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初中數學|經典幾何問題：“中點”四大模型

初中數學往期模型


'中點'四大模型

模型1.倍長中線或類中線（與中點有關的線段）構造全等三角形

如圖①，AD是△ABC的中線，延長AD至點E使DE=AD。


結論：△ADC≌△EDB（利用SAS證明）。

如圖②，D是BC中點，延長FD至點E使DE=FD，


結論：△FDB≌△FDC（利用SAS證明）。

分析：題目中出現中線或者中點時，可以利用倍長中線或類中線，構造全等三角形，這樣構造的目的是把條件中的線段進行“等同”轉移，在後續過程中使用。

例子：如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長AC于點F，AF=EF。

求證：AC=BE。

證明：

方法一：

因為D是BC的重點，利用倍長類中線模型，

作AD延長線到點G，使得DE=DG，聯結CG.

∴△BED≌CGD(SAS)。

∴∠BED=∠G，BE=CG，

又∵AF=EF，

∴∠CAD=∠AEF，又∵∠BED=∠AEF

∴∠CAD=∠G,

∴△ACG是等腰三角形，

∴AC=CG,

∴AC=BE。

方法二：

提示，利用倍長中線模型，

作AD延長線到點G，使得AD=DG,聯結BG.

思考：如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DM⊥DN，如果

BM2+CN2=DM2+DN2.

求證：AD2=1/4(AB2+AC2)。

提示：作MD延長線至E，使得DM=DE，聯結CE, NE. 使用勾股定理逆定理。

模型2.已知等腰三角形底邊中點，可以考慮與頂點連接用“三線合一”

分析：等腰三角形中有底邊中點時，作底邊的中線，利用等腰三角形“三線

合一”的性質得到角相等或邊相等，為解題創造更多的條件與思路。見等腰三

角形，就意味着：“邊等、角等、三線合一”。

思考：如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M為BC的中點，MN⊥AC于點N，

求：MN的長度。

提示：作中線AM，利用面積關系求MN。

1








模型3.已知三角形一邊的中點，可以考慮中位線定理

分析:在三角形中，如果有中點，可構造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質定理：DE∥BC，DE=1/2BC, 來解題，該模型可以解決相等，線段之間的倍半、相等及平行問題。

思考：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中點，連接EF并延長，分别與BA、CD的延長線交于點M、N。

求證：∠BME=∠CNE。

提示：聯結BD，作△BDC的中位線EH, 作△ABD的中位線FH。

1








模型4.已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構造斜邊中線

結論：CD=1/2AB。

分析:在直角三角形中，當遇見斜邊中點時，經常會作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，來證明線段間的數量關系。并且還可以得到兩個等腰三角形：△ACD和△BCD，這個模型經常會與中位線定理一起綜合應用。

思考：如圖，在△ABC中，BE、CF分别為AC、AB上的高，D為BC的中點，DM⊥EF于點M。

求證：FM=EM。

提示：聯結FD,ED。等腰三角形三線合一。

注：若思考題有疑問可以私信小修要答案！

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