左右可有别？丨賢說八道

本篇為 “物理學咬文嚼字” 系列之043篇，原載于《物理》42(1), 42-47(2012), 收錄入《物理學咬文嚼字》卷二。此次修訂重發，事出有二。其一，近日看到一件古董，乃是山西博物院館藏青銅器商鸮卣（附圖1），模樣兒特别可愛。注意，鸮卣的胸前有兩個螺紋，一個左旋，一個右旋，大緻上對稱其實又有點偏差。這種紋飾在古文物中常見，比如獸面紋方彜的紋飾也是鏡面對稱的兩種取向的紋路。這其實是蠻科學的事情。二維面上的螺線（spiral）隻有兩種取向，三維空間中的螺線管（coil，selenoid）、蝸殼（helicoid）隻有兩種螺旋性（helicity）。螺旋性、手性、宇稱、鏡面對稱等，其算符本征值都是1和-1，這些概念常常會造成一些混淆。這些概念，再加上對稱性破缺，是理解粒子物理的概念基礎。

  其二，近日中國物理學界為楊振甯先生慶祝了百歲(虛歲)壽誕，為李政道先生慶祝了九五（實歲）壽誕。1956年，李政道先生和楊振甯先生決定認真對待宇稱不守恒的想法，于該年6月22日提交了“弱相互作用中宇稱守恒質疑”一文〔Question of parity conservation in weak interactions, Phys. Rev. 104, 254(1956)〕, 文中還給出了在β衰變和介子衰變中驗證宇稱不守恒的可能性。這個工作讓兩位先生獲得了1957年度的諾貝爾物理獎（附圖2）。宇稱，螺旋性，手性（還分為 handedness 和 chirality），都會不經意地被當作左右。今重發此文，以飨讀者。錯誤之處，敬請批評指正。 ——作者于2021.10.09

圖1. 青銅器商鸮卣

圖2. 得諾獎前夕的李政道先生和楊振甯先生

撰文 | 曹則賢 （中國科學院物理研究所研究員） 

君子居則貴左，用兵則貴右注釋(1)

——老子《道德經》

摘要  左右是個常見的源自日常生活的科學概念。英文物理文獻中同左右之分有關的概念有 handedness，helicity，spirality，chirality和 parity，且關于左（left，link，gauche，sinister，nigh )、右（right，recht，droit，dexterous）的寫法也是多樣并存的局面。左右的對稱性及其破缺在自然界得到了最廣泛的表現。

有一種感覺，對事物的描述時常會用到貼近生活的概念或者形象，以便更多的人能夠輕松地理解。不管是嚴酷的政治還是嚴格的自然科學，至少是到目前為止還都在遵循着這樣的習慣。不過，很快我們會明白，貼近生活的概念如果被應用到太多不同的語境中，那麼對其理解可能會變得不那麼輕松。一個随“手”拈來的例子就是左、右的概念。

小時候（上世紀七十年代）念書，那時候在窮鄉僻壤能見到的就那麼幾本書，常常遇到一些跟左右有關的概念，比如“左傾冒險主義”、“左傾盲動主義”、“左傾機會主義”， 以及“右傾機會主義”、“右傾投降主義”，“右傾分裂主義”（毛澤東《實踐論》，1937），等等。機會主義有左有右，有些人還竟然形左實右、假左真右，那麼到底哪樣是左，哪樣是右，實在不是我們這些鄉下窮孩子掰手指頭能分清楚的。及至稍大一點學物理，又遇到了什麼左手感應定則，右手螺旋定則，再後來又有了螺旋性（helicity還是spirality？）、手性（handedness還是chirality）、 polarization注釋(2)和宇稱（parity），更是覺得這些關于左右的概念還真是個嚴肅的問題。

日常生活的左右，來自我們有兩隻手的事實。這兩隻手之間的關系，其實是相當微妙的。把兩隻手相對疊在一起，大緻能重合，但是靠轉動和平移不能讓兩隻手重合，于是左右手被稱為是鏡面對稱的。這說的是手的外觀。其實我們知道我們兩隻手是很不一樣的，大部分人的右手更有力、更靈活；左手靈活有力的人被當作另類，被稱為左撇子。可見左右又是不對等的。對等、對稱與否，要看着眼點在哪裡，不過左右可用作一些二元體系或性質的标簽 (tagging)，則是無疑的。

