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初中中考幾何常見模型圖及結論

啟示号
教育
2年前
230

初中幾何的學習離不開圖形的繪制，作圖本身就是就是一個分析思考的過程.在學習幾何的過程中，還應把常見、常用到的基本圖模型化，通過不斷的作圖練習、結論證明，才能見一想多，最終利用“順其自然法”由條件到結論.

以下是最近整理的初中幾何學習中常見到的基本圖形及結論，大多數知識點也通過動态圖形加以展示，強化運動規律.借此機會，感謝大家的關注與分享，如有不對地方，也請加以指正.

8字模型與飛镖模型 模型1 角的8字模型

條件： AC、BD相交于點O,連接AD、BC.

結論：∠A+∠D=∠B+∠C.

小結：(1)因為這個圖形像數字8，所以我們把這個模型稱之為8字模型.

(2)8字模型往往在幾何綜合題中推導角度時用到.

模型2 角的飛镖模型

如圖所示 結論： ∠D=∠A+∠B+∠C.

小結：(1)因為這個圖形像飛镖，所以我們把這個模型稱之為飛镖模型.

(2)飛镖模型往往在幾何綜合題中推導角度時用到.

模型3 邊的8字模型

條件： 如圖所示，AC, BD相交于點O,連接AD、BC. 結論： AC+BD>AD+BC.

模型4 邊的飛镖模型

如圖所示

結論： AB+AC=BD+CD.
角平分線模型

模型1 角平分線上的點向兩邊作垂線

條件： 如圖，P是∠MON的平分線上一點，過點F作PA⊥OM于點A, PB⊥ON于點B. 結論： PB=PA.

小結： 利用角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口.

模型2截取構造對稱全等

條件： 如圖，P是∠MON的平分線上一點，點 A 是射線OM上任意一點，在ON上截取 OB =OA，連接PB. 結論： △OPB≅△OPA.

小結： 利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構造對稱全等三角，可以得到對應邊、對應角相等.利用對稱性把一些線段或角進行轉移，這是經常使用的一種解題技巧.

模型3角平分線+垂線構造等腰三角形

條件： 如圖，P是∠MON的平分線上一點，AP⊥OP于 P 點,延長 AP 交 ON 于點 B . 結論： △AOB是等腰三角形.

小結：構造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進

而得到對應邊、對應角相等.這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯系在一起.

模型4角平分線+平行線=等腰三角形

條件： 如圖，P是∠MON的平分線上一點，過點P作 PQ //ON,交OM于點Q, 總結： △POQ是等腰三角形. 小結： 有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形，為證明結論提供更多的條件，體現了角平分線與等腰三角形之間的密切關系.

雙角平分線模型

模型1 “内内”雙角平分線模型

條件： BP、CP為角平分線. 結論： ∠BPC=90°+

\frac{1}{2}

∠A.
模型2 “外外”雙角平分線模型

條件： BP、CP為角平分線. 結論： ∠BPC=90°-

\frac{1}{2}

∠A.

模型3 “内外”雙角平分線模型

條件： BP、CP為角平分線. 結論： ∠BPC=

\frac{1}{2}

∠A.
模型4 “8字型”下的雙角平分線模型

條件： BP、CP為角平分線. 結論： ∠P=

\frac{1}{2}

(∠A+∠D).

模型5 同旁内角的雙角平分線模型

條件： BO、AO為角平分線，CD⊥AB，AD∥BC. 結論： ∠AOB=90°, OD =OC,AB=AD+BC.

模型6凹四邊形的雙角平分線模型

條件： BE、DE為角平分線，BE交AD于點G. 結論： ∠E=

\frac{1}{2}

(∠A-∠C).

截長補短模型

模型：截長補短

如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在 EF =AB+CD,可以考慮截長補短法. 截長法：如圖②，在EF上截取EG=AB,再證明 GF =CD即可. 補短法：如圖③，延長至H點，使BH=CD, 再證明AH=EF即可.

手拉手全等模型

模型1 一般等腰三角形

條件：AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE. 結論1： △ABD≅△ACE.

