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導數異構大放異彩,泰勒導數消導數異構大法,最重要的是證明必要性,實際上就是找出矛盾區間,在假設前提下...

導數異構大放異彩,泰勒導數消
導數異構大法,最重要的是證明必要性,實際上就是找出矛盾區間,在假設前提下,得出與題設矛盾的結論,從而得出正确結論,類似于反證法。這題源自專欄《突破導數瓶頸,絕不拖高考後腿》第26集。在證明必要性時忽略了x=0的情形,感謝網友指出問題。之前的做法是利用同構函數的保值性定理。在這裡用導數異構大法再次證明。

​第二問

當x=0時,原不等式顯然成立恒成立,此時a可取任何實數

當x>0時,

原不等式恒成立等價于

e^x-x-1/x-ln(x+1)≥2a

(這裡要先證x-ln(x+1)>0當x>0時恒成立)

令h(x)=x-ln(x+1) (x>0)

易證h(x)在x>0遞增

而易證e^x-1>x

所以h(e^x-1)>h(x)

而h(e^x-1)=e^x-x-1

所以e^x-x-1/x-ln(x+1) >1

所以2a≤1

即a≤1/2

綜上,a≤1/2


同構e^x-2ax,單調增,導函數恒大于0即可

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