政治上左右派或者左右翼的說法源于大革命前的法國。1789年，法國國民大會成立，開始掌管國家事務。國民大會開會時，貴族成員坐在大廳的右側，觀點偏保守；革命者成員坐在大廳的左側，觀點偏自由。兩派觀點分明，遂有左翼、右翼的分别。不過，細心的讀者可能注意到，閱讀相關的史料很難弄清楚那議事房到底哪邊算右，哪邊算左，因為從前看還是從後看，這左右可是調過來的。這是理解左右概念的關鍵處，值得關注。

左、右，相應的英文為 left/right，德語為 link/recht，法語 gauche/droit，拉丁語 sinister/dexter，在英文文獻中都可能遇到。在這些詞彙所寄生的文化中，左右又都有第二層含意（a secondary layer of meanings）。Right常意味着正确、正義、正當的、靈活的，而left意味着不吉祥的、險惡的、邪惡的、笨拙的注釋(3)，等等。這兩層意思交疊在一起，當然會引起一些誤解注釋(4)。當然，在科學文獻中， 左右的概念應該是清晰的。

各種文化中左右概念的差别，源于人類左右手之間在靈活性、力度等方面的差别。左右概念在不同文化中的意義延伸，有區别，但更具相通的地方。中國人認為左的不正，處于低級的地位， 所以說“旁門左道”，“輔佐”；右為正，地位高，所以說“一時無人能出其右”，“天佑之”，等等。南亞一些地方，左手是拿來專門做龌龊事的，右手專門用來拿吃的，右手被認為是潔淨的！在這個地方左右手用法不對，可能會引起麻煩。西方人也以右為正，所以右總是具有褒義，如“at right place, with right people, doing right things（在正确的地方和合适的人一些做正當的事情）注釋(5)”。在Michaelangelo 的名畫《創造亞當》中，上帝通過将右手食指碰觸亞當左手的食指而賦予後者以生命（圖3）。

圖3. 油畫創造亞當（The Creation of Adam，Michaelangelo）

英文文獻中提及左右多種語言混用，可能不太容易察覺。英文的 left，right就是來自德語的link，recht，在左旋的表達之一 levorotatory 中還能看到link影子。法語的左，gauche, 在英語中意味着 lacking grace, esp. social grace；awkward；tactless，即不優雅，糟糕。好像還有脾氣古怪，不合群的意思，比如 “He （von Neumann）was somewhat gauche and not quite the type of 'leader’ 〔他（馮.諾依曼）有點不合群，不是那種領袖類的人物〕”。法語的右（droit）也出現在英文中，取權利、法律層面的意義。Droit使用形式之一是 adroit，取從容、靈活之意，如 adroit handling of an awkward situation（靈活掌控糟糕局面）。另一阕詞為 maladroit，mal+adroit，意思是糟糕、笨拙（awkward, clumsy）。這容易讓人想起漢語的不正即是歪。源自拉丁（希臘）語的左右後面再說。

一些性質有二值特征（圖4），可以用左右來加以區别，此即為手性（手征），英文為handedness。Handedness在日常英語中指左右手在力度、靈活性方面的偏頗。一般人的右手更好使（dexterous。拉丁語，本意是右側的。名詞dexterity有些詞典裡幹脆就說是靈活性），屬于right-handed，希臘語為δεξιόχειρας（dexterous＋chiral, right-handed）。也有一些人左手更好使一些，left-handed (αριστεόχειρας)。還有人左右手都好使，這是ambidexterous (兩手皆右)。左右手都行，那能耐可就大了，中文裡有“左右局面”的說法也許就是這個道理。有人兩手都挺靈活，不過能幹的事情各有不同，這稱為mixed-handedness。兩手都不好使的那叫 ambisinister 或者 ambilevous (兩手皆左)。這時的 handedness 和 chirality （手性, 來自希臘語的手，χειρ, χέρι）, laterality（側重）同義。人類兩手不對等，也許是故意打破左右對稱性的。進化會強化動物占優勢的行為，而淘汰居于劣勢的特點。人類保持一部分“左撇子”，一定有它的道理，或者進化不同層次上有很多的破缺機制在起作用吧。 