條件： 等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（頂角相等）. 結論2： 第三邊所成的夾角∠BFC=∠BAC（8字型模型可推出）且四點共圓.

條件： 等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（頂角相等）. 結論3： FA平分∠BFE.（利用面積法以及角的平分線的判定定理）.

條件： 等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（頂角相等），P、Q分别為BD、CE的中點. 結論4： △APQ是等腰三角形.

條件： 等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（頂角相等），點B、D、E三點共線時 結論5： A、B、C、E 四點共線.

條件：等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（頂角相等），點D在BC上運動.

結論6：四邊形ADCE是對角互補且鄰邊相等的共圓四邊形，CA平分∠DCE.

模型2 等邊三角形手拉手旋轉

條件： △OAB，△OCD為等邊三角形 結論： △OAC≅△OBD, 第三邊的夾角∠AEB=60°,EO平分∠AED 四邊形OABE對角互補, 四邊形OCED對角互補、鄰邊相等、角平分線、60°的結論.

模型3 等腰直角三角形手拉手旋轉

條件： △OAB，△OCD為等腰直角三角形 結論： △OAC≅△OBD, 第三邊的夾角∠AEB=90°,EO平分∠AED.
正多邊形中的全等模型 模型1等邊三角形中的全等

條件： 等邊△ABC，BD=CE. 結論： △ABD≅△BCE;∠ AFE =60°. 總結： 等邊三角形中的全等，第三邊所成的夾角等于60°.

模型2正方形中的全等

條件： 正方形ABCD，BE=CF. 結論： △ABE≅△BCF;∠AGF=90°. 總結： 正方形中的全等，第三邊所成的夾角等于90°.

模型3正五邊形中的全等

條件： 正五形ABCDE，BF=CG. 結論： △ABF≅△BCG;∠AHG=108°. 總結： 正五邊形中的全等，第三邊所成的夾角等于108°.

一線三等角全等模型

模型1同側一線三等角

已知： ∠B=∠C=∠AED,AE=DE. 結論： △ABE≅△ECD.

模型1同側一線三等角

已知： ∠AED=∠ABC=∠DCF,AE=DE. 結論： ΔABE≅ΔECD.

平行+中點全等模型

條件: AB ∥CD,O為BC的中點. 結論： △AOB≅△DOC.

将軍飲馬

鍊接：初中幾何最值問題基本模型：将軍飲馬

模型1：定直線與兩定點（一動兩定型）

（一）距離之和最短（化折為直）

1.兩側型：兩點分别在直線兩側（基礎本質型）

已知：如圖①，定點A、B分别位于直線L的兩側.

要求：在直線L上找一點P,使得PA+PB的值最小.

作圖：連接AB與直線L交于點P,點P即為所求作的點，PA+PB的最小值即為線段AB的長度.

證明：在直線L上任取一點動點P'，連接AP'，BP'.

在△ABP'中，

∵AP'+BP'≥AB,即AP'+BP'≥PA+PB，

∴當線段AB與直線L相交于點P時，PA+PB最小.

結論：PA+PB最小(AB)

2.同側型：兩點在直線同側（将軍飲馬）

已知：如圖①，定點A、B位于直線L的同一側.

要求：在直線L上找一點P,使得PA+PB的值最小.

作圖：作點A、B任意一點關于直線L的對稱點,

連接AB'交直線L于點P，則點P即為所求.

證明：根據軸對稱的性質知直線L為線段BB'的中垂線，

由中垂線的性質得PB=PB',要使PA+PB最小，則需PA+PB'最小，從而轉化為兩側型.

結論：PA+PB最小(AB').

（二）距離之差的絕對值最大

1.同側型：

已知：如圖①，定點A、B位于直線L的同一側（A、B兩點到L的距離不等）.

要求：在直線L上找一點P,使得|PA-PB|的值最大.

作圖：連接AB并延長，與直線L交于點P,點P即為所求.

證明：在L上任取一點P'(異于點P),連接P'A，P'B.由三角形三邊關系知|P'A-P'B|<AB，即|P'A-P'B|≤|PA-PB|.

