初一數學期末難題60道

一．選擇題（共4小題）

1．甲、乙二人同時從A地出發，沿同一條道路去B地，途中都使用兩種不同的速度V₁與V₂（V₁＜V₂），甲用一半的路程使用速度V₁、另一半的路程使用速度V₂；乙用一半的時間使用速度V₁、另一半的時間使用速度V₂；關于甲乙二人從A地到達B地的路程與時間的函數圖象及關系，有圖中4個不同的圖示分析．其中橫軸t表示時間，縱軸s表示路程，其中正确的圖示分析為（　　）

A．圖（1）B．圖（1）或圖（2）

C．圖（3）D．圖（4）

2．規定[x]表示不大于x的最大整數，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那麼函數y＝x﹣[x]的圖象為（　　）

A．

B．

C．

D．

3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D在BC上，過D作DF⊥BC交BA的延長線于F，連接AD、CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，則∠B的大小是（　　）

A．32°B．64°C．77°D．87°

4．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分線AE交CD于E，連接BE，且BE邊平分∠ABC，得到如下結論：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BECD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，則BE的取值範圍為0＜BE＜x，那麼以上結論正确的是（　　）

A．①②③B．②③④C．①④⑤D．①②⑤

二．填空題（共1小題）

5．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，且AD、BE的交于點F，若BF＝AC，CD＝6，BD＝8，則線段AF的長度為　　．

三．解答題（共55小題）

6．如圖，将長方形紙片的一角折疊，使頂點A落在點A′處，BC為折痕，若BE是∠A′BD的角平分線，求∠CBE的度數，并說明理由．

7．先化簡後求值：[（a﹣2b）²﹣（a+3b）（a﹣2b）]÷（﹣5b），其中|a+2|+（b﹣1）²＝0．

8．求值：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2），其中a．

9．先化簡後求值：[（a﹣2b）²﹣（a+2b）（a﹣2b）]÷（﹣2b），其中|a+2|+（b﹣1）²＝0．

10．化簡求值：已知|2x﹣2|+（3y+2）²＝0，求代數式的值．

11．先化簡再求值：[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x+3y）²]÷6y，其中x＝﹣1，y＝﹣3．

12．先化簡，再求值：（2x﹣3y）²﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝﹣2．

13．先化簡，再求代數式[（x+4y）²﹣x（x﹣4y）]÷4y的值，其中x＝5，y＝2．

14．已知a、b為實數，|a﹣2011|+b²﹣2b+1＝0，求代數式[（2a+b）²+（2a+b）（b﹣2a）﹣6ab]÷2b的值．

15．已知（x﹣y﹣6）²+|xy+8|＝0．

（1）分别求x²+y²，x+y的值；

（2）代數式（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣z（x+y），先化簡再求其值．

16．先化簡，再求值：[（3m+n）（3m﹣n）+n（n﹣6m）]÷3m，其中m，n．

17．已知，A＝2x﹣y，B＝x+y，當x＝﹣1時，y＝﹣1時，求A²﹣2AB的值．

18．化簡求值：

（1）已知：（x﹣2）²+|y+1|＝0，求：2（x²+2xy）﹣3（﹣xy+3y²）+9y²的值？

（2）若關于x的方程2x+3a的解x＝﹣3，求a的值．

19．已知|a+2|+（b+1）²＝0，求：（3a+b）（3a﹣b）﹣（2a﹣b）²﹣5a（a﹣2b）的值．

20．在數學中，為了簡便，記，（x+1）+（x+2）+…+（x+n）

（1）請你用以上記法表示：1+2+3+…+2008＝　　；

（2）化簡：　　；

（3）　　；

（4）　　．

21．已知，求代數式4xy﹣（x²+5xy﹣y²）+（x²+3xy）的值．

22．小劉從家裡騎自行車出發，去鎮上超市途中碰到妹妹甜甜走路從鎮上回家，小劉在超市買完東西回家，在回去的路上又碰到了甜甜，便載甜甜一起回家，結果小劉比正常速度回家的時間晚了3分鐘，二人離鎮的距離S（千米）和小劉從家出發後的時間t（分鐘）之間的關系如圖所示，（假設二人之間交流時間忽略不計）

（1）小劉家離鎮上的距離　　．

（2）小劉和甜甜第1次相遇時離鎮上距離是多少？

（3）小劉從家裡出發到回家所用的時間？

23．某中學的小明和朱老師一起到一條筆直的跑道上鍛煉身體，到達起點後小明做了一會準備活動朱老師先跑，當小明出發時，朱老師已經距起點200米了，他們距起點的距離s（米）與小明出發的時間t（秒）之間的關系如圖所示（不完整）．根據圖中給出的信息，解答下列問題：