圖4. Michelangelo雕塑裡的二值世界 （左與右，男與女，歡樂與憂愁，神界與塵世）。

自然界中二值特征很普遍，因此handedness是個非常重要的概念。首先遇到這個概念是在中學物理課上，關于電磁學一些現象的描述會用到手性的概念。學生們不明白，是因為書裡沒寫明白。我們生活在三維空間中，需要三個線性不相關的矢量才能完備地描述空間中的幾何關系。兩個非共線的矢量可以決定一個平面，若這個平面也要加上方向标簽的話，則有兩種可能。由此，我們明白了矢量叉乘的奧義，和正好是用順序給矢量叉乘的兩種可能貼上了标簽，且有。對矢量叉乘結果之方向的約定，沿用的是右手定則，即将右手拇指直立，其它四指沿從到的方向彎曲，則拇指所指方向為的方向。高中電磁學中學到的右手螺旋定則實際反應的是Biot－Savart定理，即，此處是磁場，包含矢量叉乘的事實注釋(6)。而左手定則涉及的是通電導線在磁場中的受力，因為電荷在磁場中的力由Lorentz公式F=qv×B給出，而在金屬中造成電流的是電子，帶負電荷，因此就方向來說，，所以遵循左手定則（圖5）。這裡的左手定則和右手定則，英文為 left-hand rule和 right-hand rule。

圖5. 關于電流産生磁場的右手定則和導線在磁場中受力的左手定則

描述電磁波也是用到右手定則的一個地方：電磁波的電矢量、磁矢量和傳播方向（Poynting矢量）構成右手定則的關系，電磁波沿方向傳播。在一般的材料中，電磁波的電矢量、磁矢量和傳播方向滿足右手定則（form a right-handed system）。光從真空進入這樣的材料，入射方向和出射方向在法線的兩側（圖6）。1967年，Veselago理論上研究了具有負折射率的材料，其後在1996年前後具有負折射率的結構被制造出來[1, 2]。這種光學材料被稱為左手性材料 (left-handed materials)。光從真空進入這樣的材料，入射方向和出射方向在法線的同側（圖6）手性材料（chiral material）是近年得到關注的 metamaterial（日後會另文介紹）之一。

圖6. 光在正常材料（左圖）和左手性材料（右圖）表面上的折射

電磁學意義上的 handedness，除了電矢量、磁矢量和 Poyting矢量之間的右手定則，它的另一個意義是同 polarization相聯系的，這時的描述可以用helicity (螺旋性) 這個詞。電磁波的偏振 (polarization) 可用電場矢量在(x,y)平面上的變化表示。采用Jones矢量形式，一束光波可表示為 ，偏振态取決于兩個分量模的相對大小（由參數θ決定）和相位差α0。若分量的模相等 (θ=π/4)，且相位差為α0=π/2，則和分别為左旋圓偏光和右旋圓偏光，英文為 left-handed (right-handed) circularly polarized light。當然也可以用逆時針和順時針來貼标簽。

偏振光通過一些介質如石英晶體時偏振面會偏轉, 這是旋光 (optical rotation) 效應；當然，造成的偏振面偏轉有逆時針和順時針方向兩種可能性，因此這旋光晶體就分為左旋光的（levorotatory）和右旋光的（dextrorotary）。在植物學上，一些植物器官如卷須也被标記為左旋的和右旋的，不過用詞為sinistrorse和dextrorse。左旋糖（levulose）, 右旋糖（dextrose）, 和左旋形式（laevo-form）, 右旋形式（dextro-form）這些詞中都是用的拉丁語詞頭。Sinistrodextral 意思是從左到右。

在一部書本中，光波的偏振和光子的偏振的說法都有。光子的角動量為  （單位Planck常數），但因為是無質量粒子的原因，它隻有兩個（［＋1，-1］）而不是三個（［+1，0，-1］）角動量分量，因此可以用手性（這裡是 helicity，漢譯螺旋性）描述，即光子具有左旋和右旋兩種狀态，對應 helicity 的本征值分别為1和-1。1924年，玻色證明若光子的能量簡并度為2，則從經典統計能導出Bose－Einstein分布。光束的偏振态和光子的手性（helicity）之間是什麼關系，筆者一直沒弄明白，不敢妄言。

