簡單介紹數學中的空間概念

簡單介紹數學中的空間概念

數學中的空間類型很多，例如可分為：

仿射空間（稱線性流形）、拓撲空間、一緻空間、 豪斯道夫空間、巴拿赫空

間、向量空間（或稱線性空間)、賦範向量空間（或稱線性賦範空間）、内積空

間、度量空間、完備度量空間、歐幾裡得空間、希爾伯特空間、射影空間、函

數空間、樣本空間、概率空間 等類。

為什麼它們都叫‘空間’？有什麼相同之處？又有什麼不同之處？為此本文将

作一些簡單的介紹。

寫作本文的目的是為了結合數學來深入說明物理學中的4維時空是個客觀存在，

它在數學上它對應着一個4維的非歐幾裡得空間。讓我們從數學中的空間概念談

起。

在網上搜索，可得到下述對數學中空間概念的解釋：

*數學中不同種類的空間是一些不同種類的集合，這些集合各具有其特殊性質或附加結構。

*最簡單的空間是3維歐幾裡得空間，其它空間是3維歐幾裡得空間在一些特殊性質或附

加結構上的延伸、推廣、發展與抽象。

數學中各類空間相同之處就在于它們都是一些集合。這類似于歐幾裡得空間是幾何

點的集合（點組成直線，直線組成平面，平面組成3維空間，歸根結底，3維歐幾裡

得空間是幾何點的集合）。數學中各類空間不相同之處就在于所對應的集合各具有其

特殊性質和不同的附加結構。

關于4維時空的客觀存在性，我們留在下次博文中讨論。

為了使初學者對數學中各類空間有個初步的印象我們把Ma H, Young M. 所

寫“空間” (Academ Arena 2015;(3):75-78)一文摘錄在下面，供大家參考：

仿射空間，又稱線性流形，是數學中的幾何結構，這種結構是歐氏空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中，點與點之間做差可以得到向量，點與向量做加法将得到另一個點，但是點與點之間不可以做加法。

拓撲空間是一種數學結構，可以在上頭形式化地定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居于中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。拓撲空間是一個集合和其上定義的拓撲結構組成的二元組。 拓撲結構涵蓋開集，閉集，鄰域，開核，閉包，導集及濾子等概念。從這些概念出發，可以給拓撲空間作出若幹種等價的定義。

在拓撲學這個數學領域裡，一緻空間 （uniform space）是指帶有一緻結構的集合。一緻空間是一個拓撲空間，可以用來定義如完備性、 一緻連續及一緻收斂等一緻性質的附加結構。一緻結構和拓撲結構之間的概念區别在於，一緻空間可以形式化有關于相對鄰近性及點間臨近性等特定概 念。「x 鄰近于 a 勝過 y 鄰近于 b」之類的概念， 在一緻空間中是有意義的。而相對的，在一般拓撲空間内，給定集合 A 和 B，有意義的概念隻有：點 x 能“任意鄰近”A（亦即在 A 的閉包內）；或是 和 B 相比，A 是 x 的“較小鄰域”，但點間鄰近性和相對鄰近性就不能隻用拓撲結構來描述了。一緻空間廣義化了度量空間和拓撲群，因此成為多數數學分析的根基。

在拓撲學和相關的數學分支中，豪斯多夫空間、分離空間或 T2 空間是其中的點都由鄰域分離的拓撲空間。在許多可用于拓撲空間上的分離公理中，“豪斯多夫條件”是最常使用的，它蘊涵了序列、網和濾子的極限的唯一性。這個條件可用個雙關語來形容：如果某空間中任兩點可用開集合将彼 此“豪斯多夫”開來，該空間就是“豪斯多夫”的。豪斯多夫得名于拓撲學的創立者之一費利克斯·豪 斯多夫。豪斯多夫最初的拓撲空間定義把豪斯多夫條件包括為公理。

在數學裡，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空間是一個完備賦範向量空間，是一個具有範數並對此範數完備的向量空間。巴拿赫空間有兩種常見的類型：實巴拿赫空間及複巴拿赫空間，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由實數或複數組成的域之上。許多在數學分析中學到的無限維函數空間都是巴拿赫空間，包括由連續函數（緊緻赫斯多夫空間上的連續函數）組成的空間、由勒貝格可積 函數組成的 Lp 空間及由全純函數組成的哈代空間。上述空間是拓撲向量空間中最常見的類型，這些空間的拓撲都自來其範數。

向量空間（或稱線性空間）是現代數學中的一個基本概念，是線性代數研究的基本對象。向量空間的一個直觀模型是向量幾何，幾何上的向量及相關的運算即向量加法，標量乘法，以及對運算的一些限制如封閉性，結合律，已大緻地描述了向量空間這個數學概念的直觀形象。單變元實函數的集合在定義适當的運算後，也構成向量空間，研究此類函數向量空間的數學分支稱為泛函分析。

