小學數學知識點之百分數！（稅率、利息、折扣、成數）
0
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百分數
【稅率、利息、折扣、成數】
一、表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。
百分數也叫百分率或百分比，百分數通常用“%”表示。
二、分數與百分數比較：
三、分數、小數、百分數的互化。
（1）把分數化成小數，用分數的分子除以分母。
（2）把小數化成分數，先改寫成分母是10、100、1000……的分數，再約分。
（3）把小數化成百分數，先把小數點向右移動兩位，然後添上百分号。
（4）把百分數化成小數，先去掉百分号，然後把小數點向左移動兩位。
（5）把分數化成百分數，先把分數化成小數（除不盡時通常保留三位小數），再把小數化成百分數。
（6）把百分數化成分數，先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。
四、熟記常用三數的互化。
五、
1、出勤率表示出勤人數占總人數的百分之幾。
2、合格率表示合格件數占總件數的百分之幾。
3、成活率表示成活棵數占總棵數的百分之幾。
六、求一個數比另一個數多百分之幾，就是求一個數比另一個數多的占另一個數的百分之幾。
七、
1、多的÷“1”=多百分之幾 2、少的÷“1”= 少百分之幾
八、應得利息是稅前利息，實得利息是稅後利息。
九、利息 = 本金 × 利率 × 時間
十、應得利息 －利息稅 = 實得利息
十一、幾折表示十分之幾，表示百分之幾十；幾幾折表示十分之幾點幾，表示百分之幾十幾。
十二、
1、原價×折扣=現價 2、現價÷原價=折扣 3、現價÷折扣=原價
十三、幾成表示十分之幾表示百分之幾十；幾成幾表示十分之幾點幾，表示百分之幾十幾。
因數與倍數
【素數、合數、奇數、偶數】
一、4 × 3 = 12，12是4的倍數，12也是3的倍數，4和3都是12的因數。
二、一個數最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。一個數倍數的個數是無限的。
三、一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身。一個數因數的個數是有限的。
四、
5的倍數：個位上的數是5或0。
2的倍數：個位上的數是2、4、6、8或0。2的倍數都是雙數。
3的倍數：各位上數的和一定是3的倍數。
五、是2的倍數的數叫做偶數。不是2的倍數的數叫做奇數。
六、一個數，如果隻有1和它本身兩個因數，這樣的數就叫做素數（或質數）。
七、一個數，如果除了1和它本身還有别的因數，這樣的數就叫做合數。
八、在1—20這些數中：（1既不是素數，也不是合數）
奇數：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。
偶數：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。
素數：2、3、5、7、11、13、17、19。（共8個，和為77。）
合數：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。（共11個，和為132。）
九、最小的奇數是1，最小的偶數是0，最小的素數是2，最小的合數是4。
十、如果兩個數是倍數關系，則大數是最小公倍數，小數是最大公因數。
十一、如果兩個數隻有公因數1，則最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。
0 2 數的運算
計算法則
【整數、小數、分數】
一、計算整數加、減法要把相同數位對齊，從低位算起。
二、計算小數加、減法要把小數點對齊，從低位算起。
三、小數乘法：
1、先按整數乘法算出積是多少，看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點。
2、注意：在積裡點小數點時，位數不夠的，要在前面用0補足。
小數除法
1、商的小數點要和被除數的小數點對齊；
2、有餘數時，要在後面添0，繼續往下除；
3、個位不夠商1時，要在商的整數部分寫0，點上小數點，再繼續除。
4、把除數轉化成整數時，除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也要向右移動幾位。
5、當被除數的小數位數少于除數的小數位數時，要在被除數的末尾用0補足。
五、一個小數乘10、100、1000……隻要把這個小數的小數點向右移動一位、兩位、三位……
六、一個小數除以10、100、1000……隻要把這個小數的小數點向左移動一位、兩位、三位……
七、分數加、減法：1同分母分數相加減，把分子相加減，分母不變。2異分母分數相加減，要先通分化成同分母分數，然後再相加減。
八、分數大小的比較：1同分母分數相比較，分子大的大，分子小的小。2異分母的分數相比較，先通分然後再比較；若分子相同，分母大的反而小。
