直覺主義的哲學思想來自康德。它特别強調人的直覺對數學概念的作用。
01
布勞威爾:構造出的自然數
作為直覺主義學派的創始人和代表人物,布勞威爾提出了他對數學對象的看法。
圖1 布勞威爾
數學中最基本的東西是什麼呢?他認為是自然數。自然數怎麼來的呢?他認為是靠人直觀地理解從1開始每次加1這個過程。也就是反複領會這麼一串符号:
|,||,|||,||||,|||||,…
當然,也可以是*,**,***,****,…他認為,人确實具有先天的直覺能力,能肯定這樣能一個一個地把自然數構造出來。因此,數學對象是人靠智力活動構造出來的。
這樣,就否定了柏拉圖主義自然數是客觀存在的觀點。認為自然數客觀存在,必然認為自然數總體是存在的。因而承認實無窮,即無窮集合。如果認為自然數是這麼一個一個構造出來的,承認不承認自然數總體呢?布勞威爾認為不能考慮自然數總體。因為直覺可以想象構造出每一個确定的自然數,卻不能想象構造出全體自然數的過程,因為那需要無窮的時間。
康德認為人的數學直覺分為時間與空間兩方面,布勞威爾認為,時間直覺已經夠了。有時間感,可以分先後次序,就可以從直觀上把握自然數的産生過程。
圖2 康德
02
構造性數學
直覺主義認為:數學的對象,必須能像自然數那樣明顯地用有限步驟構造出來,才可以認為是存在的。什麼全體自然數,全體實數,統統無法考慮,因為構造不出來!因此,他們主張一種“構造性數學”。于是,直覺主義也被叫做構造主義者。
這種否定實在無窮的觀點,最早可以追溯到亞裡土多德。在數學家當中,康托的老師克朗南格也反對無窮集的觀點。主張數學研究的對象一定要能夠在有限步驟之内構造出來,構造不出來的就不存在。
比如,π= 3.… ,它的每一位小數都是可以計算出來的。現在用下述辦法定義一個數d:
(A)如果數列“”在π的十進小數表示式中反複出現無窮多次,就規定d=1。
(B)如果數列“'在π的十進小數表示式中不出現或隻出現有窮多次,就規定d=0。
圖3 π
按數學上通常的那解,這個數d是存在的。它或者是0或者是1,因為(A)、(B)必有一成立。
在直覺主義者看來,d不存在。因為沒有給出個辦法把d構造出來。
這樣,直覺主義者就否認了邏輯上“排中律”在數學中的應用。在數學中,常常使用反證法。反證法就是應用排中律。而直覺主義就不同意使用反證法。他們主張,要證明一個命題,隻能從正面證明。用反證法隻證明了命題的否命題不成立,而沒有證明命題成立。
這樣一來,事情就鬧大了。集合論,實數理論,微積分...各個數學分支的大部分基本論證都成為不合法的了。因此多數數學家都不接受直覺主義的觀點。因為損失太大。
布勞威爾在自己觀點指導下開始了龐大的工程。他建立了構造性的數學:構造性實數,構造性集合論,構造性微積分。在計算機出現之後,構造性數學有了大用場。因為計算機隻處理可構造出來的具體符号串。
圖4 計算機内部
03
直覺主義派的貢獻
直覺主義派不但沒使數學受到損害,反而用構造性數學使這一領域大大豐富了。
還有一個有趣的現象:直覺主義派的數學家們自己的數學實踐活動并不限于構造性數學。像波雷爾,龐加萊,勒貝格這些數學大師們,盡管觀點上是直覺主義的,但他們在數學上的主要貢獻都是非構造性。布勞威爾在數學上最突出的貢獻是“不動點定理”,這個定理的證明用的恰恰是布勞威爾所禁止使用的反證法。
我國著名數學家吳文俊教授指出,中國古代數學是構造性數學。在每一個問題中都力求給出構造性的解答。吳文俊教授還指出:由于計算機技術的發展,構造性數學在不遠的将來将出現大的發展,甚至成為數學的主流。
圖5 中國古代數學
但是,直覺主義的觀點和工作仍沒有達到否定柏拉圖主義的目的。他們使數學家認識到,數學論證有可構造與不可構造之分。但又怎樣使持有柏拉圖主義的數學家們承認:不可構造的數學對象在客觀上是不存在的呢?
有話要說...