題目中驚現“布洛卡點”，你能挑戰成功嗎 - 初中聯賽幾何100題之23
題目：已知，點 D 是ΔABC 内一定點，且有∠DAC=∠DCB=∠DBA=30⁰.
求證：ΔABC 是正三角形
如果你想思考一下，可以暫停滾屏，思考1分鐘後，再繼續。
解法一：從結論倒推條件非常簡單，考慮用“同一法”。但是，如果嘗試反證ΔABC不是正三角形，就會與已知條件矛盾，這個路子很難走通。
因此我們換一個方向，不從角度或者邊長入手反證，而是從DA,DB,DC是否等長入手。
如果DA=DB=DC，結論成立。
如果三條線段中有兩條相等，可設DB=DC,那麼做ΔACD的外接圓，易知BC是圓的切線，所以證得B,D,O共線。從而BA也是圓的切線，BA=BC，加上∠ABC=60⁰,結論成立。
如果三條線段兩兩不等，那麼可以通過構造一個B’點來導出矛盾，說明這樣的情況不存在。
在ΔABC為正三角形的情況下，在CB延長線上取點B’，使DB’>DB。在AD劣弧上取點A’，則∠CA’D=30⁰，DA’ 設AB與A’B’交于E點 如果∠EB’B=30⁰,則B’,B,D,E四點共圓，∠DEB就會同時出現大于30度和小于30度的矛盾。所以∠EB’B不等于30度。 這意味如果出現DA,DB,DC兩兩不等的情況，就會出現這樣的矛盾。所以ΔABC必須是正三角形。 解法二：有30度的三角形内角，考慮作外接圓 如圖，作ΔABC的外接圓,延長AD交圓于E，延長BD交圓于F ∠ABF和∠EAC都是30度角，所以AF=CE，并且都等于外接圓半徑R； ∠EDC=∠DAC+∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB=∠F ∠E=∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠DAC+∠CAF=∠DAF 從而ΔADF~ΔECD,得到AD·DE=AF·CE=R² AD·DE等于D點相對于外接圓的幂，等于R²減去D到圓心的距離 所以D到圓心距離為0，即D點為外接圓圓心 由此易證結論。 總結：這個題目的條件相當簡潔，3個角，6條線，但是要找到證明的方法缺并不容易。除了兩種解法之外，還有解析法、三角函數法等解法。 其實這道題有着更一般的情形，30度角隻是一種特殊情況。這種三角形内一點形成三等角的點和角被稱為布洛卡點和布洛卡角，有許多有趣的特征。有興趣的讀者可以自行查閱 你做對了嗎？如果你有更好的方法，歡迎分享。 【卡拉數學】長期分享數學趣題、解題技巧，緻力于數學科普和拓展數學思維，每日定更，覺得内容有興趣的可以長期關注哦！
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