九、分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。
十、甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。
四則運算關系
兩個規律
一、除法的商不變規律：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。
二、乘法的積不變規律：如果一個因數乘幾，另一個因數則除以幾，那麼它們的積不變。
簡便計算
一、運算定律：
二、乘、除法的互化。（小技巧：符号是相反的；兩個數相乘得“1”。）
三、求近似數的方法。
①四舍五入法。②進一法。③去尾法。
四、積與因數、商與被除數的大小比較：
數量關系
0 3 式與方程
用字母表示數
一、在一個含有字母的式子裡，數字和字母、字母和字母相乘時，中間的乘号可以記作“· ”，也可以省略不寫。
在省略數字與字母之間的乘号時，要把數字寫在字母的前面。
二、2a與a2意義不同：
2a表示兩個a相加，a2表示兩個a相乘。即：2a=a＋a，a2= a×a。
三、用字母表示數：
①用字母表示任意數：如X=4 a=6 ②用字母表示常見的數量關系：如s=vt ③用字母表示運算定律：如a＋b=b＋a ④用字母表示計算公式：S=ah
方程與等式
一、含有未知數的等式叫做方程。 二、使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。
三、求方程的解的過程，叫做解方程。 四、方程和等式的聯系與區别：
五、等式的基本性質 （一）：
等式兩邊同時加上（或減去）一個相同的數，所得結果仍然是等式。
六、等式的基本性質（二）：
等式兩邊同時乘（或除以）一個不等于零的數，所得結果仍然是等式。
七、列方程解應用題的一般步驟：
①弄清題意，找出未知數并用X表示。 ②找出應用題中數量間的相等關系，并列出方程。 ③求出方程的解。 ④檢驗或驗算，寫出答案。
0 4 正比例與反比例
比和比例
一、比和比例的聯系與區别：
二、比同分數、除法的聯系與區别：
三、求比值與化簡比的區别：
四、化簡比：
①整數比的化簡方法是：用比的前項和後項同時除以它們的最大公約數。
②小數比的化簡方法是：先把小數比化成整數比，再按整數比化簡方法化簡。
③分數比的化簡方法是：用比的前項和後項同時乘以分母的最小公倍數。
五、比例尺：我們把圖上距離和實際距離的比叫做這幅圖的比例尺。
六、比例尺=圖上距離︰實際距離比例尺 = 圖上距離/實際距離
正比例、反比例
一、正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系就叫做正比例關系。
二、反比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系就叫做反比例關系。
三、正比例與反比例的區别：
0 5 圖形的認識、測量
量的計量
一、長度單位是用來測量物體的長度的。
常用的長度單位有：千米、米、分米、厘米、毫米。
二、長度單位：
三、面積單位是用來測量物體的表面或平面圖形的大小的。
常用面積單位：平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方厘米。
四、測量和計算土地面積，通常用公頃作單位。
邊長100米的正方形土地，面積是1公頃。
五、測量和計算大面積的土地，通常用平方千米作單位。
邊長1000米的正方形土地，面積是1平方千米。
六、面積單位：（100）
七、體積單位是用來測量物體所占空間的大小的。
常用的體積單位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。
八、體積單位：（1000）
九、常用的質量單位有：噸、千克、克。
十、質量單位：
十一、常用的時間單位有：
世紀、年、季度、月、旬、日、時、分、秒。
十二、時間單位：（60）
十三、高級單位的名數改寫成低級單位的名數應該乘以進率；低級單位的名數改寫成高級單位的名數應該除以進率。
十四、常用計量單位用字母表示：
平面圖形
【認識、周長、面積】
一、用直尺把兩點連接起來，就得到一條線段；
把線段的一端無限延長，可以得到一條射線；
把線段的兩端無限延長，可以得到一條直線。
線段、射線都是直線上的一部分。
線段有兩個端點，長度是有限的；射線隻有一個端點，直線沒有端點，射線和直線都是無限長的。
二、從一點引出兩條射線，就組成了一個角。
角的大小與兩邊叉開的大小有關，與邊的長短無關。
角的大小的計量單位是（°）。
三、角的分類：
小于90度的角是銳角；
等于90度的角是直角；
大于90度小于180度的角是鈍角；
等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。
四、相交成直角的兩條直線互相垂直；在同一平面不相交的兩條直線互相平行。
五、三角形是由三條線段圍成的圖形。
圍成三角形的每條線段叫做三角形的邊，每兩條線段的交點叫做三角形的頂點。
六、三角形按角分，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。
