初中數學|經典幾何問題：“中點”四大模型
'中點'四大模型
模型1.倍長中線或類中線（與中點有關的線段）構造全等三角形
如圖①，AD是△ABC的中線，延長AD至點E使DE=AD。
結論：△ADC≌△EDB（利用SAS證明）。
如圖②，D是BC中點，延長FD至點E使DE=FD，
結論：△FDB≌△FDC（利用SAS證明）。
分析：題目中出現中線或者中點時，可以利用倍長中線或類中線，構造全等三角形，這樣構造的目的是把條件中的線段進行“等同”轉移，在後續過程中使用。
例子：如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長AC于點F，AF=EF。
求證：AC=BE。
證明：
方法一：
因為D是BC的重點，利用倍長類中線模型，
作AD延長線到點G，使得DE=DG，聯結CG.
∴△BED≌CGD(SAS)。
∴∠BED=∠G，BE=CG，
又∵AF=EF，
∴∠CAD=∠AEF，又∵∠BED=∠AEF
∴∠CAD=∠G,
∴△ACG是等腰三角形，
∴AC=CG,
∴AC=BE。
方法二：
提示，利用倍長中線模型，
作AD延長線到點G，使得AD=DG,聯結BG.
思考：如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DM⊥DN，如果
BM2+CN2=DM2+DN2.
求證：AD2=1/4(AB2+AC2)。
提示：作MD延長線至E，使得DM=DE，聯結CE, NE. 使用勾股定理逆定理。
模型2.已知等腰三角形底邊中點，可以考慮與頂點連接用“三線合一”
分析：等腰三角形中有底邊中點時，作底邊的中線，利用等腰三角形“三線
合一”的性質得到角相等或邊相等，為解題創造更多的條件與思路。見等腰三
角形，就意味着：“邊等、角等、三線合一”。
思考：如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M為BC的中點，MN⊥AC于點N，
求：MN的長度。
提示：作中線AM，利用面積關系求MN。
1
模型3.已知三角形一邊的中點，可以考慮中位線定理
分析:在三角形中，如果有中點，可構造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質定理：DE∥BC，DE=1/2BC, 來解題，該模型可以解決相等，線段之間的倍半、相等及平行問題。
思考：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中點，連接EF并延長，分别與BA、CD的延長線交于點M、N。
求證：∠BME=∠CNE。
提示：聯結BD，作△BDC的中位線EH, 作△ABD的中位線FH。
1
模型4.已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構造斜邊中線
結論：CD=1/2AB。
分析:在直角三角形中，當遇見斜邊中點時，經常會作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，來證明線段間的數量關系。并且還可以得到兩個等腰三角形：△ACD和△BCD，這個模型經常會與中位線定理一起綜合應用。
思考：如圖，在△ABC中，BE、CF分别為AC、AB上的高，D為BC的中點，DM⊥EF于點M。
求證：FM=EM。
提示：聯結FD,ED。等腰三角形三線合一。
注：若思考題有疑問可以私信小修要答案！
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