八年級|“數的開方”考點精細解讀
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第 11 章 數的開方
11．1 平方根與立方根
知識點1：平方根 1．平方根的 定義 一個數的平方等于 a ，那麼這個數叫做 a 的平方根，記作 ： ± （a叫做被開方數） 特别提醒 （1） 求帶分數的平方根時，應先将帶分數化為假分數； （2） 對于含有乘方運算的數，應先求出它的結果，再求其平方根； （3） 正數的平方根有兩個，不要漏寫負的平方根 ． 2． 平方根 的 性質： 一個 正數的平方根有兩個，且互為相反數；0的平方根為0；負數沒有平方根． 3． 開平方： 求平方根的運算叫做開平方． 特别提醒 1． 平方根是開平方的結果； 2． 開平方與平方互為逆運算．
知識點2：算術平方根 1． 定義： 正數a的正的平方根 叫做a的算術平方根，0的算術平方根是0． 即 a的算術平方根 為 且a≥0 ； 2． 性質： （1） a 的算術平方根 具有 雙重 非負性 ， 即： ≥0 ， 且 a≥0． （2）正數的算術平方根隻有1個，且為正數；0的算術平方根是0；負數沒有算術平方根 3 ．重要 公式 ： (1)( )2＝a（a≥0）； ． (2) ＝| a | 4． 11 ~ 20的平方 ： 11 2 =121 ， 12 2 =144 ， 13 2 =169 ， 14 2 =196 ， 15 2 =225 ， 16 2 =256 ， 17 2 =289 ， 18 2 =324 ， 19 2 =361 5．算術平方根的近似值： ≈1．414， ≈1．732 ， ≈2.236 等
知識點3：立方根 1． 定義 如果一個數的立方等于 a ，那麼這個數叫做 a 的立方根， a 的立方根記作 （a叫做被開方數，3叫根指數） 2． 性質 （1） 正數的立方根是1個正數；負數的立方根是1個負數；0的立方根是0． （2）立方根等于本身的有3個，分别±1，0； 3．常用的 公式 （1） ； （2） ； （3） ； 特别提醒 (1)非負數 a 的平方根是± √a，算術平方根是√a.(2)不要把“√ a ” 當做是 a 的平方根． (3)隻有非負數才有平方根，但任意實數都有立方根．
11．2 實數
知識點1：無理數 1． 無理數：無限不循環的小數． 2． 無理數的三種常見類型 ①根号 型 ； ② 型 ； ③有規律但不循環的無限小數，例如： 1．010010001···（ 每兩個 1 之間依次增加一個0）
知識點2：實數的分類 1． 實數： 有理數和無理數統稱為實數． 2． 按定義分類：
3． 按正負性分類：
知識點3：實數與數軸上的點的關系 1．數軸上的任一點必定表示一個數，即它所表示的數，不是有理數，就是無理數；反之，每一個實數（有理數或無理數）也都可以用數軸上的點來表示，即 實數與數軸上的點一一對應． 2． 實數 的 大小 比較 ： （1）正數> 0 > 負數； （2）兩個負數相比，絕對值大的反而小；絕對值小的反而大 ； （3）數軸上不同的點表示的數，右邊點表示的數總比左邊的點表示的數大． （4） 求差比較法 設 a ， b 是兩個任意實數，則 a － b ＞0 ⇔ a ＞ b ； a － b ＝0 ⇔ a ＝ b ； a － b ＜0 ⇔ a ＜ b ． （5） 求商比較法 設 a ， b 是兩個正實數，則 ab ＞1 ⇔ a ＞ b ； ab ＝1 ⇔ a ＝ b ； ab ＜1 ⇔ a ＜ b ． （6） 平方比較法 設 a ， b 是兩個負實數，則 a 2 ＞ b 2 ⇔ a ＜ b ；推論： a ＞ b ⇔ a 2 ＞ b2 ( b ≥0)．
知識點4：實數的運算 1．實數中的相反數、絕對值、倒數的概念和有理數中是類似的 （1） 相反數 定義：隻有符号不同的兩個數互為相反數，即實數 a 的相反數是－ a ． 性質： (1)若 a ， b 互為相反數 ⇔ a ＋ b ＝0； (2)0的相反數是0； (3)數軸上表示相反數(0除外)的兩個點在原點兩側，且到原點的距離 相等 ，即這兩個點關于原點對稱． （2） 絕對值 定義：在數軸上表示數 a 的點與原點的距離，記作| a |． 性質：一個正實數的絕對值是本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0． 絕對值具有非負性． （3） 倒數 定義：乘積是1的兩個數互為倒數，非零實數 a 的倒數是 ． 性質： ① ab ＝1 ⇔ a ， b 互為倒數； ② 0沒有倒數； ③ 倒數等于它本身的數是±1． 2． 實數的運算： 實數與有理數一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，正數及零可以進行開平方運算，任意一個實數可以進行開立方運算，而且有理數的運算法則和運算律對于實數仍然适用． 3． 實數的混合運算順序 ： (1)先乘方，再乘除，最後加減；(2)有括号的先算括号裡面的；(3)同級運算按從左到右的順序進行計算
知識點5：常見的非負數及其應用 1． 常見的幾種非負數： | a |， a 2 n ( n 為正整數)， ． 2． 非負數的應用： （1） 若 a 2 ≤0，則 a ＝0； （2） 若 a ＋| b |＝0，則 a ＝0， b ＝0 ；