按邊分，可以分為等邊三角形、等腰三角形和任意三角形。
七、三角形的内角和等于180度。
八、在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。
九、在一個三角形中，最多隻有一個直角或最多隻有一個鈍角。
十、四邊形是由四條邊圍成的圖形。
常見的特殊四邊形有：平行四邊形、長方形、正方形、梯形。
十一、圓是一種曲線圖形。
圓上的任意一點到圓心的距離都相等，這個距離就是圓的半徑的長。
通過圓心并且兩端都在圓的線段叫做圓的直徑。
十二、有一些圖形，把它沿着一條直線對折，直線兩側的圖形能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形 。
這條直線叫做對稱軸。
十三、圍成一個圖形的所有邊長的總和就是這個圖形的周長。
十四、物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積。
十五、平面圖形的面積計算公式推導：
【1】平行四邊形面積公式的推導過程？
① 把平行四邊形通過剪切、平移可以轉化成一個長方形。
② 長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，長方形的面積等于平行四邊形的面積。
③ 因為：長方形面積=長×寬，所以：平行四邊形面積=底×高。即：S=ah。 【2】三角形面積公式的推導過程？
① 用兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。
② 平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高等于三角形的高，三角形面積等于和它等底等高的平行四邊形面積的一半
③因為：平行四邊形面積=底×高，所以：三角形面積=底×高÷2。即：S=ah÷2。
【3】梯形面積公式的推導過程？
① 用兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。
② 平行四邊形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四邊形的高等于梯形的高，梯形面積等于平行四邊形面積的一半。
③ 因為：平行四邊形面積=底×高，所以：梯形面積=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h÷2。
【4】畫圖說明圓面積公式的推導過程
① 把圓分成若幹等份，剪開後，拼成了一個近似的長方形。
② 長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。
③因為：長方形面積=長×寬，所以：圓面積=πr×r=πr²。即：S=πr²。
十六、平面圖形的周長和面積計算公式：
十七、常用數據：
立體圖形
【認識、表面積、體積】
一、長方體、正方體都有6個面，12條棱，8個頂點。正方體是特殊的長方體。
二、圓柱的特征：一個側面、兩個底面、無數條高。
三、圓錐的特征：一個側面、一個底面、一個頂點、一條高。
四、表面積：立體圖形所有面的面積的和，叫做這個立體圖形的表面積。
五、體積：物體所占空間的大小叫做物體的體積。容器所能容納其它物體的體積叫做容器的容積。
六、圓柱和圓錐三種關系：
① 等底等高：體積1︰3 ② 等底等體積：高1︰3 ③ 等高等體積：底面積1︰3
七、等底等高的圓柱和圓錐：
① 圓錐體積是圓柱的1/3， ② 圓柱體積是圓錐的3倍， ③ 圓錐體積比圓柱少2/3， ④ 圓柱體積比圓錐多2倍。
八、等底等高的圓柱和圓錐：錐1、差2、柱3、和4。
九、立體圖形公式推導：
【1】圓柱的側面展開後得到一個什麼圖形？這個圖形的各部分與圓柱有何關系？（圓柱側面積公式的推導過程）
① 圓柱的側面展開後一般得到一個長方形。 ② 長方形的長相當于圓柱的底面周長，長方形的寬相當于圓柱的高。
③ 因為：長方形面積=長×寬，所以：圓柱側面積=底面周長×高。
④ 圓柱的側面展開後還可能得到一個正方形。
正方形的邊長=圓柱的底面周長=圓柱的高。
【2】我們在學習圓柱體積的計算公式時，是把圓柱轉化成以前學過的一種立體圖形（近似的）進行推導的，請你說出這種立體圖形的名稱以及它與圓柱體有關部分之間的關系？
① 把圓柱分成若幹等份，切開後拼成了一個近似的長方體。
② 長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高。
③ 因為：長方體體積=底面積×高，所以：圓柱體積=底面積×高。即：V=Sh。
【3】請畫圖說明圓錐體積公式的推導過程？
① 找來等底等高的空圓錐和空圓柱各一隻。
② 将圓錐裝滿沙子，倒入圓柱中，發現三次正好裝滿，将圓柱裡的沙子倒入圓錐中，發現三次正好倒完。
③ 通過實驗發現：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一；圓柱的體積等于和它等底等高的圓錐體積的三倍。即：V=1/3Sh。
十、立體圖形的棱長總和、表面積、體積計算公式：
0 6 圖形與變換
