當前位置:首頁 > 教育 > 正文

初中幾何基本模型:共邊共角型相似

共邊共角型

命名:共用一條邊OB,共用一個角∠AOB.

簡稱:共邊共角型


模型引入:共邊共角型是“不平行A字型”(鍊接:)的特殊情況.當D點運動到B點時即為“共邊共角型”.


共邊共角型相似

模型分析:在共邊共角型的條件下,如果再有一組角相等,兩三角形相似,稱之為“共邊共角型相似”。通過上面動态幾何直觀圖,可以發現“共邊共角型相似”通過翻折、旋轉轉化為:平行A字型(鍊接:)。

共邊共角型相似常見于幾何綜合題中,尤其在幾何壓軸題中,出現頻率不低于四點共圓。這個模型不僅要熟悉模型圖,熟練作圖關,還要熟記模型的結論。觀察結論的特點(對應線段成比例且屬于比例中項型結論),有時候題目中會給出三角形邊的乘積關系或者比例中項關系,要能快速判斷出與之對應的相似模型,找到題中的相似三角形.





共邊共角型相似基本圖

一般三角形

條件:∠OAB=∠OBC.

結論:△OBC∼△OAB.(OB是OC和OA的比例中項)

小結:這也是初中階段證明線段比例中項式的典型模型.

比例中項型結論:共邊OB的平方等于較小邊OC與較長邊OA的乘積.





特殊三角形:直角三角形

當D點運動到C點時即為直角三角形的“共邊共角型”.


模型分析:直角三角形作斜邊上的高,形成的兩個較小三角形與大三角形相似(共邊共角型相似)

條件:CD為直角三角形ABC斜邊上的高.

結論:△ADC∼△ACB∼△CDB.


射影定理(歐幾裡德定理)

在直角三角形中,斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項,每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。





雙重共邊共角型相似

條件:等腰△ABC,AB=AC,∠MAN=∠B=∠C.

結論:△AMN∼△CMA∼△BNA;

△ABN中有共邊共角型相似:△ANM∼△BNA;

△AMC中有共邊共角型相似:△AMN∼△CMA.


通過翻折對稱、旋轉可得到平行A字型相似.





共邊共角三等腰:

1.頂角為36°的等腰三角形

條件:AB=AC,∠A=36°,BD為角平分線.

結論:△ABC、△BCD、△ABD為等腰三角形;

△BCD∼△ABC.(BC是CD和AC的比例中項)

小結:D點為黃金分割點.


2.底角為36°的等腰三角形

條件:AB=AC,∠BAD=∠B=36°.

結論:△ABC、△ACD、△ABD為等腰三角形;

△ABD∼△BCA.(AB是BD和BC的比例中項)

小結:D點為黃金分割點.


在初中幾何學習中,要注意概念關、語言關、畫圖關、推理證明關四大關。善于靜中找動,實現從特殊到一般的轉化。動中找靜,找到運動過程中不變的數學模型或規律,再從一般到特殊,利用臨界情況解決問題。動靜結合,其樂無窮!解決幾何問題不順手的原因是由于對基本的模型圖及結論掌握不牢固,還有常見的幾何解題方法不夠熟練。本公衆号作者潛心研究整理初中幾何學習過程中常見的幾何基本模型圖及結論,如有錯誤或更好的思路,請大家不吝賜教。
你的關注與分享就是對本作者的最大支持與動力,感謝你的關注與分享。知識在于分享,分享知識,傳播正能量,讓我們攜手共進,共建有效的課堂教學、提升學習效果。
編輯 | 張旭

你可能想看:

有話要說...

取消
掃碼支持 支付碼