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關于立體角,續一

1.2立體角的單位

表1:立體角的單位

序号

名稱

符号

換算關系

1

全空間

1個全空間=4πsr

2

卦限

卦限=全空間/8

3

球面度

sr

1sr=全空間/(4π)

4

平方度

□°、(°)2

1□°=0.000304617sr

5

平方分

□'、(')2

1□'=(1/3600)□°=8.4616*10-8sr

6

平方秒

□"、(")2

1□"=(1/3600)□'=2.3504*10-11sr

7

平方岡*

□g或(g)2

1□g=0.000246740sr

*注:岡(gon,“新度”,記為g。聯系英語中源于希臘語的pentagon之類詞,可以理解gon的涵義就是“角”)是按國際計量局《國際單位制》要求應淘汰的平面角單位,所以今後會更少有人用到“平方岡”作為立體角的單位。100g=90°=(π/2)rad,1g=100c=10000cc,這裡c稱為厘岡或新分,cc稱為新秒,即所謂新度、新分、新秒分别等于全平面角(2πrad或360°)的1/400、1/40000、1/4000000。

由于平面上1弧度=180°/π,其定義是圓周上與半徑等長的弧所對的圓心角,故定義,球面上1平方弧度,或球面度,是這樣一個立體角,它自球心向一個球面區域(球冠等)張開,這個區域的面積等于半徑的平方,又由于球面積=4πr2,那麼,1球面度就是全空間的1/4π。1球面度約等于(180/π) 2或3282.8平方度。1平方度=60x60=3600平方分,1平方分=60x60=3600平方秒。

以地球表面為例,假定它是完美的球面,“直觀形象”地比較一下這些單位的大小比例。

地球總面積約為5.1億平方千米,那麼由地心張開的1個球面度在地表所占的面積為5.1億平方千米/4π≈4050萬平方千米,比俄、加、中三個面積最大的國家國土面積之和還大些;

而由地心張開的1個平方度在地表所占的面積為4050萬平方千米/3282.8≈12350平方千米,相當于110千米見方的一個地區,或1/3個台灣或海南島;

由地心張開的1個平方分在地表所占的面積為12350平方千米/3600≈3.43平方千米;

由地心張開的1個平方秒在地表所占的面積為3.43平方千米/3600≈0.95平方米。

再以地球赤道為例,假定它是完美的圓形,看平面角單位的大小比例。

赤道半徑6378千米,赤道周長約40074千米,則地心所張的平面角每度所對的赤道弧長為111.3千米;

每個角分所對的赤道弧長為111.3/60≈1.855千米,

每個角秒所對的赤道弧長為1855/60≈30.92米。此數值與上述每個平方秒所對的0.95平方米遠不相稱,由此可知,1平方秒=1/3600平方分和1平方分=1/3600平方度隻是人為的規定,1平方秒決不是1個平面的角秒的簡單平方。

表2:平面角與立體角單位之異同示例

地心立體角

地表面積(km2)

地心平面角

地表弧長(km)

4πsr

全球5.09x108

赤道40074

1球面度sr

4.05x107

1弧度rad

6378

1平方度

1.235x104

1平面角度

111.3

1平方分

3.43

1平面角分

1.855

1平方秒

9.53x10-7

1平面角秒

0.0309

注:全球面積按地球平均半徑6367km計,赤道周長按赤道半徑6378km計。

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