大家好!本文和大家分享一道2022年高考全國乙卷數學真題。這道題是2022年高考乙卷文科數學的壓軸題,同時也是乙卷理科數學的第20題。這道題考查了橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系、直線過定點等知識,整體來說難度還是不小,全班的正确率不到20%。
先看第一小問:求橢圓的方程。
求橢圓方程的最常用方法就是待定系數法,也就是先設出橢圓的标準方程,再求出參數的值即可。
但是,如果直接設橢圓的标準方程,那麼需要先知道橢圓焦點所在的位置。本題中沒有告訴焦點在x軸還是y軸上,所以就需要分為焦點在x軸和y軸上兩種情況進行讨論。
為了避免分類讨論的麻煩,我們可以設橢圓的方程為mx^2+ny^2=1,其中m、n均為正數。然後将題幹中的兩個點的坐标代入,從而可以求出m、n的值,接着再轉化為橢圓的标準方程即可。
這樣設方程就不需要讨論焦點在x軸或者y軸上。如果m>n,則焦點在y軸上;如果m<n,則焦點在x軸上。
再看第二小問:證明直線過定點。
證明直線過定點,常用的思路有兩個:
一是先通過特殊情況找出直線所過的定點,然後證明在一般情況下直線也過該定點。
二是直接表示出該直線的方程,然後通過變換證明出該直線過一個定點。
這兩個思路一般都能證明出直線過定點,但是如果能快速找到特殊情況下的定點,那麼優先考慮第一個思路。
比如本題中,由點A、B的坐标可以求出直線AB的方程為y=2x/3-2,而特殊情況就是直線PM斜率不存在時,即直線PM的方程為x=1。在這種情況下,很容易就可以求出點M、N、H的坐标,從而得到直線HN的方程。求出直線HN的方程後,在轉化為點斜式,這樣就可以證明直線HN過定點。
再看一般情況下,即直線PM斜率k存在時,先表示出直線PM的方程,再與橢圓方程聯立,消去y,就可以得到一個關于x的一元二次方程。接下來就可以根據韋達定理得到x1+x2、x1x2、y1+y2、y1y2、x1y2+x2y1的表達式。接下來根據兩向量的關系,就可以得到點T、H的坐标,從而表示出直線HN的方程。然後,将特殊情況下得到的定點坐标代入直線HN的方程,并将韋達定理得到的關系代入即可判斷直線HN過定點。
當然,本題也可以按照第二條思路求解。根據題意,直線PM的斜率不可能為零,所以可設直線PM的方程為x=λx+2λ+1。聯立直線方程和橢圓方程,可以求出點M、N的坐标,從而進一步求出點T、H的坐标,這樣就可以表示出直線HN的方程。接下來再變換,找到所過的定點即可。
有話要說...