與光子相似，中微子也有 helicity。中微子的哈密頓量為，算符明顯和哈密頓量對易，是守恒量，且本征值為±1，因此可作為中微子的helicity算符。我們知道，helicity和觀測方向有關，如果中微子是有靜止質量的，則其速度低于光速，就存在從前面和後面觀察一個中微子螺旋性的理論可能，那麼一個中微子的螺旋性就會随着觀察者角度不同在＋1和－1 之間變換。也就是說，中微子螺旋性是否反轉，是同中微子是否具有靜質量相關聯的[3]當然，這樣來看螺旋性也和中微子的速度（最近所謂的中微子超光速測量引起了一些讨論）表達有關[4]。趕上中微子的接近光速以看到中微子的螺旋性反轉是不可能的，但如果中微子是它自己的反粒子，則間接測量有可能。

對自旋1／2粒子來說，螺旋性（helicity）和 手性（chirality） 是不同的兩個性質。螺旋性是粒子自旋在動量方向上的投影，即上文的 ；而手性是四分量Dirac 旋量在粒子波函數之和或差之上的投影， 由專門的手性算符表示。對于反中微子，手性和螺旋性的本征值是相反的。  

上文提到的helicity，源自helix，漢譯螺旋、螺線。但英文的helix和spiral中文有時都會随意地被稱為螺旋，它們之間是有差别的。柱狀彈簧那樣的結構是helix。所謂的DNA雙螺旋結構 (double helix)，就是這樣的形象 (圖7)。Helix 可以由帶電粒子在磁場中的運動描述，注意到Lorentz力的形式，粒子的運動實際上可分解為平面内的旋轉和所決定的勻速直線運動，而和是同向還是逆向就決定了運動造成的螺線的兩種helicity，。

圖7. 螺旋helix的數學形象與DNA雙螺旋 (double)結構。

數學上 spiral 是從一點向外旋轉着漸行漸遠的曲線，spiral 作為動詞就是盤旋的意思。大自然中生長的許多事物，從大的星系，小到一個蝸牛甚至微米大小的自組裝點陣[5, 6]，都可能表現出 spiral 結構（圖8）。在三維空間中存在的近一維（線狀的）和近二維（帶狀的）物體，低維結構占據高維空間，折疊 （folding）或者卷曲是必然，甚至是生存的智慧（不彎腰，易折斷呀）（圖9）。Folding, spiral 以及圖5中的double helix, 都因此獲得了一定的剛性，增加了存在下去的可能。這一點，好像沒得到充分的認識。

圖8. Spirals. 從星系，厘米大小的蝸牛到微米大小的應力自組裝點陣[5,6]都表現出螺旋結構。

圖9. 卷曲成螺旋，一種存在的智慧。左圖：粒子徑迹；右圖：植物的卷須。

一個單純的spiral可以是順時針的，也可以是逆時針的。一個平面上的spiral其實無所謂順時針還是逆時針的，因為換到另一側看順時針就變成了逆時針的。一些蝸牛身形是關于平面對稱的，它們的螺線本質上是二維的，所以無所謂其螺線是順時針還是逆時針的, 左旋的還是右旋的（圖8）。具有錐形 spiral 外觀的蝸牛就不一樣了，它的螺旋性具有了絕對的意義（圖10）。按說，η=±1兩種螺旋性是對稱的，沒什麼差别，蝸牛應該左旋、右旋各半才對，而實際情況是一種蝸牛大多隻有一種螺旋性，不同種的蝸牛會兩種螺旋性都有。什麼使得螺旋對稱性破缺了呢？有趣的是破缺機制不在生長層面之下，而在其上。不同手性的蝸牛的器官是鏡面對稱的，這使得不同手性的個體之間的生殖力學變得艱難。這樣經過自然選擇以後，一種蝸牛就差不多剩下一種螺旋性了。如果是植物的話，就沒這個問題。與動物不同，植物的生殖行為不會受其個體對稱性（matching的需求）影響，因此其左旋和右旋出現幾率各半，如松果的斜列螺旋（圖11）和微納米自組裝的斜列螺旋[6]。

圖10. 具有（＋1，－1）兩種helicity的蝸牛。一種蝸牛會偏好一種螺旋性。

圖11. 具有斜列螺旋結構的松果，兩種手性的發生幾率各半。原圖的說明很有意思: Something sinister: the pine cone on the left is in the 'lefty’ form; that on the right is dexter, or 'righty’ [7].

