歐拉對“級數”的研究，發現了其他數學家幾十年未能發現的結論
數學史上級數出現得很早，在兩千多年前人們就有了粗糙的級數思想。古希臘時期，亞裡士多德就知道公比小于1（大于零）的幾何級數可以求出和數。芝諾的二分法涉及到把1分解成無窮級：
阿基米德在《抛物線圖形求積法》一書中，使用幾何級數去求抛物線弓形面積，并且得出了級數：
中國古代《莊子·天 下》中的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”含有極限的思想，用數學形式表達出 來也是無窮級數。
到了中世紀，由于數學家和哲學家對一些涉及到無窮思想的悖論展開了激烈的争論，使得關于無窮級數的研究開展起來。最具代表的是法國數學家奧雷姆用最初等的方法證明了調和級數：
是發散的，用現在的形式可表示為：
中世紀的級數理論，從本質上看沒有突破性進展，它的主要貢獻并不在于所得到的具體結果，而是在于促使人們接受一種新的觀點，即在數學中可以自由的承認無限過程。這對後來理解無窮過程做了鋪墊，為形式化處理級數奠定了思想基礎。
早期數學家僅憑直覺就認為級數是可以收斂的，并将級數從有限項自然地拓展為無限項使用，這導緻了有限法則無限拓展的産生。17世紀，伴随着微積分的産生，許多數學家通過微積分的基本運算與級數運算的形式化結合，得到了一些初等函數的幂級數展開式，并且級數在解析運算中被普遍用來代表函數而成為微積分的有力工具，這就使得無窮級數成為微積分不可缺少的部分。
1669年，牛頓在他的《用無限多項方程的分析學》中，用級數反演法給出了sinx，cosx的幂級數，arcsinx，arctanx和e^x的級數展開。格雷戈裡得到了tanx，secx等函數的級數，萊布尼茨也在1673年獨立地得到了sinx，cosx和arctanx等函數的無窮級數展開式，以及圓面積和雙曲線面積的具體展開式。在微積分的早期研究中，有些函數如指數函數等超越函數的處理相當困難，然而人們發現，若用它們的級數來處理，則非常有成效。因此，無窮級數從一開始就是萊布尼茨、牛頓等人微積分工作的一個重要部分。有時使用無窮級數是為了計算一些特殊的量，如π和e以及求隐函數的顯式解。
17世紀後期和18世紀，為了适應航海、天文學和地理學的發展，擺在數學家們面前的問題之一是函數表的插值。由于對函數表的精确度要求較高，數學家們開始尋求較好的插值方法，牛頓和格雷戈裡給出了著名的内插公式：
1715年泰勒發表了《增量方法及其逆》，奠定了有限差分法的基礎。17世紀，牛頓、萊布尼茨等人曾研究過有限差分問題，泰勒的工作則使有限差分法從局限的方法（如二項式定理、有理函數的長除法、待定系數法等等）過渡到了一般的方法。這本書中他給出了單變量幂級數展開的著名公式，即泰勒級數：
泰勒是第一個發表此級數的人，但他不是第一個發現此級數的數學家。在他之前格雷戈裡、牛頓、萊布尼茨、約翰·伯努利和棣莫弗等數學家都研究過此級數。例1717年泰勒運用這個級數求解方程，取得了很好的結果，但是他的證明是不嚴格的而且沒有考慮收斂問題，在當時影響并不太大。直到1755年，歐拉在微分學中将泰勒級數推廣
應用到多元函數，增大了泰勒級數的影響力，随後拉格朗日用帶餘項的泰勒級數作為函數論的基礎，才正式确立了泰勒級數的重要性。後來麥克勞林重新得到泰勒公式在口=0時的特殊情況，現代微積分教材中一直将這一特殊情形的泰勒級數稱為“麥克勞林級數”。
詹姆斯伯努利與約翰伯努利在級數方面做了大量的工作。詹姆斯伯努利在1689到1704年間撰寫了5篇關于無窮級數的論文，成為當時這一領域的權威，這些論文的主題是關于函數的級數表示及其求函數的微分與積分，求曲線下面積和曲線長等方面的應用，所有這些級數的應用是對微積分的重大貢獻。
歐拉對級數的研究
随着級數理論的發展，原始的級數思想已經不能解釋一些級數，例如漸近級數，循環級數，連分數等等。這使得許多數學家們采用更加形式化的方法來解決級數的問題，歐拉就是其中一位。歐拉的工作非常廣泛，他把無窮級數由一般的運算工具轉變為一個重要的研究科目，使得無窮級數的應用和發展到了另一個高度，為後來無窮級數理論的發展奠定了堅實的基礎，并為我們展示了許多精妙的思想，留下了深刻的啟示。下面從幾個方面讨論歐拉的級數思想。
歐拉對級數收斂和發散的認識
形式化觀點在18世紀無窮級數的工作中占統治地位，級數被看成是無窮的多項式，并且被當作多項式來處理，對其收斂和發散的問題沒有深入研究。歐拉多少意識到收斂性的重要，他也看到了關于發散級數的某些困難，特别是用它們進行計算時産生的困難。歐拉将收斂級數定義為，“級數的項不斷地減小，當級數的項數趨于無窮時，它的項完全消失，這樣的級數被稱為收斂級數”“發散級數則就是那些不是收斂級數的級數，即級數項為某個不為零的有限量或趨于無窮的級數。在級數理論研究中，歐拉還運用了一個原則：若級數的部分和是無窮小的，則級數是收斂的。這個原則看起來像柯西準則的非标準版，但卻是以一種現代的方式來發現收斂級數與發散級數的差别。歐拉關于收斂級數的定義是不能令人滿意的，歐拉也認識到這一點。因為歐拉曾研究過一些級數，級數的項越來越接近于，但和卻趨于無窮，如調和級數，歐拉關于這類級數也進行了研究。
