概率的基本性質
一、知識概述
（一）事件的關系與運算
1、包含關系
對于事件A與事件B，如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A（或稱事件A包含于事件B），記作B
A（或AB）．事件的包含關系與集合的包含關系：
與集合的包含關系類似，B包含事件A（B
A或AB）可用下圖表示．
不可能事件記作
，顯然（C為任一事件）．事件A也包含于事件A，即A
A．例如：在投擲骰子的試驗中，{出現1點}
{出現的點數為奇數}．2、相等事件
如果B
A且BA，那麼稱事件A與事件B相等，記作A＝B．（1）兩個相等的事件A、B總是同時發生或同時不發生；
（2）所謂A＝B，就是A、B是同一事件，這在驗證兩個事件是否相等時，是非常有用的，在許多情況中可以說是唯一的一種方法．例如事件C發生，那麼事件D一定發生，反之亦然，則C＝D．
3、并（和）事件
若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作A∪B（或A＋B）．
并（和）事件與集合的并集的關系：
與兩個集合的并集類似，并事件A∪B（或A＋B）可用下圖表示．
并事件具有三層意思：
①事件A發生，事件B不發生；
②事件B發生，事件A不發生；
③事件A、B同時發生．
即事件A、B至少有一個發生．
事件A與事件B的并事件等于事件B與事件A的并事件．即A∪B＝B∪A．
例如：在投擲骰子的試驗中，事件C、D分别表示投擲骰子出現1點、5點，則C∪D＝{出現1點或5點}．
4、交（積）事件
若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作A∩B（或AB）．
交（積）事件與兩個集合的交集類似，交事件A∩B（或AB）可用下圖表示．
事件A與事件B的交事件等于事件B與事件A的交事件，即A∩B＝B∩A．
例如：在投擲骰子的試驗中，{出現的點數大于3}∩{出現的點數小于5}＝{出現的點數為4}.
5、互斥事件
若A∩B為不可能事件，即A∩B＝
，那麼稱事件A與事件B互斥．思考：如何判斷兩個事件互斥？
探究：在任何條件下都不可能同時發生的事件才是互斥事件．
互斥事件與集合的關系：
與兩個集合類似，互斥事件可用下圖表示．
（1）A、B互斥是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生；
（2）如果A與B是互斥事件，那麼A與B兩個事件同時發生的概率為0；
（3）推廣：如果事件A1，A2，…，An中的任何兩個事件互斥，就稱事件A1，A2，…，An彼此互斥．從集合角度看，n個事件互斥是指各個事件所含結果的集合彼此不相交．
例如：在投擲骰子的試驗中，若
C1＝{出現1點}，C2＝{出現2點}，C3＝{出現3點}，
C4＝{出現4點}，C5＝{出現5點}，C6＝{出現6點}，
則事件C1與事件C2互斥，C1，C2，C3，C4，C5，C6彼此互斥．
6、對立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那麼事件A與事件B互為對立事件．
對立事件與集合：
與兩個集合類似，對立事件可用下圖表示．
（1）從集合角度看，事件A的對立事件，是全集中由事件A所包含結果組成的集合的補集；例如：在投擲骰子的試驗中，C＝{出現2點}，則C的對立事件是D＝{出現1，3，4，5，6點}．
（2）事件A、B對立是指事件A與事件B在一次試驗中有且僅有一個發生．事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生．
（3）對立事件是針對兩個事件來說的，一般地，兩個事件對立，則兩個事件必為互斥事件，反之，兩個事件是互斥事件，但未必是對立事件．
（4）對立事件是一種特殊的互斥事件，若A與B是對立事件，則A與B互斥且A∪B（或A＋B）為必然事件．
（5）在一次試驗中，事件A與它的對立事件隻能發生其中之一，并且也必然發生其中之一．
（二）概率的幾個基本性質
1、概率P（A）的取值範圍
由于事件的頻數總小于或等于試驗的次數，所以頻率在0到1之間，從而任何事件的概率都在0到1之間，即0≤P（A）≤1．
聯想·引申：
（1）必然事件B一定發生，則P（B）＝1；
（2）不可能事件C一定不發生，則P（C）＝0；
（3）若A
B，則P（A）≤P（B）．2、概率的加法公式
當事件A與B事件互斥時，A∪B發生的頻數等于A發生的頻數與B發生的頻數之和，從而A∪B的頻率fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)，則概率的加法公式為：
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
聯想·發散：
（1）事件A與事件B互斥，如果沒有這一條件，加法公式将不能應用．