斜列螺旋，即parastichous spirals，這是一種同Fibonacci數列（1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……）相聯系的結構，結構由分立的單元如向日葵的種子，雛菊的小花 (floret)，菠蘿、松果的鱗片等構成。它們既可看成是一組順時針的螺旋，又可以看作是一組逆時針的螺旋，因此是parastichous spirals。這樣的螺旋結構，螺旋數必須是Fibonacci數列中相鄰的兩個數，如5和8，可以記為5×8。若5×8表示順時針螺旋數為5，逆時針的螺旋數為8，則8×5表示順時針螺旋數為8，逆時針的螺旋數為5。若将5×8的花樣标記為左旋的，則8×5的花樣為右旋的；當然，也可以反過來。這就說，這也是一類有手性的結構。目前關于parastichous spirals哪樣算左旋的，哪樣算右旋的，沒有定論。對于微納米結構和植物，這樣的左旋和右旋之間沒有區别，因此從種群的角度看會以大緻各半的幾率出現。但是對于一個具體的菠蘿，向日葵，或者應力花樣，它們可不會像量子存在那樣取兩種狀态的疊加；必須作二選一的抉擇。到底是什麼原因決定了它選擇了兩種手性結構之一，即what tips the chirality，還一直是個謎。在粒子物理、手性分子合成、手性晶體生長方面，研究者都會問這個問題[8-11]。可以肯定的是，是在生長單元或者更低一點的層次上的一些難以控制的偶然性因素決定了生成物左旋的或右旋的形式。這種情形和量子力學的隐變量（hidden variable）理論有些共通的地方。

用chirality表示的手性，是非常普遍的概念，數學、物理、化學、生物中都能見到（圖12）。數學上有專門的手性代數 (chiral algebra)[12]。Chiral algebra源于數學物理，是共形場論的核心。手性代數研究的對象是量子的，相應的經典對象稱為Coisson代數，由經典場空間上的局域泊松括号定義。在化學領域，存在許多分子的或晶體的結構，其不等同于它們的鏡象，因而是手性的。雖說左右旋的分子結構是對稱的，但在環境中它們和其它物質間的相互作用可能是不同的 （人體偏好用右旋糖），因此有必要給這些物質貼上明顯的手性标簽，如左旋肉堿，右旋葡萄糖等。手性結構的研究在化學和生物化學方面具有重要的地位， 2001年度的諾貝爾化學獎就授予給了這個領域的科學家。

圖12. 手性的存在 （chiral objects）。氨基酸屬的兩種對映體7）和Möbius帶及其鏡象。

手性問題曾在物理學史上寫下了重重的一筆。有文獻指出手征性是弱相互作用的特征。不過弱相互作用裡面提到的粒子遵循的對稱性是宇稱守恒, 宇稱（parity）的本征值為±1，這一點和helicity，chirality一樣。但是，parity涉及的是粒子波函數的時空變換，，即兩次宇稱變換給波函數最多帶來一個相位上的改變，從這一點來看，它和helicity, chirality還是有區别的。1954－1956年間，出現了θ-τ之謎，其實θ，τ是同一種粒子，但是它衰變成不同數目的π粒子，θ→π+π, τ→π+π+π 注釋(8)，這裡兩個π的宇稱是＋1，三個π的是－1。宇稱不守恒了。1956年，李楊提出弱相互作用宇稱不守恒的設想，後來為吳健雄女士于1957年用Co60的β-衰變實驗所證實。宇稱不守恒的提法，對物理學家的沖擊是非常大的。Pauli堅持時空對稱性，他在寫給Weisskopf 的信中寫到[12]：“我不相信上帝是一個軟弱的左撇子，我可以跟任何人打賭，做出來的結果（電子的角動量分布）一定是左右對稱的。我看不出相互作用的強度和鏡面對稱性之間有什麼邏輯聯系。” Pauli堅信時空對稱性，讓人想起Buridan的驢子注釋(9)。可憐的Buridan的驢子（圖13），因為面前的草料放置具有嚴格的宇稱，它無法決定從哪裡下口，竟然隻能挨餓（其實一旦它決定了從哪裡下口，就能給草料帶來對稱破缺）。所幸的是，大自然不是Buridan的驢子，它允許對稱的破缺，從而表現出驚人的多樣性注釋(10)。 或者，也許就不存在對稱性，就像不存在數學的圓一樣。用數學的理想的概念束縛了對自然的理解， 算是一種作繭自縛（自然可以不受人類所提煉的自然規律的約束吧！）。标準模型通過把弱相互作用表達為手性規範作用從而納入了宇稱不守恒。據信超弦理論在找到Calabi-Yau緊緻化後，可以具備手征性，筆者不懂，恕不多言。

