次全等。太簡單了啊
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