（1）在上述變化過程中，自變量是　　，因變量是　　；

（2）朱老師的速度為　　米/秒；小明的速度為　　米/秒；

（3）小明與朱老師相遇　　次，相遇時距起點的距離分别為　　米．

24．甲騎自行車、乙騎摩托車沿相同路線由A地到B地，行駛過程中路程與時間關系的圖象如圖所示，根據圖象解答下列問題：

（1）誰先出發？先出發多少時間？誰先到達終點？先到多少時間？

（2）分别求出甲、乙兩人的行駛速度；

（3）在什麼時間段内，兩人均行駛在途中？（不包括起點和終點）

25．某藥物研究單位試制成功一種新藥，經測試，如果患者按規定劑量服用，那麼服藥後每毫升血液中含藥量y（微克）随時間x（小時）之間的關系如圖所示，如果每毫升血液中的含藥量不小于20微克，那麼這種藥物才能發揮作用，請根據題意回答下列問題：

（1）服藥後，大約　　分鐘後，藥物發揮作用．

（2）服藥後，大約　　小時，每毫升血液中含藥量最大，最大值是　　微克；

（3）服藥後，藥物發揮作用的時間大約有　　小時．

26．如圖表示一輛汽車在行駛途中的速度v（千米/時）随時間t（分）的變化示意圖．

（1）從點A到點B、點E到點F、點G到點H分别表明汽車在什麼狀态？

（2）汽車在點A的速度是多少？在點C呢？

（3）司機在第28分鐘開始勻速先行駛了4分鐘，之後立即以減速行駛2分鐘停止，請你在本圖中補上從28分鐘以後汽車速度與行駛時間的關系圖．

27．一個裝有進水管和出水管的容器，從某時刻開始的4分鐘内隻進水不出水，在随後的8分鐘内既進水又出水，接着關閉進水管直到容器内的水放完．假設每分鐘的進水量和出水量是兩個常數，容器内的水量y（單位：升）與時間x（單位：分鐘）之間的部分關系如圖象所示．求從關閉進水管起需要多少分鐘該容器内的水恰好放完．

28．圖1中的摩天輪可抽象成一個圓，圓上一點離地面的高度y（m）與旋轉時間x（min）之間的關系如圖2所示，根據圖中的信息，回答問題：

（1）根據圖2補全表格：

（2）如表反映的兩個變量中，自變量是　　，因變量是　　；

（3）根據圖象，摩天輪的直徑為　　m，它旋轉一周需要的時間為　　min．

29．一水果個體戶在批發市場按每千克1.8元批發了若幹千克的西瓜在城鎮出售，為了方便，他帶了一些零錢備用．他先按市場價售出一些後，又降價出售．售出西瓜千克數x與他手中持有的錢數y元（含備用零錢）的關系如圖所示，結合圖象回答下列問題：

（1）水果個體戶自帶的零錢是多少？

（2）降價前他每千克西瓜出售的價格是多少？

（3）随後他按每千克下降0.5元将剩餘的西瓜售完，這時他手中的錢（含備用的錢）是450元，問他一共批發了多少千克的西瓜？

（4）請問這位水果個體戶一共賺了多少錢？

30．小明、小亮從寶安中心圖書館出發，沿相同的線路跑向寶安體育場，小明先跑一點路程後，小亮開始出發，當小亮超過小明150米時，小亮停在此地等候小明，兩人相遇後，一起以小明原來的速度跑向寶安體育場，如圖，反映了兩人所跑路程y（米）與所用時間x（秒）之間的關系，請根據題意解答下列問題：

（1）問題中的自變量是　　，因變量是　　；

（2）小明共跑了　　米，小明的速度為　　米/秒；

（3）圖中a＝　　米，小亮在途中等候小明的時間是　　秒；

（4）小亮從A跑到B這段的速度為　　米/秒．

31．某農民帶了若幹千克土豆進城出售，為了方便，他帶了一些零用錢備用，他先按市場價賣出一些後，又降價賣，賣出土豆千克數x與他手中持有的錢數y（含備用零錢）的關系如圖所示．結合圖象回答下列問題：

（1）該農民自帶的零錢是多少？

（2）降價前土豆的單價是多少？

（3）降價後他按每千克0.4元将剩餘下的土豆售完，這時他手中的錢（含備用零錢）是26元，問他一共帶了多少千克土豆？

32．甲、乙兩人從A地出發，騎自行車沿同一條路行駛到B地，他們離出發地的距離s（單位：km）和行駛時間t（單位：h）之間的關系的圖象如圖所示，且甲停止一段時間後再次行走的速度是原來的一半，回答下列問題：