結論：|PA-PB|最大(AB).

2.同側型：

已知：如圖①，定點A、B位于直線L的兩側（A、B兩點到l的距離不等）.

要求：在直線L上找一點P,使得|PA-PB|的值最大.

作圖：作點A、B任意一點關于直線L的對稱點,

連接AB'并延長，與直線L交于點P,點P即為所求.

證明：根據軸對稱的性質知直線L為線段BB'的中垂線，

由中垂線的性質得PB=PB',要使|PA-PB|最大，則需|PA-PB'|最大，從而轉化為同側型.

結論：|PA-PB|最大為AB'.

（三）距離之差的絕對值最小（垂直平分線性質定理應用）

要求：如圖①、②，在直線L上找一點P,使得|PA-PB|有最小值.

作圖：連接AB,作線段AB的垂直平分線與直線L交于點P，

點P即為所求作的點.

證明：由中垂線的性質得PB=PB,要使|PA-PB|最小為0.

結論：|PA-PB|的最小值為0.

模型2：角與定點（兩動一定型）

（一）距離之和最短

1.定點在角的外部

已知：如圖①，P點為銳角∠MON外一定點.

要求：在射線OM上找一點A，在射線ON上找一點B，使得PA+AB的值最小.

作圖：如圖②，過點P作PB⊥ON于點B,PB與OM相交于點A.此時，AP+AB最小.

證明：AP+AB≥PB,當且僅當A，P，B三點共線時，AP+PQ取得最小值PB,根據點到直線的距離，垂線段最短，當PB⊥ON時，PB最短.

結論：PA+AB的最小值為PB.

2.定點在角的内部

已知：如圖①，P點為銳角∠MON内一定點.

要求：在射線OM上找一點A，在射線ON上找一點B，使得PA+AB的值最小.

作圖：如圖②，作點P關于OM的對稱點P'，過點P'作ON的垂線分别交OM、ON于A、B.點A、B即為所求作的點.

證明：由軸對稱的性質得PA=P'A,要使PA+AB最小，隻需P'A+AB最小，從而轉化為定點在角外部模型.

結論：PA+AB的最小值為P'B.

3.三角形周長最小

已知：如圖①，P點為銳角∠MON内一定點.

要求：在射線OM上找一點A，在射線ON上找一點B，使得△PAB的周長最小.

作圖：如圖②，分别作P點關于直線OM的對稱點P'，關于ON的對稱點P''，連接P'P''交OM于點A,交ON于點B,點A、點B即為所求，此時△PAB的周長最小，最小值為線段P'P''的長度.

證明：由軸對稱的性質可知AP=AP',BP=BP'',△APB的周長AP+AB+BP=AP'+AB+BP'',當P'、A、B、P''四點共線時，其值最小.

結論：△PAB的周長最小為P'P''.

4.四邊形周長最小

已知：如圖①，P、Q為銳角∠MON内的兩個定點.

要求：在射線OM上找一點A，在射線ON上找一點B，使得四邊形ABPQ的周長最小.

作圖：如圖②，分别作Q點關于直線OM的對稱點Q'，P點關于ON的對稱點P''，連接P'Q'交OM于點A,交ON于點B,

點A、點B即為所求，此時四邊形ABPQ的周長最小，最小值為線段P'Q'+PQ.

結論：四邊形ABPQ的周長最小為P'Q'+PQ.

5.兩動兩定變式模型

已知：如圖①，A、B為兩個定點,P、Q為動點.

要求：在射線OM上找一點Q，在射線ON上找一點P，使得AP+PQ+QB最短最小.

作圖： 如圖②，分别作A點關于直線ON的對稱點A'，B點關于OM的對稱點B'，連接A'B'交OM于點Q,交ON于點P,點P、點Q即為所求，此時AP+PQ+QB最小，最小值為線段A'B'. 結論： AP + PQ + QB 最小為線段A'B'的長.
搭橋模型
模型1

已知： 如圖①，直線m∥n,A,B分别為m上方和n下方的定點（直線AB不與m垂直）. 要求： 在m,n之間求作垂線段PQ,使得AP+PQ+QB的值最小. 解析： PQ 為定值，隻需要AP+QB最小，可通過平移，使P,Q“接頭”，轉化為基本模型（将軍飲馬）.