圖13. 可憐的Buridan的驢子，因為草料具有嚴格的左右對稱性，無從下口。

本文讨論了和手之左右有關的一些概念如 handedness，chirality，helicity和parity，也給出了一些英文文獻中左右的不同寫法，希望有助于讀者。限于水平，不足之處甚多。比如“the nigh horse”中的nigh，除了表示“時空上的近”以外，它還有“on the left”的意思，不知和它對應的“on the right”是哪個詞，盼有識者告知。

注釋

(1)  此處'左’意為謙卑、卑下，'右’則是老子不斷強調的'不得已而用之’。 (2) Polarization 這一阕詞，在中文物理學中被分别翻譯成了極化和偏振兩個詞，而且被用得好像井水不犯河水似的。此等翻譯，贻害無窮！ (3) 英語中會用不同詞源的左右來體現不同的意思。左代表邪惡，由“Left hand serves the darkness” 一句可見端倪 （語出 Dan Brown，the Lost Symbol，Doubleday (2009). p446）. (4) 有個英文的駕校學員和教練的對話，可供一笑。學員：Turn left (左轉)? 教練：Right （是的／往右）! 學員：Right （往右／對嗎）? 教練：Yes, turn left （對的，左轉）。. 兩層意思是很容易給弄擰的。另一個利用 left, right 兩層意思的例子是關于“腦殘”的定義：Your brain has two parts: one is left, and another is right. Your left brain has nothing right, your right brain has nothing left（您的大腦分成兩部分：一部分為左 (left), 一部分為右 （right）. 你的左腦沒有一點 right 的(右的，對的)地方，您的右腦啥也沒 left (左的，留下)。 (5) 這句話實在是不好 rightly 翻譯。 (6) 用矢量表示磁場是物理發展過程中的階段性認識。實際上，它不是矢量，因為空間反演下磁場的方向符号不變，而作為矢量的電場卻是要變号的。有些地方把磁場稱為軸矢量(axial vector)。電場和磁場空間性質的不同說明在 Maxwell 方程中的電場和磁場不具有可類比性。基于同電荷類比得來的磁單極的概念，顯然不是 on sound footing。再者，矢量分析不具有數學上的嚴格性，對物理學的表達也帶來一些其它負面影響，提請讀者注意。 (7) 對映(結構)體，enantiomer, 來自 enantios, 希臘語，opposited 的意思，正好用手性描述。 (8) 這裡忽略了 τ±, π±, 0等細 節。 (9)  J. Buridan 是法國哲學家，提倡道德決定論的哲學。Buridan’s ass, 或者 Buridan’s donkey，就是為了諷刺Buridan 的哲學提出來的——如果驢子按照“選擇離它最近的草料”的原則生活的話，則它面對兩堆對稱的草料時會餓死。這實在說明了對稱性破缺對物理學家和驢是多麼重要。 (10)  弱相互作用 parity 不守恒和蝸牛偏向單一 helicity，其機理出現的相對層面不一樣，也許是個有趣的話題。機理既可能出現在對象 sub－層面，也可能出現在 superb－層面。