第 11 章 數的開方
11．1 平方根與立方根
知識點1：平方根 1．平方根的 定義 一個數的平方等于 a ，那麼這個數叫做 a 的平方根，記作 ： ± （a叫做被開方數） 特别提醒 （1） 求帶分數的平方根時，應先将帶分數化為假分數； （2） 對于含有乘方運算的數，應先求出它的結果，再求其平方根； （3） 正數的平方根有兩個，不要漏寫負的平方根 ． 2． 平方根 的 性質： 一個 正數的平方根有兩個，且互為相反數；0的平方根為0；負數沒有平方根． 3． 開平方： 求平方根的運算叫做開平方． 特别提醒 1． 平方根是開平方的結果； 2． 開平方與平方互為逆運算．
知識點2：算術平方根 1． 定義： 正數a的正的平方根 叫做a的算術平方根，0的算術平方根是0． 即 a的算術平方根 為 且a≥0 ； 2． 性質： （1） a 的算術平方根 具有 雙重 非負性 ， 即： ≥0 ， 且 a≥0． （2）正數的算術平方根隻有1個，且為正數；0的算術平方根是0；負數沒有算術平方根 3 ．重要 公式 ： (1)( )2＝a（a≥0）； ． (2) ＝| a | 4． 11 ~ 20的平方 ： 11 2 =121 ， 12 2 =144 ， 13 2 =169 ， 14 2 =196 ， 15 2 =225 ， 16 2 =256 ， 17 2 =289 ， 18 2 =324 ， 19 2 =361 5．算術平方根的近似值： ≈1．414， ≈1．732 ， ≈2.236 等
知識點3：立方根 1． 定義 如果一個數的立方等于 a ，那麼這個數叫做 a 的立方根， a 的立方根記作 （a叫做被開方數，3叫根指數） 2． 性質 （1） 正數的立方根是1個正數；負數的立方根是1個負數；0的立方根是0． （2）立方根等于本身的有3個，分别±1，0； 3．常用的 公式 （1） ； （2） ； （3） ； 特别提醒 (1)非負數 a 的平方根是± √a，算術平方根是√a.(2)不要把“√ a ” 當做是 a 的平方根． (3)隻有非負數才有平方根，但任意實數都有立方根．
11．2 實數
知識點1：無理數 1． 無理數：無限不循環的小數． 2． 無理數的三種常見類型 ①根号 型 ； ② 型 ； ③有規律但不循環的無限小數，例如： 1．010010001···（ 每兩個 1 之間依次增加一個0）
知識點2：實數的分類 1． 實數： 有理數和無理數統稱為實數． 2． 按定義分類：
3． 按正負性分類：
知識點3：實數與數軸上的點的關系 1．數軸上的任一點必定表示一個數，即它所表示的數，不是有理數，就是無理數；反之，每一個實數（有理數或無理數）也都可以用數軸上的點來表示，即 實數與數軸上的點一一對應． 2． 實數 的 大小 比較 ： （1）正數> 0 > 負數； （2）兩個負數相比，絕對值大的反而小；絕對值小的反而大 ； （3）數軸上不同的點表示的數，右邊點表示的數總比左邊的點表示的數大． （4） 求差比較法 設 a ， b 是兩個任意實數，則 a － b ＞0 ⇔ a ＞ b ； a － b ＝0 ⇔ a ＝ b ； a － b ＜0 ⇔ a ＜ b ． （5） 求商比較法 設 a ， b 是兩個正實數，則 ab ＞1 ⇔ a ＞ b ； ab ＝1 ⇔ a ＝ b ； ab ＜1 ⇔ a ＜ b ． （6） 平方比較法 設 a ， b 是兩個負實數，則 a 2 ＞ b 2 ⇔ a ＜ b ；推論： a ＞ b ⇔ a 2 ＞ b2 ( b ≥0)．
知識點4：實數的運算 1．實數中的相反數、絕對值、倒數的概念和有理數中是類似的 （1） 相反數 定義：隻有符号不同的兩個數互為相反數，即實數 a 的相反數是－ a ． 性質： (1)若 a ， b 互為相反數 ⇔ a ＋ b ＝0； (2)0的相反數是0； (3)數軸上表示相反數(0除外)的兩個點在原點兩側，且到原點的距離 相等 ，即這兩個點關于原點對稱． （2） 絕對值 定義：在數軸上表示數 a 的點與原點的距離，記作| a |． 性質：一個正實數的絕對值是本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0． 絕對值具有非負性． （3） 倒數 定義：乘積是1的兩個數互為倒數，非零實數 a 的倒數是 ． 性質： ① ab ＝1 ⇔ a ， b 互為倒數； ② 0沒有倒數； ③ 倒數等于它本身的數是±1． 2． 實數的運算： 實數與有理數一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，正數及零可以進行開平方運算，任意一個實數可以進行開立方運算，而且有理數的運算法則和運算律對于實數仍然适用． 3． 實數的混合運算順序 ： (1)先乘方，再乘除，最後加減；(2)有括号的先算括号裡面的；(3)同級運算按從左到右的順序進行計算
知識點5：常見的非負數及其應用 1． 常見的幾種非負數： | a |， a 2 n ( n 為正整數)， ． 2． 非負數的應用： （1） 若 a 2 ≤0，則 a ＝0； （2） 若 a ＋| b |＝0，則 a ＝0， b ＝0 ；
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