題目:如圖, PC 切⊙O 于C , AC 為圓的直徑, PEF 為⊙O 的割線, AE 、 AF 與直線 PO 相交于 B 、 D .
求證:四邊形 ABCD 為平行四邊形.
這道題主要是考察圓的切割線。
如果你想思考一下,可以暫停滾屏,思考1分鐘後,再繼續。
第一步,觀察條件和結論,根據平行四邊形的判定,可以考慮證明對角線互相平分或者兩條邊相互平行 ,因為已經有了一條對角線被交點平分,所以結論轉化為證一組對邊平行或者OB=OD即可。
解法一:嘗試證明線段等長
OB=OD等價于BM=DN,直接推導無果。
考慮轉化等長的條件,過E作EH//BD,交AF于H點,交AC于點G,條件轉化為求證EG=GH
再取EF的中點Q,連接GQ,條件又轉化為求證GQ//AF
之所以過渡到點Q,是因為在有切割線共存的圖形中,割線形成的弦的中點是個特殊點,在長度和四點共圓方面常常有可供利用的地方,值得一試。
有了點Q之後,易知P,C,Q,O四點共圓,加上PN//EH
所以
, E,C,Q,G四點共圓從而
, GQ//AF得證。已知條件和結論會師。解法二:嘗試用内錯角相等證對邊平行。
通過内錯角相等和同弧所對圓周角相等,将結論轉化為
從而AD/AC=EC/EF
同樣的,考慮到EF中點G的特征,連接OG,CG
易得AD/AO=EC/EG, 同時
所以
, 結論轉化為求證這兩個三角形另外兩對角中的一對相等。而因為G點的特征,P,C,G,O四點共圓,
已知條件和結論會師。
解法三:嘗試用同位角相等證對邊平行。
觀察
,後者等于圓心角的一半所以結論轉化為求證
這兩個角沒有直接關系,需要找個中間量過渡一下。
這時我們又看上了另一個特殊點:在有切割線共存的圖形中,同一點引出的兩條切線,與此點和圓心連線的交點是特殊點。
所以過C點作CG垂直PD于G
因為
所以G,E,F,O四點共圓
,同時易知B,E,C,G四點共圓,
結論轉化為求證
,或者是再次利用G,E,F,O四點共圓的性質,得到
已知條件和結論會師。
總結:切割線共存的圖形中,特殊點的作用不可限量,時刻準備嘗試。
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