作圖：如圖②，将點A沿着平行于PQ的方向，向下平移至點A'，使得AA'=PQ,連接A'B交直線n于點Q,過點Q作PQ⊥n于點Q,交直線m于點P,線段PQ即為所求，此時AP+PQ+QB最小.

證明：由作圖過程可知四邊形QPAA'為平行四邊形，則QA'=PA,當B,Q,A'三點共線時，QA'+QB最小，即PA+QB最小，又PQ長為定值，所以此時AP+PQ+QB的值最小.

模型2

已知：如圖①，定點A,B分布于直線m兩側，長度為a（定值）的線段PQ在m上移動（P在Q左邊）.

要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB的值最小.

解析：PQ為定值，隻需要AP+QB最小，可通過平移，使P,Q“接頭”，轉化為基本模型（将軍飲馬）.

作圖：如圖②，将點A沿着平行于m的方向，向右移至點A'，使AA'=PQ=a,連接A'B交直線m于點Q,在m上截取PQ=a(P在Q左邊)，則線段PQ即為所求，此時AP+PQ+QB的最小值為A'B+PQ，即A'B+a.

證明：由作圖過程可知四邊形APQA'為平行四邊形，則QA'=PA,當B,Q,A'三點共線時，QA'+QB最小，即PA+QB最小，又PQ長為定值，所以此時AP+PQ+QB的值最小.

模型3

已知：如圖①，定點A,B分布于直線m的同側，長度為a（定值）的線段PQ在m上移動（P在Q左邊）.

要求：确定PQ的位置，使得四邊形APQB的周長最小.

解析：AB長度已經确定為定值，隻需要AP+PQ+QB最小，可通過作A點關于m的對稱點，轉化為基本模型（将軍飲馬）.

作圖：如圖②，作A點關于m的對稱點A'，将點A'沿着平行于m的方向，向右移至點A''，使A'A''=PQ=a,連接A''B交直線m于點Q,在m上截取PQ=a(P在Q左邊)，則線段PQ即為所求，此時四邊形APQB的周長最小為A''B+AB+PQ，即A''B+AB+a.

中點模型

模型1倍長中線或類中線構造全等三角形

條件： AD是中線，延長AD至點E使DE=AD. 結論： △ADC≅△EDB(SAS)

條件： D是BC的中點，延長FD至點E使DE=AD. 結論： △FDB≅△EDC(SAS)

模型2三線合一模型

等腰三角形中有底邊中點時，常作底邊的中線，利用等腰三角形，，三線合一”的性質得到角相等或邊相等，為解題創造更多的條件，當看見等腰三角形的時候，就應想到.“邊等、角等、三線合一”.

模型3中位線模型

在三角形中，如果有中點，可構造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質定理： DE //BC,且DE=

\frac{1}{2}

BC來解題.中位線定理中既有線段之間的位置關系又有數量關系,該模型可以解決角相等，線段之間的倍半、相等及平行問題.

模型4斜邊中線模型

在直角三角形中，當遇見斜邊中點時，經常會作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上中線等于斜邊的-半，即 CD =

\frac{1}{2}

AB ，來證明線段間的數量關系，而且可以得到兩個等腰三角形:△ACD和△BCD,該模型經常會與中位線定理一起綜合應用.

半角模型

模型1基本模型

條件：OA=OB,∠AOB=2∠COD.

結論：△ODB≅△OD'A（旋轉全等）；△OCD≅△OCD'（對稱全等）.

模型2四邊形半角模型

條件：∠B+∠D=180°,AB=AD,∠BAD=2∠EAF.

結論：如圖①△ADF≅△ABG；如圖②△ABE≅△ADH（旋轉全等）；

△AEF≅△AEG≅△AHF（對稱全等）.

模型3正方形半角模型