一、變換圖形位置的方法有平移、旋轉等，在變換位置時，每個圖形的相應頂點、線段、曲線應同步平移，旋轉相同的角度。
二、不改變圖形的形狀，隻改變它的大小時，通常要使每個圖形的要素，如長方形的長與寬，三角形的底與高等同時按相同比例放大或縮小。
三、對稱圖形是對稱軸兩邊的圖形經對折後能夠完全重合，而不是完全相同。
圖形與位置
一、當我們處在實際生活及情景中，面對教短距離時，通常用上、下、前、後來描述具體位置。
二、當我們面對地圖、方位圖時，通常用東、西、南、北，南偏東、北偏東……來描述方向。
再結合所示比例尺計算出具體距離，把方向與距離結合起來确定位置。
0 7 統 計
一、我們通常都是通過打勾、畫圓、劃“正”字的方法進行數據的收集和整理。
二、常見的統計圖有條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖三種。
三、條形統計圖的特點：從圖中能清楚地看出各種數量的多少，便于比較。
四、折線統計圖的特點：不但能看出各種數量的多少，而且還能夠清楚地表示出數量增減變化的情況。
五、扇形統計圖的特點：表示各部分和總數之間，以及部分與部分之間的關系。
六、中位數、衆數、平均數
0 8 可能性
一、
二、在可能性相同的情況下，比賽遊戲規則是公平的。
百分數
【稅率、利息、折扣、成數】
一、表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。
百分數也叫百分率或百分比，百分數通常用“%”表示。
二、分數與百分數比較：
| 不同點 | 相同點 | |
| 分 數 | 可以表示具體數量，可以有單位名稱 | 表示兩個數之間的關系 |
| 百分數 | 不可以表示具體數量，不可以有單位名稱 |
三、分數、小數、百分數的互化。
（1）把分數化成小數，用分數的分子除以分母。
（2）把小數化成分數，先改寫成分母是10、100、1000……的分數，再約分。
（3）把小數化成百分數，先把小數點向右移動兩位，然後添上百分号。
（4）把百分數化成小數，先去掉百分号，然後把小數點向左移動兩位。
（5）把分數化成百分數，先把分數化成小數（除不盡時通常保留三位小數），再把小數化成百分數。
（6）把百分數化成分數，先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。
四、熟記常用三數的互化。
五、
1、出勤率表示出勤人數占總人數的百分之幾。
2、合格率表示合格件數占總件數的百分之幾。
3、成活率表示成活棵數占總棵數的百分之幾。
六、求一個數比另一個數多百分之幾，就是求一個數比另一個數多的占另一個數的百分之幾。
七、
1、多的÷“1”=多百分之幾 2、少的÷“1”= 少百分之幾
八、應得利息是稅前利息，實得利息是稅後利息。
九、利息 = 本金 × 利率 × 時間
十、應得利息 －利息稅 = 實得利息
十一、幾折表示十分之幾，表示百分之幾十；幾幾折表示十分之幾點幾，表示百分之幾十幾。
十二、
1、原價×折扣=現價 2、現價÷原價=折扣 3、現價÷折扣=原價
十三、幾成表示十分之幾表示百分之幾十；幾成幾表示十分之幾點幾，表示百分之幾十幾。
因數與倍數
【素數、合數、奇數、偶數】
一、4 × 3 = 12，12是4的倍數，12也是3的倍數，4和3都是12的因數。
二、一個數最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。一個數倍數的個數是無限的。
三、一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身。一個數因數的個數是有限的。
四、
5的倍數：個位上的數是5或0。
2的倍數：個位上的數是2、4、6、8或0。2的倍數都是雙數。
3的倍數：各位上數的和一定是3的倍數。
五、是2的倍數的數叫做偶數。不是2的倍數的數叫做奇數。
六、一個數，如果隻有1和它本身兩個因數，這樣的數就叫做素數（或質數）。
七、一個數，如果除了1和它本身還有别的因數，這樣的數就叫做合數。
八、在1—20這些數中：（1既不是素數，也不是合數）
奇數：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。
偶數：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。
素數：2、3、5、7、11、13、17、19。（共8個，和為77。）
合數：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。（共11個，和為132。）
九、最小的奇數是1，最小的偶數是0，最小的素數是2，最小的合數是4。
十、如果兩個數是倍數關系，則大數是最小公倍數，小數是最大公因數。
十一、如果兩個數隻有公因數1，則最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。
0 2 數的運算
計算法則
【整數、小數、分數】
一、計算整數加、減法要把相同數位對齊，從低位算起。
二、計算小數加、減法要把小數點對齊，從低位算起。
