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認知即思索:什麼是洛希極限?(上)

許多人受科幻小說的影響,對洛希極限産生了誤解,提起洛希極限,我們就不得不說明潮汐力,慣性力和萬有引力以及星體解體之間的各種關系。

地球是一個離心率很小的橢球體,這是人盡皆知的事情,離心率近似為(肉眼看上去長得和球沒什麼兩樣)。它之所以是橢球體,主要原因是地球上所有質點都繞軸旋轉,從而産生了慣性離心力。

當然它也受到月球和太陽等引力的影響,但相對于地球自轉來說都次要因素。

說了上面這一大堆,這和洛希極限有什麼關系呢?

我們在分析和推導過程中,總是把不規則的隕石/彗星看做“橢球體”,而實際上它往往是不規則的。有些人認為洛希極限是造成隕石裂解的原因,這樣說有些草率,原因在于沒有考察初始條件是什麼,以及對公式的片面理解。還有人令“潮汐力和萬有引力相等去求洛希極限,我們就先說一下什麼是潮汐力

潮汐現象主要是月球造成的(太陽也能造成潮汐力,不如月球強烈)。如圖 2,我們設地球半徑為 re,地球質量為Me,月球的質量為Mmoon .地心到月心的距離為r地月,定性地看就能知道赤道附近的潮汐力最強。

兩點差值為:

人們在作近似處理的時候,直接令這個差值

筆者認為這樣存在許多問題。原因是把地球近似成了一個“水球”,實際上海洋隻覆蓋了地球很淺的一部分,這個差值明顯小于r地。甚至不需要用差值解釋,對于扁橢球的地球,越是靠近月球的海水Δm,其引力就越大,所形成的落差如下圖所示(用引力勢的辦法也可以導出該矢量圖):

許多人寫公式,隻是做些加減微積草草了事,卻不去仔細思考那些公式究竟意味着什麼,也不去嚴格地讨論其适用範圍究竟是什麼:該公式是在什麼前提條件下導出的,推導過程中做了何種近似?又有哪些具體的限制其成立的條件?有些人甚至用一種條件下導出來的公式,直接去解釋另一個條件下的現象,這樣做的後果是可想而知的。比如人們在推導所謂的剛性洛希極限就經常犯張冠李戴的謬誤。

我們拿地球作為例子,設地球質量為M,某個外天體的質量為M外,當地球中心到該天體中心的距離為R時,質量為Δm的物體剛好将要脫離地球表面,忽略地球的自轉,則有:

首先,這裡R必須遠大于r地,因為如果該距離地球相對很近的時候,地球上物體的受到的就不再是标準的潮汐力而是小于萬有引力

但又大于潮汐力

的引力,這時,大天體不規則的幾何形狀不能再作為簡單質點去對待。同時,我們還應當注意,如果上面的等式能夠成立,必須滿足,原因正是因為R遠大于r地:

如果上面的條件都成立,再令

,解這個等式就能得到:

這就是剛體洛希極限

我們應當注意,它并不能說明“小行星撞擊地球時,洛希極限可以有效防止小行星的裂解。”這件事。原因就在于該公式僅來源于描述大質量天體(比如太陽)對地球的影響。

那麼什麼可以解釋小行星相關呢——我們必須用到所謂的“流體洛希極限”。它可以用來描述小行星/隕石/彗星的裂解問題。當然,它也可以描述大質量天體(隻不過大質量天體不斷靠近的問題在太陽系裡是不存在的,也隻有科幻小說裡才能出現,比如流浪地球裡講的木星-地球洛希極限(但電影裡講的10^7km是錯誤的,正确結果應該是10^5km。 至于什麼是流體洛希極限,我們會在下一章講到。

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