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小學奧數每日一題013 - 卡拉數學

題目:2019年即将過去,小明有點不舍得。他想找到兩個自然數m,n,使這兩個數的立方和等于20192019......2019(共8個2019)。請問小明的想法能實現嗎?

這道題屬于數論問題,如果你想思考一下,可以暫停滾屏,思考1分鐘後,再繼續。


思路分析:

先介紹幾個基礎知識點,

知識點一:完全平方數除以3後,餘數隻可能是0或者1;

知識點二:完全平方數除以4後,餘數隻可能是0或者1;

知識點三:完全立方數除以7後,餘數隻可能是0、1或者6。

這幾個知識點都很容易證明,但在處理具體問題時非常實用。

由于今天的題目是完全立方數,我們将應用第三個知識點解題,作為示例将證明這個知識點,其餘兩個知識點您可以類似證明。

因此,我們先思考完全立方數除以7餘數是多少,再計算2019......2019除以7的餘數,判斷兩個立方數的和是否可能是2019......2019。


步驟1:

先思考第一個問題,完全立方數的除以7餘數可能是多少?

任何一個數n除以7餘數隻有7種,即0到6的所有自然數,對這7種餘數分别計算:

第一種,當餘數是0時,自然數n可寫為7k的形式,顯然(7k)^3除以7的餘數是0;

第二種,當餘數是1時,自然數n可寫為7k+1的形式,(7k+1)^3除以7的餘數是1;

第三種,當餘數是3時,自然數n可寫為7k+3的形式,(7k+3)^3除以7的餘數是6;

……

類似的計算可以得到,n^3除以7的餘數隻能是0,1或6。

注:對上面的另外兩個知識點,您也可以類似的證明。


步驟2:

再思考第二個問題,考慮原題目的答案。

根據步驟1的結論,對任意兩個自然數m和n,m^3+n^3除以7的餘數隻有5種,即0,1,2,5,6。

但2019=288*7+3,即2019除以7的餘數是3。由于2019重複了8遍,故2019......2019除以7的餘數也是3。由于3不在上述5種餘數中,因此滿足條件的m和n不存在,

所以小明的想法不能實現。


你學會了嗎?

有興趣的讀者可以考慮自行練習下面的擴展題

思考題:原題目改個條件。

2019年即将過去,小明有點不舍得。小明想找到兩個自然數m,n,使這兩個數的平方和等于2019。請問小明的想法能實現嗎?


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