三、小數乘法：
1、先按整數乘法算出積是多少，看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點。
2、注意：在積裡點小數點時，位數不夠的，要在前面用0補足。
小數除法
1、商的小數點要和被除數的小數點對齊；
2、有餘數時，要在後面添0，繼續往下除；
3、個位不夠商1時，要在商的整數部分寫0，點上小數點，再繼續除。
4、把除數轉化成整數時，除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也要向右移動幾位。
5、當被除數的小數位數少于除數的小數位數時，要在被除數的末尾用0補足。
五、一個小數乘10、100、1000……隻要把這個小數的小數點向右移動一位、兩位、三位……
六、一個小數除以10、100、1000……隻要把這個小數的小數點向左移動一位、兩位、三位……
七、分數加、減法：1同分母分數相加減，把分子相加減，分母不變。2異分母分數相加減，要先通分化成同分母分數，然後再相加減。
八、分數大小的比較：1同分母分數相比較，分子大的大，分子小的小。2異分母的分數相比較，先通分然後再比較；若分子相同，分母大的反而小。
九、分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。
十、甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。
四則運算關系
| 加法 | 一個加數 = 和－另一個加數 |
| 減法 | 被減數 = 差 + 減數減數 = 被減數 － 差 |
| 乘法 | 一個因數 = 積 ÷ 另一個因數 |
| 除法 | 被除數 = 商 × 除數除數 = 被除數 ÷ 商 |
兩個規律
一、除法的商不變規律：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。
二、乘法的積不變規律：如果一個因數乘幾，另一個因數則除以幾，那麼它們的積不變。
簡便計算
一、運算定律：
| 運算定律 | 用字母表示 |
| 加法交換律 | a＋b=b＋a |
| 加法結合律 | （a＋b）＋c=a＋(b＋c) |
| 乘法交換律 | a×b=b×a |
| 乘法結合律 | （a×b）×c=a×(b×c) |
| 乘法分配律 | （a＋b）×c=a×c＋b×c |
| 減法運算規律 | a－b－c=a－（b＋c） |
| 除法運算規律 | a÷b÷c=a÷（b×c） |
二、乘、除法的互化。（小技巧：符号是相反的；兩個數相乘得“1”。）
| （1）A÷0.1=A×10（2）A×0.1=A÷10 | （7）A÷0.01=A×100； （8）A×0.01=A÷100 |
| （3）A÷0.2=A×5（4）A×0.2=A÷5 | （9）A÷0.25=A×4 （10）A×0.25=A÷4 |
| （5）A÷0.5=A×2（6）A×0.5=A÷2 | （11）A÷0.125=A×8 （12）A×0.125=A÷8 |
三、求近似數的方法。
①四舍五入法。②進一法。③去尾法。
四、積與因數、商與被除數的大小比較：
| 第2個因數>1,積>第1個因數；第2個因數=1,積=第1個因數；第2個因數<1,積<第1個因數。 | 除數>1，商<被除數；除數=1，商=被除數；除數<1，商>被除數； |
數量關系
| 單價×數量=總價總價÷數量=單價總價÷單價=數量 | 工作效率×工作時間=工作總量工作總量÷工作時間=工作效率工作總量÷工作效率=工作時間 |
| 速度×時間=路程路程÷時間=速度路程÷速度=時間 | 速度和×相遇時間=路程路程÷相遇時間=速度和路程÷速度和=相遇時間 |
0 3 式與方程
用字母表示數
一、在一個含有字母的式子裡，數字和字母、字母和字母相乘時，中間的乘号可以記作“· ”，也可以省略不寫。
在省略數字與字母之間的乘号時，要把數字寫在字母的前面。
二、2a與a2意義不同：
2a表示兩個a相加，a2表示兩個a相乘。即：2a=a＋a，a2= a×a。
三、用字母表示數：
①用字母表示任意數：如X=4 a=6 ②用字母表示常見的數量關系：如s=vt ③用字母表示運算定律：如a＋b=b＋a ④用字母表示計算公式：S=ah
方程與等式
一、含有未知數的等式叫做方程。 二、使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。
三、求方程的解的過程，叫做解方程。 四、方程和等式的聯系與區别：
| 方 程 | 等 式 | |
| 聯 系 | 方程一定是等式，等式不一定是方程 | |
| 區 别 | 含有未知數 | 不一定含有未知數 |
五、等式的基本性質 （一）：
等式兩邊同時加上（或減去）一個相同的數，所得結果仍然是等式。
六、等式的基本性質（二）：
等式兩邊同時乘（或除以）一個不等于零的數，所得結果仍然是等式。
七、列方程解應用題的一般步驟：
①弄清題意，找出未知數并用X表示。 ②找出應用題中數量間的相等關系，并列出方程。 ③求出方程的解。 ④檢驗或驗算，寫出答案。