參考文獻

[1] V. G. Veselago, The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of ε and μ, Sov. Phys. Usp. 10 (4), 509–514(1968). 俄文原文發表于1967年. [2] J. B. Pendry, A. J. Holden, W. J. Stewart, and I. Youngs, Phys. Rev. Lett. 76, 4773 (1996). [3] A.S. Goldhaber, and M. Goldhaber, Physics Today p.40, May, 2011. [4] Kelin Wang, Zexian Cao，Wave Packet for Massless Fermions and its Implication to the Superluminal Velocity Statistics of Neutrino，to be published. [5] C. R. Li, and Z. X. Cao,  Triangular and Fibonacci number patterns driven by stress on core/shell microstructures, Science 309, 909-911(2005); [6] C. R. Li, A. L. Ji , and Z. X. Cao,  Stressed Fibonacci spiral patterns of definite Chirality, Appl. Phys. Lett. 90，164102 (2007). [7] A. J.Fleming, Nature 418, 723(2002). [8] 孟傑,原子核是否存在手性，《物理》38(2),108 (2009).  What breaks the left-right symmetry? [9] Hermann Weyl，Symmetry， Princeton University Press, 1952. [10] Hani Amouri, and Michel Gruselle, Chirality in transition metal chemistry, Wiley (2008). [11] D．B.  Amabilino, Chirality at the nanoscale,  Wiley-VCH (2009). [12] Alexander Beilinson, Vladimir Drinfeld, Chiral Algebras, the American mathematical Society, 2004. [12] H. Atmanspracher, and H. Primas (Eds.)，Recasting Reality,  Springer (2010). 原文是I do not believe that God is a weak left-hander and would be prepared to bet a high amount that the experiment will show a symmetric angular distribution of the electrons (mirror symmetry). For I cannot see  a logical connection between the strength of an interaction and its mirror symmetry （January 17, 1957）.

補綴

1、關于光子的自旋和光束的偏振之間的關系，諾貝爾獎得主Wilczek的一段話（F. Wilczek, Fantastic Realities, World Scientific 2006. p.161）或許有助于大家對此問題的認識.原文照抄如下：

“First, if light is to be made of particles, then they must be very peculiar particles, with internal structure, for light can be polarized. To do justice to this property of light, its particles must have some corresponding property. There can’t be an adequate description of a light beam specifying only that it is composed of so-and-so many photons with such-and-such energies; those facts will tell us how bright the beam is, and what colors it contains, but not how it is polarized. To get a complete description, one must also be able to say which way the beam is polarized, and this means that each photon must somehow carry around an arrow that allows it to keep a record of the light’s polarity. This would seem to take us away from the traditional ideal of elementary particles. If there’s an arrow, what’s it made of ? And why can’t it be separated from the particle? ”

2、Buridan的驢子遭遇的對稱性困境，可以由以下機制打破：（1）來了一陣風，把草料吹得不對稱了，這相當于引入一個不對稱的外部相互作用；（2）草料自己變得不對稱了（草料自己急瘋了），這相當于自發對稱破缺（spontaneous symmetry-breaking)；（3）驢子認識到了把兩堆草料當成對稱的，太過理想化了些，分明左邊草堆裡有顆草同右邊對應的一棵草在長度上差了個玻爾半徑嗎；（4）驢子随便咬一口，草料立馬就不對稱了，這相當于模拟計算時計算者put-by-hand的随機驅動。

3. 野史上說，宋朝的楊繼業令公和王子明令公兩家交好，楊家要把楊家的閨女許配給王家的公子王英，讓王英自己從楊家的八姐、九妹中挑一個。這就讓王英陷入了Buridan的驢子的困境。王英沒辦法，就放棄了選擇，做了楊家的幹兒子，楊家的八姐、九妹也因此終生未嫁。倘若有對稱自發破缺機制，或許故事不該這麼悲切。其實，對稱自發破缺算個什麼機制，實在沒轍了的時候的一個遁詞而已, 是Buridan的驢子在貴州的表親的無奈！也許根本就沒有那麼個理論意義上的對稱性，對稱性隻是個idealisation per Nous（思維理想化）而已。筆者持這種觀點，是因為相信大自然不會為難自己。 

4、關于左右對稱破缺，有個說川軍的笑話或許有助于理解這個問題。當年川軍訓練，軍官喊一二一不好使，因為要把号令'一’落在左腳，士兵們分不清左右。于是軍官想了一個辦法，讓每個士兵左腳穿草鞋右腳穿布鞋，口号也變成了：草海（鞋）布孩（鞋）、草海布孩……。左右不對稱了，問題就解決了。