高考數學秘笈：四步解題法18——揭示本質之本質特征
馮躍峰
所謂揭示本質，就是從本質上把握事物的特點與性質。
數學問題的本質，是指那些直接影響解題的有關信息。它主要包括兩個方面：
一是本質特征，即問題具有的與解題有關的一些特點和性質。
二是本質要求。任何數學問題都對解題者提出了明确的要求，“明确目标”僅僅是認識了題目要求的表象，但這種要求的本質是什麼？由條件到結論實質上是要做一項什麼工作？還需要解題者從更高的層次上去把握。
我們看一個例子。
例1、設f（x）是R上的增函數，且
求f（x）。【分析與解】先明确目标，求出所有合乎要求的f（x）的解析式。
以題中給出的兩個條件為起點，可建立如下解題主線：
f（x）是R上的增函數，
——→ f（x）=…遺憾的是，這兩個條件如何運用？一時還難以看出端倪。
比如，如何利用“f（x）是R上的增函數”？根據增函數的本質特征，要利用增函數進行推理，需要先有一個不等式“u f（u） 将此特征與目标比較，顯然的差異是：目标為等式，而條件為不等式。 由此想到，為了利用條件，目标能否用不等式的形式來刻畫？ 假定f（x）的解析式已經求出，設為p（x），則目标變為 f（x）=p（x）。 它的含義是，對任何實數x，等式都成立，沒有例外。 現在要将目标轉化為不等式，則隻需排除哪些“例外”即可：假定存在x₁，使 f（x₁）≠p（x₁）， 則有兩種可能： 或者f（x₁） 或者f（x₁）>p（x₁）。 将這兩種情形都否定掉即可。這也就為利用函數的遞增性創造了時機。 現在需要做的事情是，确定p（x）是什麼。這可借助另一個條件： 聯想到反函數圖像的相關知識，可知f（x）的圖形沿直線y=x對稱後，圖像與本身重合，由這一幾何特征，不難發現p（x）=x（當然，幾何直觀需要輔之以代數的嚴格證明）。 至此，我們隻需證明， f（x₁）< x₁、f（x₁）> x₁ 都不可能成立即可。 這采用反證法推理模式，結合函數的單調性，問題迎刃而解。具體解答如下： 【新寫】首先，f（x）=x是合乎條件的函數。 下面證明它是唯一合乎條件的函數。 假定存在x ₁，使f（x ₁） f（f（x ₁））< f（x ₁）。 又由題意，有 代入上式，得 即x ₁< f（x ₁），這與假設矛盾。 所以，對一切x，恒有f（x）≥x。 同樣可以證明，對一切x，恒有 f（x）≤x。故f（x）=x。 下面看一個簡單的例子。 例2、一根長為l厘米的線，一端固定，另一端懸挂一個小球，小球擺動時，離開平衡位置的位移s（厘米）和時間t（秒）的函數關系是 （1）求小球擺動的周期； （2）已知g=980厘米/秒²，要使小球擺動的周期是1秒，線的長應是多少厘米？ 【分析與解】本題選自中學數學課本，它包含了多種信息。其中有些信息與解題是無關的，如“線”、“小球”、“平衡位置”、“位移”、“時間”等，這些都對解題沒有影響； 而有的信息則與解題密切相關，如“周期”、“函數 u=Acos（ωx+φ）内函數的周期。 第二問則不過是反過來由周期求常數l，認識到這一點，問題就不難獲解。 顯然，對于（1），小球擺動的周期 T= = 對于（2），令T=1，則 解得
我們再看一個難度稍大一點的例子。
例3、設x>2，求
的值域。【分析與解】見到這種形式的值域問題，不少同學立馬想到“判别式法”。
但殊不知，這裡有附加條件“x>2”，與通常值域問題存在差異：需要讨論相應二次方程在（2，+∞）上的根的分布，過程很繁。
又或者想到分離整數部分的變形技巧，雖然過程相對上一方法簡單些，但仍較繁。
我們這樣來理解問題的本質特征：令
，則所求值域，就是y的取值範圍。更廣義地說，隻要能求出某個關于y的函數q（y）的取值範圍，然後解不等式，即可得到y的取值範圍。
由于y與x相關，從而q（y）亦與x相關，可以表示為：p（x）=q（y）（參數分離形式）。
如果其中p（x）是我們熟悉的基本函數，容易求其值域，則問題迎刃而解：設p（x）的值域為A，有q（y）∈A，由此即可得出y的變化範圍。
有了對問題本質特征的認識，解題思路則豁然開朗，具體解答如下：
【新寫】令
，則 。整理，得
分離參數，得
所以，
，進而
即
因為x>2，所以
所以
即
這等價于（2y-1）（y-1）<0，
解得
故f（x）的值域為（
，1）。下一個問題解法與之類似，留給讀者作為練習。
例4、設-1
求
的值域。【分析與解】本題若用分離整數部分的變形技巧，則過程較繁，因為涉及到負數取倒數的變形。下面采用把握目标本質特征（廣義目标）的思路，則過程較為簡單。
令
，則2xy+y=1-x，所以（2y+1）x=1-y，
所以
。因為-1
由
，得，即
，所以y<-或y>0。由
，得
，所以y<-2，或y>-
。故
的值域為（-∞，-2）∪（0，+∞）。
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