0 4 正比例與反比例
比和比例
一、比和比例的聯系與區别：
比與比例的區别 |
1、意義不同 | 比的意義 | 兩個數相除又叫做兩個數的比。 |
| 比例的意義 | 表示兩個比相等的式子叫做比例。 | ||
| 2、名稱不同 | 比的名稱 | 兩點讀作比，比号前面的數叫做比的前項，比号後面的數叫做比的後項。 | |
| 比例的名稱 | 組成比例的四個數叫做比例的項，兩端的兩項叫做比例的的外項，中間的兩項叫做比例的内項。 | ||
| 3、性質不同 | 比的性質 | 比的前項和後項同時乘或者除以相同的數（0除外），比值不變。 | |
| 比例的性質 | 在比例裡，兩個外項的積等于兩個内項的積。 | ||
| 4、應用不同 | 應用比的意義 | 求比值。 | |
| 應用比的性質 | 化簡比。 | ||
| 應用比例的意義 | 判斷兩個不能否組成比例。 | ||
| 應用比例的性質 | 不但可以判斷兩個比能否組成比例，還可以解比例。 |
二、比同分數、除法的聯系與區别：
| 比 | 分數 | 除法 | |
| 聯 系 |
前項 | 分子 | 被除數 |
| 比号 | 分數線 | 除号 | |
| 後項 | 分母 | 除數 | |
| 比值 | 分數值 | 商 | |
| 比的基本性質 | 分數的基本性質 | 除法的商不變性質 | |
| 區别 | 比表示兩個數之間的關系。 | 分數表示一個數。 | 除法表示一種運算。 |
三、求比值與化簡比的區别：
| 一 般 方 法 | 結 果 | |
| 求比值 | 根據比值的意義，用前項除以後項。 | 是一個數。可以是整數、小數或分數。 |
| 化簡比 | 根據比的基本性質，把比的前項和後項都乘或除以相同的數（零除外）。 | 是一個比。它的前項和後項都是整數，并且是互質數。 |
四、化簡比：
①整數比的化簡方法是：用比的前項和後項同時除以它們的最大公約數。
②小數比的化簡方法是：先把小數比化成整數比，再按整數比化簡方法化簡。
③分數比的化簡方法是：用比的前項和後項同時乘以分母的最小公倍數。
五、比例尺：我們把圖上距離和實際距離的比叫做這幅圖的比例尺。
六、比例尺=圖上距離︰實際距離比例尺 = 圖上距離/實際距離
正比例、反比例
一、正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系就叫做正比例關系。
二、反比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系就叫做反比例關系。
三、正比例與反比例的區别：
| 正 比 例 | 反 比 例 | |
| 相 同 點 | 都有兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化。 | |
| 不 同 點 | 商一定y/x= k（一定） | 積一定x×y=k（一定） |
0 5 圖形的認識、測量
量的計量
一、長度單位是用來測量物體的長度的。
常用的長度單位有：千米、米、分米、厘米、毫米。
二、長度單位：
| 1千米=1000米 | 1米=10分米 |
| 1分米=10厘米 | 1厘米=10毫米 |
| 1米=100厘米 | 1米=1000毫米 |
三、面積單位是用來測量物體的表面或平面圖形的大小的。
常用面積單位：平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方厘米。
四、測量和計算土地面積，通常用公頃作單位。
邊長100米的正方形土地，面積是1公頃。
五、測量和計算大面積的土地，通常用平方千米作單位。
邊長1000米的正方形土地，面積是1平方千米。
六、面積單位：（100）
| 1平方千米=100公頃 | 1公頃=10000平方米 |
| 1平方米=100平方分米 | 1平方分米=100平方厘米 |
七、體積單位是用來測量物體所占空間的大小的。
常用的體積單位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。
八、體積單位：（1000）
| 1立方米=1000立方分米 | 1立方分米=1000立方厘米 |
| 1升=1000毫升 |
九、常用的質量單位有：噸、千克、克。
十、質量單位：
| 1噸=1000千克 | 1千克=1000克 |
十一、常用的時間單位有：
世紀、年、季度、月、旬、日、時、分、秒。
十二、時間單位：（60）
| 1世紀=100年 | 1年=12個月 |
| 1年=4個季度 | 1個季度=3個月 |
| 1個月=3旬 | 大月=31天 |
| 小月=30天 | 平年二月=28天 |
| 閏年二月=29天 | 1天=24小時 |
| 1小時=60分 | 1分=60秒 |
十三、高級單位的名數改寫成低級單位的名數應該乘以進率；低級單位的名數改寫成高級單位的名數應該除以進率。
十四、常用計量單位用字母表示：
| 千米：km | 米：m | 分米：dm | 厘米：cm | 毫米：mm |
| 噸：t | 千克：kg | 克：g | 升：l | 毫升：ml |
平面圖形
【認識、周長、面積】