例如：抛擲一顆骰子，觀察擲出點數，記事件A＝“出現奇數”，事件B＝“出現的點數不超過3”，那麼A與B就不互斥．因為如果出現1或3，就表示A與B同時發生了．事件A∪B包括4種結果：出現1，2，3和5，因而P（A∪B）＝
，而P（A）＝，P（B）＝，顯然，P（A∪B）≠P（A）＋P（B）；（2）如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那麼P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An），即彼此互斥事件的概率等于各事件概率的和；
（3）在求某些稍複雜的事件的概率時，可将其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易．
3、對立事件的概率公式
若事件A與事件B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P（A∪B）＝1，又P（A∪B）＝P（A）＋P（B），故P（A）＝1－P（B）．
注：兩個互斥事件不一定是對立事件，而兩個對立事件一定是互斥事件，即兩個事件對立是這兩個事件互斥的充分不必要條件．
二、例題講解：
例1、判斷下列事件是否是對立事件，是否是互斥事件．
從撲克牌40張（黑紅梅方各10張）中任取一張．
（1）抽出的是紅桃與抽出的是黑桃；
（2）抽出的紅色牌與抽出的是黑色牌；
（3）抽出的牌點數為5的倍數與抽出的牌點數大于9.
答案：互斥不對立，互斥對立，不互斥不對立
例2、福娃是北京2008年第29屆奧運會吉祥物，每組福娃都由“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”這五個福娃組成．甲、乙兩位好友分别從同一組福娃中各随機選擇一個福娃留作紀念，按先甲選再乙選的順序不放回地選擇，則在這兩位好友所選擇的福娃中，“貝貝”和“晶晶”恰好隻有一個被選中的概率為________．
例3、某地區的年降水量在下列範圍内的概率如下表所示：
年降水量
(單位：mm)
[100，150）
[150，200）
[200，250）
[250，300）
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
（1）求年降水量在[100，200)(mm)内的概率；
（2）求年降水量在[150，300)(mm)内的概率．
解：
（1）記這個地區的年降水量在
、、、範圍内分别為事件，這4個事件是彼此互斥的，根據互斥事件的概率加法公式，年降水量在[100，200)(mm)範圍内的概率是，∴年降水量在[100，200)(mm)範圍内的概率是0.37．（2）年降水量在[150，300)(mm)範圍内的概率是
，
∴年降水量在[150，300)(mm)範圍内的概率是0.55．
例4、某工廠的産品中，出現二級品的概率是0.07，出現三級品的概率是0.03，其餘都是一級品和次品，并且一級品數量是次品的9倍，求出現一級品的概率．
解：
設出現一級品的概率是P（A），因為一級品數量是次品的9倍，故出現一級品的概率也是次品的概率的9倍，出現次品的概率為P(A)．根據題意，應有P(A)＋
P(A)＋0.07＋0.03＝1，解得P(A)＝0.81．∴出現一級品的概率是0.81．
例5、同時抛擲兩個骰子（各個面上分别标有數字1，2，3，4，5，6）．計算：
（1）向上的數相同的概率；
（2）向上的數之積為偶數的概率．
解：
每擲一個骰子都有6種情況，所以同時擲兩個骰子總的結果數為6×6＝36種．
（1）向上的數相同的結果有6種，故其概率為
．（2）向上的數之積為偶數的情況比較多，可以先考慮其對立事件，即向上的數之積為奇數．向上的數之積為奇數的基本事件有：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9個，故向上的數之積為奇數的概率為；
根據對立事件的性質知，向上的數之積為偶數的概率為
．例6、射手在一次射擊訓練中，射中10環、9環、8環、7環的概率分别為0.21、0.23、0.25、0.28，計算這個射手在一次射擊中：
(1)射中10環或7環的概率；
(2)不夠7環的概率．
解：
(1)記：“射中10環”為事件A，記“射中7環”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發生，故A與B是互斥事件．“射中10環或7環”的事件為A＋B，
故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49．
(2)記“不夠7環”為事件E，則事件
為“射中7環或8環或9環或10環”，由(1)可知“射中7環”“射中8環”等是彼此互斥事件．∴＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
從而P(E)＝1－
＝1－0.97＝0.03，所以不夠7環的概率為0.03．
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