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題目中驚現“布洛卡點”,你能挑戰成功嗎 - 初中聯賽幾何100題之23


題目:已知,點 D 是ΔABC 内一定點,且有∠DAC=∠DCB=∠DBA=30⁰.

求證:ΔABC 是正三角形

如果你想思考一下,可以暫停滾屏,思考1分鐘後,再繼續。


解法一:從結論倒推條件非常簡單,考慮用“同一法”。但是,如果嘗試反證ΔABC不是正三角形,就會與已知條件矛盾,這個路子很難走通。

因此我們換一個方向,不從角度或者邊長入手反證,而是從DA,DB,DC是否等長入手。

如果DA=DB=DC,結論成立。

如果三條線段中有兩條相等,可設DB=DC,那麼做ΔACD的外接圓,易知BC是圓的切線,所以證得B,D,O共線。從而BA也是圓的切線,BA=BC,加上∠ABC=60⁰,結論成立。

如果三條線段兩兩不等,那麼可以通過構造一個B’點來導出矛盾,說明這樣的情況不存在。

在ΔABC為正三角形的情況下,在CB延長線上取點B’,使DB’>DB。在AD劣弧上取點A’,則∠CA’D=30⁰,DA’

設AB與A’B’交于E點

如果∠EB’B=30⁰,則B’,B,D,E四點共圓,∠DEB就會同時出現大于30度和小于30度的矛盾。所以∠EB’B不等于30度。

這意味如果出現DA,DB,DC兩兩不等的情況,就會出現這樣的矛盾。所以ΔABC必須是正三角形。


解法二:有30度的三角形内角,考慮作外接圓

如圖,作ΔABC的外接圓,延長AD交圓于E,延長BD交圓于F

∠ABF和∠EAC都是30度角,所以AF=CE,并且都等于外接圓半徑R;

∠EDC=∠DAC+∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB=∠F

∠E=∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠DAC+∠CAF=∠DAF

從而ΔADF~ΔECD,得到AD·DE=AF·CE=R²

AD·DE等于D點相對于外接圓的幂,等于R²減去D到圓心的距離

所以D到圓心距離為0,即D點為外接圓圓心

由此易證結論。


總結:這個題目的條件相當簡潔,3個角,6條線,但是要找到證明的方法缺并不容易。除了兩種解法之外,還有解析法、三角函數法等解法。

其實這道題有着更一般的情形,30度角隻是一種特殊情況。這種三角形内一點形成三等角的點和角被稱為布洛卡點和布洛卡角,有許多有趣的特征。有興趣的讀者可以自行查閱


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