一、用直尺把兩點連接起來，就得到一條線段；
把線段的一端無限延長，可以得到一條射線；
把線段的兩端無限延長，可以得到一條直線。
線段、射線都是直線上的一部分。
線段有兩個端點，長度是有限的；射線隻有一個端點，直線沒有端點，射線和直線都是無限長的。
二、從一點引出兩條射線，就組成了一個角。
角的大小與兩邊叉開的大小有關，與邊的長短無關。
角的大小的計量單位是（°）。
三、角的分類：
小于90度的角是銳角；
等于90度的角是直角；
大于90度小于180度的角是鈍角；
等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。
四、相交成直角的兩條直線互相垂直；在同一平面不相交的兩條直線互相平行。
五、三角形是由三條線段圍成的圖形。
圍成三角形的每條線段叫做三角形的邊，每兩條線段的交點叫做三角形的頂點。
六、三角形按角分，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。
按邊分，可以分為等邊三角形、等腰三角形和任意三角形。
七、三角形的内角和等于180度。
八、在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。
九、在一個三角形中，最多隻有一個直角或最多隻有一個鈍角。
十、四邊形是由四條邊圍成的圖形。
常見的特殊四邊形有：平行四邊形、長方形、正方形、梯形。
十一、圓是一種曲線圖形。
圓上的任意一點到圓心的距離都相等，這個距離就是圓的半徑的長。
通過圓心并且兩端都在圓的線段叫做圓的直徑。
十二、有一些圖形，把它沿着一條直線對折，直線兩側的圖形能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形 。
這條直線叫做對稱軸。
十三、圍成一個圖形的所有邊長的總和就是這個圖形的周長。
十四、物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積。
十五、平面圖形的面積計算公式推導：
【1】平行四邊形面積公式的推導過程？
① 把平行四邊形通過剪切、平移可以轉化成一個長方形。
② 長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，長方形的面積等于平行四邊形的面積。
③ 因為：長方形面積=長×寬，所以：平行四邊形面積=底×高。即：S=ah。 【2】三角形面積公式的推導過程？
① 用兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。
② 平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高等于三角形的高，三角形面積等于和它等底等高的平行四邊形面積的一半
③因為：平行四邊形面積=底×高，所以：三角形面積=底×高÷2。即：S=ah÷2。
【3】梯形面積公式的推導過程？
① 用兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。
② 平行四邊形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四邊形的高等于梯形的高，梯形面積等于平行四邊形面積的一半。
③ 因為：平行四邊形面積=底×高，所以：梯形面積=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h÷2。
【4】畫圖說明圓面積公式的推導過程
① 把圓分成若幹等份，剪開後，拼成了一個近似的長方形。
② 長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。
③因為：長方形面積=長×寬，所以：圓面積=πr×r=πr²。即：S=πr²。
十六、平面圖形的周長和面積計算公式：
| 長方形周長 =（長+寬）× 2 | C = πd | |
| 長方形面積 = 長 × 寬 | C = 2πr | |
| 正方形周長 = 邊長 × 4 | r= d÷2 | |
| 正方形面積 = 邊長 × 邊長 | r=C ÷2π | |
| 平行四邊形面積 = 底 × 高 | d=2r | |
| 三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2 | d=c ÷π |
十七、常用數據：
| 常用π值 | 常用平方數 | |
| 2π=6.28 | 12π=37.68 | 1²= 1 |
| 3π=9.42 | 15π=47.1 | 2²=4 |
| 4π=12.56 | 16π=50.24 | 3²=9 |
| 5π=15.70 | 18π=56.52 | 4²=16 |
| 6π=18.84 | 20π=62.8 | 5²=25 |
| 7π=21.98 | 25π= 78.5 | 6²=36 |
| 8π=25.12 | 32π=100.48 | 7²=49 |
| 9π=28.26 | 2.25π=7.065 | 8²=64 |
