入門量子力學2.4：薛定谔方程
量子力學基本假設：薛定谔方程
時間演化算符
我擔心你會對過多的代數感到疲憊，在進一步讨論有關算符的一般性質之前，讓我們讨論一點物理——引入算符的一個重要的實例，時間演化算符（time-evolution operator）。
設系統在時刻的态為，另一時刻的态為，态是怎樣從一個變成另一個的？我們想要的無非是“輸入一個态，輸出一個态”，可以用一個算符來作為橋梁：
稱為時間演化算符，簡稱演化算符，其有兩個輸入參數，表示演化從 t0 開始，到 t 結束。對右矢而言算符的作用是從右到左的，故兩個時間參數也從右到左寫，注意不要搞錯。
這樣抽象的關系式能告訴我們什麼呢？讓我們通過一系列物理上的要求将其具體化。首先，如果我們待在同一個時刻，即，那麼應該有
其次，一段時間演化可以分成多步，如：
即，演化算符的複合仍然是演化算符，參數“首尾相接”：
其中我們并不需要限制這幾個參數的大小關系，這可以容納反向演化——已知後來的态，要求之前的态（【注】注意這和時間反演不同，是單純的“倒帶”。），如：
即，交換演化算符的兩個參數将得到逆算符。相應地，讓左矢從演化到的算符應為
人們往往将演化開始的參考時刻設為，此時演化算符中可以隻寫出終止時刻：，問題中不考慮多個終止時刻時甚至直接寫為。
考慮态的内積如何随時間演化還将得到另一個重要的要求，對任意初始态，默認歸一化則初始内積為，由于自身内積有總概率這一物理意義，則任意時刻态的自身内積都應為：
一次歸一化，始終歸一化。這告訴我們
——演化算符取厄米共轭就得到逆算符，取等于取逆稱為算符的幺正性（unitary，是的，這就是個音譯）。因此，人們常将量子力學中的時間演化稱為幺正演化。我們立刻看到幺正演化的後果是，不僅态的自身内積，任意内積都不随時間變化：
這一性質時常稱為信息守恒。
與幺正演化針鋒相對的則是投影測量，投影測量從現象上看起來會丢失信息，許多人将這視為我們宇宙中不可逆性的起源（之一）。當然，投影測量隻是一個理想化的黑箱，測量過程的物理實質仍有待商榷。
通過考慮所謂的無窮小演化，我們可以得到演化算符的最具體形式。設從時刻演化到與其鄰近的時刻，演化算符為，可對其形式上泰勒展開：
其中算符刻畫了這個無窮小演化算符相對于單位算符的偏離程度。是否考慮更高階的項不影響最終結論，考慮一階就已足夠。幺正性要求
若從一開始就保留高階項則仍能得到同樣結論。要讓等式成立，就要求
即是厄米算符。
這意味着什麼呢？實際上，我們先前對演化算符的要求恰好是數學上對群（group）的要求，态空間上全體演化算符構成了一個群，時間平移群（time translation group），上面引入的算符 Ω 就是這個群的生成元（generator）。我們并不需要你熟知群論，重要的是，艾米·諾特（Emmy Noether）提出的諾特定理告訴我們，時間平移的生成元就代表能量！
準确地說，和哈密頓量算符（Hamiltonian）成正比，而能量是哈密頓算符的本征值——我們很快就會學到。由于都沒有單位——無量綱，則與相乘的應該有時間倒數（頻率）的量綱。為了量綱平衡，等于哈密頓算符除以一個有角動量或者說作用量的量綱的常量，提到量子力學中有角動量量綱的常量，我們自然想到普朗克常量：
無數量子力學實驗驗證了這确實和我們在SG實驗中遇到的是同一個常量。
薛定谔方程
一般地，考慮和之差：
我們得到
這就是演化算符的薛定谔方程（Schrödinger equation for the time-evolution operator）。
薛定谔方程
量子系統的時間演化由一個幺正的時間演化算符給出，演化算符通過薛定谔方程由系統的哈密頓量決定。
演化算符的薛定谔方程，或者簡單說，幺正演化是量子力學的基本假設，無論是否考慮相對論、考慮的對象是粒子或是場，這個最廣義的薛定谔方程都成立。薛定谔方程的線性性再次強調了量子力學是一個線性理論。在方程兩邊同時右乘初始态，注意到這是個常矢量，可以放進時間求導内，有
這就是（稍微狹義的）态矢量的薛定谔方程（我們将來會看到，還可以讓态不随時間演化，而是讓算符随時間演化，得到海森堡方程。）。
态矢量的薛定谔方程告訴我們态的時間演化不能突變，于是可以回答一個常見的問題：“測量投影後會怎麼樣？”答案是以投影得到的末态為新的初态代入上述方程，結果是态會“一點一點地”（關于時間必須可導！）偏離這個新的初态，如果短時間（相對于态演化的快慢）内再次測量，則大概率會投影到上一次的結果——态還沒來得及偏離太多。
而薛定谔最初給出的狹義的薛定谔方程：
則是非相對論無自旋單粒子的位置波函數的方程（定語很多！），其具體意義将來會介紹。
為了求解微分方程得到，我們需要知道。我們可以先考慮和我們要處理的量子系統類似的經典系統，其哈密頓量常常可以诠釋為動能加勢能，并且其中隻包含位置和動量兩個基本變量。如對一個自由運動的電子，考慮一個自由運動的經典質點
按這個表達式将動量替換為動量算符（同樣要将來引入）就得到了哈密頓算符（【注】這裡出現的另一個量，質量為什麼不換成算符呢？一種回答是，經典哈密頓力學中隻考慮正則坐标和正則動量，既然量子力學繼承其概念，那我們可以合理認為隻有位置和動量需要算符化。但實際上有質量算符！比如對中微子我們就引入了質量算符，為什麼？因為我們觀測到了中微子振蕩——中微子處于不同質量的疊加态——的現象。換言之，這很大程度上取決于經驗事實的驅動。）。當然，也有一些沒有經典類似的量子系統，那時我們就要另想辦法。
注意到
作為演化算符本身的導數，本身也可以随時間變化，甚至不同時刻的可以不對易。我們暫且考慮簡單的情況：
此時我們隻需要不斷地進行無窮小演化，就可以得到完整的有限大演化，具體來說，将演化時長分成份，則依次複合有
取的極限，則有
仿照實數集上的極限，我們将上式右邊的這樣的極限定義為算符的指數，即
求出上述極限就求出了演化算符，由于不變，隻需要調整其中的初末時刻和，作用到态上，就可以得到我們想要的任意時間演化。
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