在數學中，賦範向量空間是具有長度概念的向量空間，是通常的歐幾裡得空間 Rn 的推廣，Rn 中的長度被更抽象的範數替代。長度概念的特征是： (1) 零向量的長度是零，并且任意向量的長度是非負實數。(2) 一個向量 v 乘以一個标量 a 時，長 度應變為原向量 v 的 |a|（ a 的絕對值）倍。(3) 三角不等式成立。也就是說，對于兩個向量 v 和 u ，它們的長度和（“三角形”的兩邊）大于 v+u （第三邊）的長度。一個把向量映射到非負實數的函數如果滿足以上性質，就叫做一個半範數；如果隻有零向量的函數值是零，那麼叫做範數。擁有一個範數的向量空間叫做賦範向量空間，擁有半範數 的叫做半賦範向量空間。

内積空間是數學中的線性代數裡的基本概念， 是增添了一個額外的結構的向量空間。這個額外的結構叫做内積或标量積。内積将一對向量與一個标 量連接起來，允許人們嚴格地研究向量的夾角和長度，并進一步讨論向量的正交性。内積空間由歐幾裡得空間抽象而來（内積是點積的抽象），這是泛函分析讨論的内容。内積空間有時也叫做準希爾伯特空間（pre-Hilbert space），因為由内積定義 的距離完備化之後就會得到一個希爾伯特空間。

在數學中，度量空間是一個集合，而一個度量空間(集合)必須在這個集合的元素之間(或元素 和子集合、子集合和子集合之間)的距離（度量） 概念有所定義。度量的概念是對從歐幾裡得距離的 四個周知的性質引發的歐幾裡得度量的推廣。歐幾裡得度量定義了在兩個點之間的距離為連接它們的 直線的長度。空間的幾何性質依賴于所選擇的度量，通過使用不同的度量我們可以構造非歐幾裡得幾何， 比如在廣義相對論中用到的幾何。

完備空間或者完備度量空間是具有下述性質的空間：空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之内。大約在公元前 300 年，古希臘數學家歐幾裡得建立了角和空間中距離之間聯系的法則，即歐幾裡 得幾何。歐幾裡得首先開發了處理平面上二維物體的平面幾何，接着是分析三維物體的立體幾何。這些數學空間可以被擴展來應用于任何有限維度，而這種空間叫做 n 維歐幾裡得空間或有限維實内積空間。這些數學空間還可被擴展到任意維的情形，稱為實内積空間，球面非歐幾裡得空間及相對論所描述的四維時空在重力出現的時候不是歐幾裡得空間。

在數學領域，希爾伯特空間又叫完備的内積空間，是有限維歐幾裡得空間的一個推廣，使之不 局限于實的情形和有限的維數，但又不失完備性。 與歐幾裡得空間相仿，希爾伯特空間也是一個内積空間，其上有距離和角的概念。此外，希爾伯特空間還是一個完備的空間，其上所有的柯西列等價于收斂列，從而微積分中的大部分概念都可以推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基于任意正交系上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，這也是泛函分析的 核心概念之一。希爾伯特空間是公設化數學和量子力學的關鍵性概念之一。

在數學中，函數空間從集合 X 到集合 Y 的給定種類的函數的集合。它叫做空間是因為在很多應用中，它是拓撲空間或向量空間或這二者。

概率論中，樣本空間是一個實驗或随機試驗所有可能結果的集合，而随機試驗中的每個可能結果稱為樣本點。如果抛擲一枚硬币，那麼樣本空間就是集合{正面，反面}。如果投擲一個骰子，那麼樣本空間就是 。有些實驗有兩個或多個可能的樣本空間。例如，從 52 張撲克牌中随機抽出一張，一個可能的樣本空間是數字（A 到 K），另外一個可能的樣本空間是花色（黑桃，紅桃，梅花，方塊）。 如果要完整地描述一張牌，就需要同時給出數字和花色，這時的樣本空間可以通過構建上述兩個樣本空間的笛卡兒乘積來得到。在初等概率中，樣本空間的任何一個子集都被稱為一個事件。如果一個子集隻有一個元素，那這個子集被稱為基本事件。但當樣本空間大小是無限的時候，這個定義就不可行， 因此要給出一個更準確的定義。隻有可測子集才稱為事件，這些可測子集且要構成樣本空間上的σ- 代數。然而這樣定義的重要性隻是從理論上而言的， 因為σ-代數在實際應用上可以定義為所有集的集合。

概率空間是概率論的基礎。概率的嚴格定義基于這個概念。概率空間(Ω, F, P)是一個總測度 為 1 的測度空間（即 P(Ω)=1）. 第一項Ω是一個 非空集合，有時稱作“樣本空間”。Ω 的集合元 素稱作“樣本輸出”，可寫作ω。第二項 F 是樣本 空間Ω的幂集的一個非空子集。F 的集合元素稱為 事件Σ。事件Σ是樣本空間Ω的子集。集合 F 必須 是一個σ-代數： 1.； 2.若，則； 3.若，，則 (Ω, F)合起來稱為可測空間。事件就是樣本輸出 的集合，在此集合上可定義其概率。第三項 P 稱為 概率，或者概率測度。這是一個從集合 F 到實數域 R 的函數，。每個事件都被此函數賦予一個 0 和 1 之間的概率值。概率測度經常以黑體表示，例如或， 也可用符號"Pr"來表示。

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