| 10π=31.4 | 6.25π=19.625 | 9²=81 |
立體圖形
【認識、表面積、體積】
一、長方體、正方體都有6個面，12條棱，8個頂點。正方體是特殊的長方體。
二、圓柱的特征：一個側面、兩個底面、無數條高。
三、圓錐的特征：一個側面、一個底面、一個頂點、一條高。
四、表面積：立體圖形所有面的面積的和，叫做這個立體圖形的表面積。
五、體積：物體所占空間的大小叫做物體的體積。容器所能容納其它物體的體積叫做容器的容積。
六、圓柱和圓錐三種關系：
① 等底等高：體積1︰3 ② 等底等體積：高1︰3 ③ 等高等體積：底面積1︰3
七、等底等高的圓柱和圓錐：
① 圓錐體積是圓柱的1/3， ② 圓柱體積是圓錐的3倍， ③ 圓錐體積比圓柱少2/3， ④ 圓柱體積比圓錐多2倍。
八、等底等高的圓柱和圓錐：錐1、差2、柱3、和4。
九、立體圖形公式推導：
【1】圓柱的側面展開後得到一個什麼圖形？這個圖形的各部分與圓柱有何關系？（圓柱側面積公式的推導過程）
① 圓柱的側面展開後一般得到一個長方形。 ② 長方形的長相當于圓柱的底面周長，長方形的寬相當于圓柱的高。
③ 因為：長方形面積=長×寬，所以：圓柱側面積=底面周長×高。
④ 圓柱的側面展開後還可能得到一個正方形。
正方形的邊長=圓柱的底面周長=圓柱的高。
【2】我們在學習圓柱體積的計算公式時，是把圓柱轉化成以前學過的一種立體圖形（近似的）進行推導的，請你說出這種立體圖形的名稱以及它與圓柱體有關部分之間的關系？
① 把圓柱分成若幹等份，切開後拼成了一個近似的長方體。
② 長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高。
③ 因為：長方體體積=底面積×高，所以：圓柱體積=底面積×高。即：V=Sh。
【3】請畫圖說明圓錐體積公式的推導過程？
① 找來等底等高的空圓錐和空圓柱各一隻。
② 将圓錐裝滿沙子，倒入圓柱中，發現三次正好裝滿，将圓柱裡的沙子倒入圓錐中，發現三次正好倒完。
③ 通過實驗發現：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一；圓柱的體積等于和它等底等高的圓錐體積的三倍。即：V=1/3Sh。
十、立體圖形的棱長總和、表面積、體積計算公式：
| 名稱 | 計算公式 |
| 長方體棱長總和 | 長方體棱長總和 = （長+寬+高）× 4 |
| 長方體表面積 | 長方體表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2 |
| 長方體體積 | 長方體體積=長×寬×高 |
| 正方體棱長總和 | 正方體棱長總和=棱長×12 |
| 正方體表面積 | 正方體表面積=棱長×棱長×6 |
| 正方體體積 | 正方體體積=棱長×棱長×棱長 |
| 圓柱體側面積 | 圓柱體側面積=底面周長×高 |
| 圓柱體表面積 | 圓柱體表面積=側面積+底面積×2 |
| 圓柱體體積 | 圓柱體體積=底面積×高 |
| 圓錐體體積 | 圓錐體體積=Sh |
0 6 圖形與變換
一、變換圖形位置的方法有平移、旋轉等，在變換位置時，每個圖形的相應頂點、線段、曲線應同步平移，旋轉相同的角度。
二、不改變圖形的形狀，隻改變它的大小時，通常要使每個圖形的要素，如長方形的長與寬，三角形的底與高等同時按相同比例放大或縮小。
三、對稱圖形是對稱軸兩邊的圖形經對折後能夠完全重合，而不是完全相同。
圖形與位置
一、當我們處在實際生活及情景中，面對教短距離時，通常用上、下、前、後來描述具體位置。
二、當我們面對地圖、方位圖時，通常用東、西、南、北，南偏東、北偏東……來描述方向。
再結合所示比例尺計算出具體距離，把方向與距離結合起來确定位置。
0 7 統 計
一、我們通常都是通過打勾、畫圓、劃“正”字的方法進行數據的收集和整理。
二、常見的統計圖有條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖三種。
三、條形統計圖的特點：從圖中能清楚地看出各種數量的多少，便于比較。
四、折線統計圖的特點：不但能看出各種數量的多少，而且還能夠清楚地表示出數量增減變化的情況。
五、扇形統計圖的特點：表示各部分和總數之間，以及部分與部分之間的關系。
六、中位數、衆數、平均數
| 名稱 | 意義 | 計算方法 |
| 中位數 | 一組數中間的一個數或中間兩個數的平均數。 | 中間的一個數或中間兩個數的和÷2 |
| 衆數 | 一組數中出現次數最多的數。 | 出現次數最多的數 |
| 平均數 | 反映一組數的總體水平的數據。 | 平均數=總數÷份數 |
0 8 可能性
一、
| 事件狀态 | 生活情景 | 數學情景 |
| 一定會發生 | 太陽從東方升起 | 從5個紅球中摸出一個紅球 |
| 一定不會發生 | 鴨子會講話 | 從5個紅球中摸出一個白球 |
| 可能發生 | 今天會下雨 | 從5個紅球，1個白球中摸出一個白球 |
二、在可能性相同的情況下，比賽遊戲規則是公平的。
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