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初中數學聯賽幾何100題之005 - 卡拉數學


題目:如圖,四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC 、BD交于點 E ,

BAC =50

ABD =60

CBD =20

CAD =30

ADB =40

,求

ACD

如果你想思考一下,可以暫停滾屏,思考1分鐘後,再繼續。


解法一:

觀察已知角和未知角,要求解∠ACE,隻要求得∠BDC或∠DEC中的一個即可。

尋找已知角度的特征,三角形ABC是一個頂角80度的等腰三角形,還記得本專題的前面第3題的一個思路嗎?對這種三角形可以嘗試以頂角為圓心,腰長為半徑的輔助圓。

因此得到圓B,因為有了一個60度角,所以自然而然得到等邊三角形ABF,并可以導出∠EAF=10

,∠DAF=∠CBF=20


這時候有了一邊,一角對應相等,又有對頂角的地利,很容易想到要嘗試構造全等三角形,于是延長AF和BC交于G點,易證三角形AFD和BFG全等,從而FG=FD

因為∠DFG為60度,所以嘗試連接DG,得到的三角形DFG為等邊三角形

從圖形上看,三角形DFC和DGC已經有兩邊相等,如果這兩個三角形全等,∠FDC就是∠FDG的一半,結論就可求得,所以嘗試考慮DFC和DGC的全等條件

因為要求的是角,所以找夾角相等困難,嘗試證第三邊相等,這需要∠CFG=∠CGF

因為有了兩個等邊三角形的60度角,以及輔助圓所構成的等腰三角形,易證得這兩個角都是40度。至此,已知條件和結論會師。

所求

ACD為80度


解法二:

如果不從輔助圓出發,而從觀察到的∠CBA=∠DAB=80

,嘗試作等腰梯形。

過D作DG//AB交BC延長線于G,連AG交BD于F,連CF

由等腰梯形性質,易證得解法一中相同的等邊三角形和一對全等三角形,最後得到∠DFC=30



解法三:

還是從輔助圓出發,但這次走圓B和AC交點F的路子

易證三角形FBC為等邊三角形,三角形FBD為等腰三角形

所以FB=FC=FD,FCD為等腰三角形,且F為三角形BCD的外心

則∠CFD=2∠CBD=40

,從而∠CDF=70

, ∠ACD=80



總結幾個作輔助線的思路:

20,40,80度的等腰三角形==》輔助圓

60度,30度==》等邊三角形,圓心角/圓周角

公共邊的兩底角相等==》等腰梯形

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