調和級數
在18世紀，伴随着級數理論不斷發展，各種初等函數的級數展開陸續得到，并在解析運算中被普遍用來代表函數而成為微積分的有力工具。但對于級數理論本身而言，其中最具啟發性的工作是關于調和級數和為無窮的證明。調和級數的讨論引起了學者們對發散級數的興趣并産生了許多重要的結果。
歐拉研究了調和級數：
并能夠用對數函數求調和級數的有限項地和。
歐拉是從
出發，于是
帶入x=1,2,3，……n就得出
各式
相加，并注意到每一個對數項是兩個對數之差，就得到：
或
其中C表示無窮多個有限算術的和，歐拉近似的計算過C的值，并得到C=0．57721566490153286060651209……這個C現在通稱的歐拉常數，用γ（gamma）表示。這是繼π、e之後的又一個重要的數。γ的一個更精确的表示，今天是如下得到的。
上式中，兩邊減去logn得到：
當n一∞時它趨于0。
因此
得到了這個關于y的最簡單的表達形式，到目前為止，關于γ的性質還沒有弄清楚（是否是代數數，是否是超越數）。
巴塞爾問題 歐拉在數學領域獲得的第一個 令人注目 的成績就是在1735年解決了巴賽爾問題。巴賽爾問題是指求整數倒數的平方和問題，即： 巴賽爾問題是由法國數學家門戈利在1644年提出的，後來這個問題被雅各布伯努利于1689收錄在一本名為《沒有結論的無窮級數》的書中，并引起了數學家們的廣泛關注。 許多數學家都進行過探讨，雖然大家試圖考察這類級數的收斂性，但都沒有給出級數和的精确值，均以失敗告終，其中包括奧雷姆、萊布尼茨、彼得羅·門戈利、雅各布伯努利和約翰伯努利。 1731年，24歲的歐拉從他的老師約翰．f白努利那裡聽說了這個難題，經過一年的反複研究，發現了解開這個謎的鑰匙，他興奮的寫道： …完全意想不到，我發現了基于π的一個絕妙公式。 歐拉一共用四種不同的方法來解決 巴賽爾問題 ，最著名的是第三種方法。 歐拉解決這個難題的兩個重要環節是：利用正弦函數的泰勒展開，把正弦函數表達為無窮多項式；研究一般的代數有限多項式的性質，将其推廣應用到無窮多項式，即将其形式化處理。 首先歐拉給出一個玎階多項式p(x)，這個多項式滿足有n個非零根a1,a2,a3,…，an。且p(0)=1，即有： 歐拉令： 再将正弦函數sinx進行泰勒展開得到： 則得到： 當x≠0時， 所以p(x)=0(x≠0)的解等價于sinx=0的解，為x=±kπ，k=1，2，… 則： 即有： 成立。歐拉得到的這個等式非常重要，是解決這個問題的關鍵。接着，歐拉将這個等式的右端展開，得到： 再根據系數相等，得到 即 在這個過程中，很明顯能夠看出歐拉處理級數的形式化方案，通過這兩個重要環節相結合使用，歐拉發現了其他數學家幾十年未能發現的結論。 歐拉的工作非常重要，特别是關于整數乘方倒數與萬之間的巧妙關系，是人類認識的一大進步。
巴塞爾問題 歐拉在數學領域獲得的第一個 令人注目 的成績就是在1735年解決了巴賽爾問題。巴賽爾問題是指求整數倒數的平方和問題，即： 巴賽爾問題是由法國數學家門戈利在1644年提出的，後來這個問題被雅各布伯努利于1689收錄在一本名為《沒有結論的無窮級數》的書中，并引起了數學家們的廣泛關注。 許多數學家都進行過探讨，雖然大家試圖考察這類級數的收斂性，但都沒有給出級數和的精确值，均以失敗告終，其中包括奧雷姆、萊布尼茨、彼得羅·門戈利、雅各布伯努利和約翰伯努利。 1731年，24歲的歐拉從他的老師約翰．f白努利那裡聽說了這個難題，經過一年的反複研究，發現了解開這個謎的鑰匙，他興奮的寫道： …完全意想不到，我發現了基于π的一個絕妙公式。 歐拉一共用四種不同的方法來解決 巴賽爾問題 ，最著名的是第三種方法。 歐拉解決這個難題的兩個重要環節是：利用正弦函數的泰勒展開，把正弦函數表達為無窮多項式；研究一般的代數有限多項式的性質，将其推廣應用到無窮多項式，即将其形式化處理。 首先歐拉給出一個玎階多項式p(x)，這個多項式滿足有n個非零根a1,a2,a3,…，an。且p(0)=1，即有： 歐拉令： 再将正弦函數sinx進行泰勒展開得到： 則得到： 當x≠0時， 所以p(x)=0(x≠0)的解等價于sinx=0的解，為x=±kπ，k=1，2，… 則： 即有： 成立。歐拉得到的這個等式非常重要，是解決這個問題的關鍵。接着，歐拉将這個等式的右端展開，得到： 再根據系數相等，得到 即 在這個過程中，很明顯能夠看出歐拉處理級數的形式化方案，通過這兩個重要環節相結合使用，歐拉發現了其他數學家幾十年未能發現的結論。 歐拉的工作非常重要，特别是關于整數乘方倒數與萬之間的巧妙關系，是人類認識的一大進步。
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