題目:有101條線段,它們的端點互不相同,但都位于同一條直線上。任意一條線段都至少與另外50條線段有公共部分。問其中是否一定能找到一條線段,與另外100條線段都有公共部分?
今天的題目是組合問題,相傳來自古希臘,解題所用知識不超過小學4年級。
如果你想思考一下,可以暫停滾屏,思考1分鐘後,再繼續。
思路分析:
這道題屬于組合問題,要說明不一定能找到這樣的線段,需要構造出一種線段的排列方式;
要說明一定能找到這樣的線段,需要給出嚴格的證明。
這裡我們采用嚴格證明的方法,解題過程中需要用到最值原理:即有限個數中一定有最大和最小值。
應用最值原理的一個簡單變形,考慮所有線段中左端點中最靠右的一條,把這條線段記作L(1),其左端點記作A;考慮所有線段中右端點中最靠左的一條,把這條線段記作L(2),其右端點記作B;顯然A,B兩點不會重合。
我們先讨論當A位于B左側時的情況,再讨論當B位于A左側時的情況,二者綜合就是最終的答案。
步驟1:
先思考第一個問題,當A位于B左側時,是否能找到滿足題目要求的線段?
由于此時A在B的左側,故可以把AB看作一條線段,
下面将說明AB是這101條線段的公共部分:
由于所有線段的左端點都在A左側,且所有線段的右端點都在B右側,故這101條線段都包含了AB在内。這說明任意兩條線段都有公共部分,因此任意一條線段,與另外100條線段都有公共部分。
注:對不太擅長空間想象的孩子,在紙上畫個圖會更直觀。
步驟2:
再思考第二個問題,當B位于A左側時,是否能找到滿足題目要求的線段?
由于B位于A的左側,故L(1)與L(2)兩條線段無公共部分。注意到L(1)與50條線段有公共部分,且L(2)與50條線段有公共部分,除L(1)與L(2)外隻有99條線段,由于50+50 > 99,故定有一條線段與L(1)、L(2)都相交,不妨把這條線段記作L(3),顯然A,B點都在L(3)上。
下面将說明L(3)與所有線段都相交。
對這101條線段中的任一線段P,由于線段P的左端點在A點左側,而A點在L(3)上,故線段P不全在L(3)的右側;由于線段P的右端點在B點右側,而B點在L(3)上,故線段P不全在L(3)的左側。故線段P與L(3)有公共部分。
因此L(3)與所有線段都有公共部分。
步驟3:
綜合上述幾個問題,考慮原題目的答案。
由于A,B兩點位置隻有兩種情況,分别對應着步驟1與步驟2。
而在步驟1和步驟2中,都能找到滿足題目要求的線段。所有原題的答案是一定能找到。
你學會了嗎?
有興趣的讀者可以考慮自行練習下面的擴展題
思考題:原題目改個條件
有101條線段,它們的端點互不相同,但都位于同一條直線上。任意一條線段都至少與另外49條線段有公共部分。問其中是否一定能找到一條線段,與另外100條線段都有公共部分?
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