共邊共角型
命名:共用一條邊OB,共用一個角∠AOB.
簡稱:共邊共角型
模型引入:共邊共角型是“不平行A字型”(鍊接:)的特殊情況.當D點運動到B點時即為“共邊共角型”.
共邊共角型相似
模型分析:在共邊共角型的條件下,如果再有一組角相等,兩三角形相似,稱之為“共邊共角型相似”。通過上面動态幾何直觀圖,可以發現“共邊共角型相似”通過翻折、旋轉轉化為:平行A字型(鍊接:)。
共邊共角型相似常見于幾何綜合題中,尤其在幾何壓軸題中,出現頻率不低于四點共圓。這個模型不僅要熟悉模型圖,熟練作圖關,還要熟記模型的結論。觀察結論的特點(對應線段成比例且屬于比例中項型結論),有時候題目中會給出三角形邊的乘積關系或者比例中項關系,要能快速判斷出與之對應的相似模型,找到題中的相似三角形.
共邊共角型相似基本圖
一般三角形
條件:∠OAB=∠OBC.
結論:△OBC∼△OAB.(OB是OC和OA的比例中項)
小結:這也是初中階段證明線段比例中項式的典型模型.
比例中項型結論:共邊OB的平方等于較小邊OC與較長邊OA的乘積.
特殊三角形:直角三角形
當D點運動到C點時即為直角三角形的“共邊共角型”.
模型分析:直角三角形作斜邊上的高,形成的兩個較小三角形與大三角形相似(共邊共角型相似)
條件:CD為直角三角形ABC斜邊上的高.
結論:△ADC∼△ACB∼△CDB.
射影定理(歐幾裡德定理)
在直角三角形中,斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項,每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。
雙重共邊共角型相似
條件:等腰△ABC,AB=AC,∠MAN=∠B=∠C.
結論:△AMN∼△CMA∼△BNA;
△ABN中有共邊共角型相似:△ANM∼△BNA;
△AMC中有共邊共角型相似:△AMN∼△CMA.
通過翻折對稱、旋轉可得到平行A字型相似.
共邊共角三等腰:
1.頂角為36°的等腰三角形
條件:AB=AC,∠A=36°,BD為角平分線.
結論:△ABC、△BCD、△ABD為等腰三角形;
△BCD∼△ABC.(BC是CD和AC的比例中項)
小結:D點為黃金分割點.
2.底角為36°的等腰三角形
條件:AB=AC,∠BAD=∠B=36°.
結論:△ABC、△ACD、△ABD為等腰三角形;
△ABD∼△BCA.(AB是BD和BC的比例中項)
小結:D點為黃金分割點.
有話要說...