初中數學|經典幾何問題：相似模型（下）
相似模型
模型5.圓相關的簡單相似
結論：
圖①中，由同弧所對的圓周角相等，可得△PAC∽△PDB；
圖②中，由圓的内接四邊形的一個外角等于它的内對角，可得△PAC∽△PDB；
圖③中，通過作輔助線構造，可得△PAC∽△PCB。
例子：如圖，點P在⊙O外，PB交⊙O于A、B兩點，PC交⊙O于 D、C兩點。
求證：PA·PB=PD·PC。
證明：
聯結AD、BC。
∴△PDA∽△PBC(利用模型)。
∴PD/PB=PA/PC,
∴PA·PB=PD·PC。
注：考試中遇到模型，需要自己證明後再使用。
思考：如圖，P是⊙O内的一點，AB是過點P的一條弦，設圓的半徑為r，OP=d。
求證：PA·PB=r2-d2。
證明：
作OP所在直徑，交圓于E、F。
∴△APE∽△FPB(利用模型）。
∴PB/PE=PF/PA,
∴PA·PB=PE·PF，
∵ PE=r+d，PF=r-d，
∴PA·PB=r2-d2。
注：考試中遇到模型，需要自己證明後再使用。
思考：如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是半圓的三等分點，延長AC、BD交于點E。
（1）求∠E的度數；
（2）點M是BE上一點，且滿足，EM·EB=CE2,連接CM，
求證：CM是⊙O的切線。
求證：CM是⊙O的切線。
提示：
聯結CO、DO、CB。
（1）證明△ACO,△BDO是等邊三角形。
（2）△CEM∽△BEC(利用模型）
易證∠EMC=90°
OC∥BE(利用同位角相等)
∠OCM=90°。
注：考試中遇到模型，需要自己證明後再使用。
模型6.相似與旋轉
如圖，已知DE∥BC，将△ADE繞點A旋轉一定的角度，連接BD、CE，
結論：△ABD∽△ACE。
分析：該模型難度較大，常出現在壓軸題中，以直角三角形為背景出題，手拉手模型是此模型的特殊形态。
思考：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，點P在△ABC内，且，PB=5，PC=2。
求：S△ABC？
提示：
作△ABQ, 使得∠QAB=∠PAC,
∠ABQ=∠ACP, 得到△ABQ∽△ACP相似比為2。
從而可得，△APQ, △BPQ是直角三角形。
思考：如圖，△ABC和△CEF均為等腰三角形，E在△ABC内，
∠CAE+∠CBE=90°，連接BF。
（1）求證：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的長。
提示：
(1)同模型證法。
(2)利用模型，再根據
∠CAE+∠CBE=90°，
可證∠EBF=90°。
利用勾股定理求出EF，
再根據CE、EF、等腰直角三角形關系求出CE。
1
注：若思考題有疑問可以私信小修要答案！
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