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初中數學|經典幾何問題：圓中的輔助線

初中數學往期模型


圓中的輔助線

模型1.連半徑構造等腰三角形

已知AB是⊙O的一條弦，連接OA、OB，

結論：∠A=∠B。

分析：與圓有關的題目，通常可以連接半徑構造等腰三角形，利用等腰三角形的性質及圓中的相關定理，解決求角度問題。

例子：如圖，CD是⊙O的直徑，∠EOD=84°，AE交⊙O于點B，

且AB=OC，求∠A?

證明：

聯結OB，∴△BOE是等腰三角形。

∴∠E=∠OBE,

∵AB=OC=OB，

∴∠A=∠BOA,

∵∠EOD是△AEO的外角，

∴∠EOD=∠A+∠E,

∵∠OBE是△ABO的外角，

∴∠OBE=∠A+∠BOA=2∠A,

∴∠E=2∠A,

∴∠EOD=3∠A=84°,

∴∠A=28°。

思考：如圖，AB經過⊙O的圓心，點B在⊙O上，若AD=OB，且∠B=54°。試求∠A的度數？

提示：

聯結OC、OD，計算∠BOC=72°。

再通過等腰三角形，得到

∠BOC=3∠A。與上題類似。

思考：如圖，AB是⊙O的直徑，弦PQ交AB于M，且PM=MO。

求證：弧AP=1/3弧BQ。

提示：

聯結OQ、OP，證明∠BOQ=3∠POA。

模型2.構造直角形

如下圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，連接AC、BC，

則∠ACB=90°。

如下圖，已知AB是⊙O的一條弦，過點O作OE⊥AB，

則OE2+AE2=OA2。


分析：

（1）當圖形中含有直徑時，構造直徑所對的圓周角是解決問題的重要思路。

（2）在解決求弦長、弦心距、半徑問題時，常構造弦心距或聯結半徑作為輔助線，再利用勾股定理進行計算。

思考：如圖，已知⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，AE=2，BE=6，∠DEB=60°，

求：CD的長度。

提示：

聯結OD，作OF⊥DE，

利用∠DEB=60°，求出線段OF,

再利用勾股定理求出DF。

思考：如圖，⊙O的弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AE=5，BE=13，點O到AB的距離為2√10，求點O到CD距離，線段OE的長及⊙O的半徑。

提示：

如圖作出輔助線，多次運用勾股定理。

1








注：若思考題有疑問可以私信小修要答案！

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