（1）求乙的速度？

（2）甲中途停止了多長時間？

（3）兩人相遇時，離B地的路程是多少千米？

33．如圖表示一輛汽車在行駛途中的速度v（千米/時）随時間t（分）的變化示意圖：

（1）從點A到點B、點E到點F、點G到點H分别表明汽車在什麼狀态？

（2）分段描述汽車在第0分鐘到第28分鐘的行駛情況；

（3）汽車在點A的速度是多少？在點C呢？

34．某天早晨，王老師從家出發步行前往學校，途中在路邊一小吃店用早餐，如圖是王老師從家到學校這一過程中的所有路程s（米）與時間t（分）之間的關系．

（1）他家與學校的距離為　　米，從家出發到學校，王老師共用了　　分鐘；

（2）王老師從家出發　　分鐘後開始用早餐，花了　　分鐘；

（3）王老師用早餐前步行的速度是　　米/分，用完早餐以後的速度是　　米/分．

35．某景區的旅遊線路如圖1所示，其中A為入口，B，C，D為風景點，甲遊客以一定的速度沿路線“A→B→C→D→A”步行遊覽，在每個景點他都逗留一段時間，當他回到A處時，共用去4.5h，甲步行的路程s（km）與遊覽時間t（h）之間的部分函數圖象如圖2所示．根據圖回答下列問題：

（1）圖2中自變量是　　，因變量是　　．

（2）改遊客在景點B處逗留的時間是　　小時，他從景點B到景點C時行走的平均速度是　　千米/時．

（3）該遊客沿路線“A→B→C→D→A”共步行的路程是　　km．

（4）圖2中點P表示　　．

36．如圖所示，A、B兩地相距50千米，甲于某日下午1時騎自行車從A地出發駛往B地，乙也于同日下午騎摩托車按同路從A地出發駛往B地，如圖所示，圖中的折線PQR和線段MN分别表示甲、乙所行駛的路程S與該日下午時間t之間的關系．

根據圖象回答下列問題：

（1）甲和乙哪一個出發更早？早出發多長時間？

（2）甲和乙哪一個更早到達B城，早多長時間？

（3）乙出發大約用多長時間就追上甲？

（4）描述一下甲的運動情況．

（5）請你根據圖象上的數據，分别求出乙騎摩托車的速度和甲騎自行車在全程的平均速度．

37．下面的圖象反映的過程是：小明從家去超市買文具，又去書店購書，然後回家．其中x表示時間，y表示小明離他家的距離，若小明家、超市、書店在同一條直線上．

根據圖象回答下列問題：

（1）超市離小明家多遠，小明走到超市用了多少時間？

（2）超市離書店多遠，小明在書店購書用了多少時間？

（3）書店離小明家多遠，小明從書店走回家的平均速度是每分鐘多少米？

38．如圖1，一條筆直的公路上有A、B、C三地，甲、乙兩輛汽車分别從A、B兩地同時開出，沿公路勻速相向而行，駛往B、A兩地．甲、乙兩車到C地距離y₁、y₂（千米）與行駛時間x（時）的部分函數圖象如圖2所示．

（1）A、B兩地距離為　　千米；

（2）M點的坐标是　　；

（3）在圖2中補全甲車到C地的距離y₁（千米）與行駛時間x（時）的函數圖象；

（4）兩車行駛多長時間時到C地的距離相等？

39．小明晚飯後外出散步，碰見同學，交談一會，返回途中在讀報欄看了一會報．下圖是根據此情景畫出的圖象，請你回答下列問題：

（1）小明在什麼地方碰見同學的，交談了多少時間？

（2）讀報欄離家多遠？

（3）小明在哪一段路程中走得最快？

（4）小明出發15分鐘後離家多遠？

（5）小明出發多長時間離家500米？

40．2003年夏天，湖南省由于持續高溫和連日無雨，水庫蓄水量普遍下降，下圖是某水庫的蓄水量V萬米³與幹旱持續時間t（天）之間的關系圖，請根據此圖，回答下列問題：

