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圓切割線的實戰 - 初中數學聯賽幾何100題之007


題目:如圖, PC 切⊙O 于C , AC 為圓的直徑, PEF 為⊙O 的割線, AE 、 AF 與直線 PO 相交于 B 、 D .

求證:四邊形 ABCD 為平行四邊形.

這道題主要是考察圓的切割線。

如果你想思考一下,可以暫停滾屏,思考1分鐘後,再繼續。


第一步,觀察條件和結論,根據平行四邊形的判定,可以考慮證明對角線互相平分或者兩條邊相互平行 ,因為已經有了一條對角線被交點平分,所以結論轉化為證一組對邊平行或者OB=OD即可。

解法一:嘗試證明線段等長

OB=OD等價于BM=DN,直接推導無果。

考慮轉化等長的條件,過E作EH//BD,交AF于H點,交AC于點G,條件轉化為求證EG=GH

再取EF的中點Q,連接GQ,條件又轉化為求證GQ//AF

之所以過渡到點Q,是因為在有切割線共存的圖形中,割線形成的弦的中點是個特殊點,在長度和四點共圓方面常常有可供利用的地方,值得一試。

有了點Q之後,易知P,C,Q,O四點共圓,加上PN//EH

所以

, E,C,Q,G四點共圓

從而

, GQ//AF得證。已知條件和結論會師。


解法二:嘗試用内錯角相等證對邊平行。


通過内錯角相等和同弧所對圓周角相等,将結論轉化為


從而AD/AC=EC/EF

同樣的,考慮到EF中點G的特征,連接OG,CG

易得AD/AO=EC/EG, 同時


所以

, 結論轉化為求證這兩個三角形另外兩對角中的一對相等。

而因為G點的特征,P,C,G,O四點共圓,


已知條件和結論會師。


解法三:嘗試用同位角相等證對邊平行。

觀察

,後者等于圓心角

的一半

所以結論轉化為求證


這兩個角沒有直接關系,需要找個中間量過渡一下。

這時我們又看上了另一個特殊點:在有切割線共存的圖形中,同一點引出的兩條切線,與此點和圓心連線的交點是特殊點。

所以過C點作CG垂直PD于G

因為


所以G,E,F,O四點共圓

,

同時易知B,E,C,G四點共圓,


結論轉化為求證

,或者是


再次利用G,E,F,O四點共圓的性質,得到


已知條件和結論會師。


總結:切割線共存的圖形中,特殊點的作用不可限量,時刻準備嘗試。

你做對了嗎?如果你有更好的方法,歡迎分享。

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