（1）該水庫原蓄水量為多少萬米³？持續幹旱10天後，水庫蓄水量為多少萬米³？

（2）若水庫的蓄水量小于400萬米³時，将發出嚴重幹旱警報，請問：持續幹旱多少天後，将發出嚴重幹旱警報？

（3）按此規律，持續幹旱多少天時，水庫将幹涸？

41．如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分别為AB、BD中點．

（1）探索CM與EM′有怎樣的數量關系？請證明你的結論；

（2）如圖2，連接MM′并延長交CE于點K，試判斷CK與EK之間的數量關系，并說明理由．

42．在△ABC中，點D、E分别在AB、AC邊上，設BE與CD相交于點F．

（1）如圖①，設∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，證明：DF＝EF．

（2）如圖②，設BE⊥AC，CD⊥AB，點G在CD的延長線上，連接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，證明：GD＝DF．

43．如圖，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，求證：AB＝AC+BD．

44．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F．已知AD＝2cm，BC＝5cm．

（1）求證：FC＝AD；

（2）求AB的長．

45．已知△ABC和△DEF為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，點E在AB上，點F在射線AC上．

（1）如圖1，若∠BAC＝60°，點F與點C重合，求證：AF＝AE+AD；

（2）如圖2，若AD＝AB，求證：AF＝AE+BC．

46．【閱讀理解】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值範圍．小明在組内經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是　　．

A．SSSB．SASC．AASD．HL

（2）求得AD的取值範圍是　　．

A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7

【感悟】

解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．

【問題解決】

（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．

47．如圖，△ABC中，AC＞AB，D是BA延長線上一點，點E是∠CAD平分線上一點，EB＝EC過點E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．

（1）請你在不添加輔助線的情況下找出一對你認為全等的三角形，并加以證明；

（2）若AB＝3，AC＝5，求AF的長．

48．如圖，已知凸五邊形ABCDE中，EC，EB為其對角線，EA＝ED．

（1）如圖1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求證：CE平分∠BCD；

（2）如圖2，∠A與∠D互補，∠DEA＝2∠CEB，若凸五邊形ABCDE面積為30，且CDAB＝4．求點E到BC的距離．

49．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，F分别在AB，BC，AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．

（1）求證：△DEF是等腰三角形；

（2）當∠A＝50°時，求∠DEF的度數；

（3）若∠A＝∠DEF，判斷△DEF是否為等腰直角三角形．

50．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，求證：

（1）AM⊥DM；

（2）M為BC的中點．

51．如圖，△ABC的∠B和∠C的平分線BD，CE相交于點F，∠A＝60°，

（1）求∠BFC的度數．

（2）求證：BC＝BE+CD．

52．已知：如圖AD、A′D′分别為鈍角△ABC和鈍角△A′B′C′的邊BC、B′C′上的高，且AB＝A′B′，AD＝A′D′請你補充一個條件　　（隻需寫出一個你認為适當的條件）使得△ABC≌△A′B′C′，并加以證明．

53．探究

問題1已知：如圖1，三角形ABC中，點D是AB邊的中點，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别為點E，F，AE，BF交于點M，連接DE，DF．若DE＝kDF，則k的值為　　．

拓展

問題2已知：如圖2，三角形ABC中，CB＝CA，點D是AB邊的中點，點M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，過點M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别為點E，F，連接DE，DF．求證：DE＝DF．

推廣

問題3如圖3，若将上面問題2中的條件“CB＝CA”變為“CB≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數量關系，并證明你的結論．

54．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點F為AB延長線上一點，點E在BC上，BE＝BF，連接AE，EF和CF．

（1）求證：△ABE≌△CBF；

（2）若∠CAE＝30°，求∠EFC的度數．

55．已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，點C重合）．以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．

（1）如圖1，當點D在邊BC上時．

①求證：△ABD≌△ACE；

②直接判斷結論BC＝DC+CE是否成立（不需證明）；

（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，請寫出BC，DC，CE之間存在的數量關系，并寫出證明過程．

56．如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别為D、E，BE、CD交于點O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．

57．如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；

（2）如圖（2），将圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．

58．如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．

（1）示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系．

答：AB與AP的數量關系和位置關系分别是　　、　　．

（2）将△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．請你觀察、測量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系．答：BQ與AP的數量關系和位置關系分别是　　、　　．

（3）将△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP、BQ．你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

59．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．

（1）求證：△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度數；

（3）求證：CD＝2BF+DE．

60．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D為△ABC内一點，且BD＝AD．

（1）求證：CD⊥AB；

（2）∠CAD＝15°，E為AD延長線上的一點，且CE＝CA．

①求證：DE平分∠BDC；

②若點M在DE上，且DC＝DM，請判斷ME、BD的數量關系，并給出證明；

③若N為直線AE上一點，且△CEN為等腰三角形，直接寫出∠CNE的度數．