「數學思維訓練」反直覺的數學問題08 - 卡拉數學
你的數學直覺怎麼樣？你能憑借直覺，迅速地判斷出誰的概率大，誰的概率小嗎？我們将連載這種反直覺的有趣數學問題。如果你感興趣的話，你可以先試着用直覺來判斷，再詳細分析答案，看看你猜對了多少。
不知不覺我們已經到了第八期連載，想了解往期題目的讀者，可以關注我們之後搜索曆史文章哦。
我們來開始今天的題目：
18．小明走進一家賭場，來到了輪盤賭跟前。輪盤賭的轉盤上有 38 個格子，上面分别标着 0, 00, 1, 2, 3, …, 36 。遊戲開始後，一個白色小球會逆着輪盤旋轉的方向滾動，最終等概率地落入 38 個格子中的一個。小明每次可以在任意一個格子上下 1 元的賭注。如果小球落入了小明所選的格子裡，則小明赢得 36 元（但那 1 元錢的賭注仍然歸賭場）；如果小球落入了别的格子裡，則小明什麼也得不到（那 1 元也就打水漂了）。小明身上隻有 105 元錢，于是，他連續賭了 105 次。那麼，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．小明賺着離開了賭場
B．小明虧着離開了賭場
C．上述兩種情況的出現概率相同
花 1 元賭某一個格子，中簽的概率是 1/38 ，但卻隻能赢來 36 元。毫無疑問，輪盤賭是一個赤裸裸的對賭場更有利的賭博遊戲。所以，這道題應該選 B 咯？不對！這道題的正确答案其實是 A 。在這道題中， 105 這個數起到了比較關鍵的作用。讓我們來實際計算一下。
由于每赢一次會得到 36 元，因此小明隻需要赢 3 次或 3 次以上，便能實現賺着離開賭場了。小明一次沒赢的概率為 (37/38)105 ≈ 0.0608 ，恰好赢 1 次的概率為 C(105, 1) × (1/38) × (37/38)104 ≈ 0.1725 ，恰好赢 2 次的概率為 C(105, 2) × (1/38)2 × (37/38)103 ≈ 0.2425 ，上述三個值加起來約為 0.4758 。所以，反過來，小明赢了 3 次或 3 次以上的概率就是 0.5242 ，這超過了 1/2 。
為什麼在玩一個明顯對賭場更有利的賭博遊戲中，精确地花費 105 元錢，就能做到賺時多虧時少？如果每個人都這麼做，賭場豈不是會被搞垮？這不跟遊戲對賭場更有利的結論相矛盾嗎？其實，賺的時候更多，并不意味着期望收益為正。雖然賺的時候多，虧的時候少，但賺的時候往往是賺小錢，虧的時候往往是虧大錢，平均算下來，玩家仍然是在不斷送錢的。
19．法國有法國的輪盤賭，俄羅斯也有俄羅斯的輪盤賭。不過，戰鬥民族的賭博方式可不一樣——不是賭錢，而是賭命。俄羅斯輪盤賭可謂是史上最酷的決鬥方式。左輪手槍的轉輪中有六個彈槽。在其中一個彈槽中放入一顆子彈，然後快速旋轉轉輪，再把它合上。參與決鬥的兩個人輪流對準自己的頭部扣動扳機，直到其中一方死亡。這是一場真男人遊戲，雙方勝負的概率各占 50% ，遊戲沒有任何技巧可言，命運決定了一切。為了讓遊戲更加刺激，這一回我們稍微改變一下遊戲規則。在轉輪的連續三個彈槽中放入子彈，然後旋轉并合上轉輪。這一次，理論上，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．先開槍的人死亡
B．後開槍的人死亡
C．上述兩種情況的出現概率相同
或許有些出人意料的是，這個題目的答案為 A 。為了算出雙方存活的概率，我們隻需要考慮所有 6 種可能的子彈位置即可。不妨用符号 ⊙ 來表示有子彈的彈槽，用符号 ○ 來表示空的彈槽。我們便能列出下面這張表：
- ⊙⊙⊙○○○ → 先開槍者死
- ⊙⊙○○○⊙ → 先開槍者死
- ⊙○○○⊙⊙ → 先開槍者死
- ○○○⊙⊙⊙ → 後開槍者死
- ○○⊙⊙⊙○ → 先開槍者死
- ○⊙⊙⊙○○ → 後開槍者死
可見，先開槍者死亡的概率高達 2/3 ，是後開槍者死亡概率的兩倍。
可以算出，當轉輪裡位置相連的子彈數分别為 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 時，先開槍者死亡的概率分别為 1/2 、 2/3 、 2/3 、 5/6 、 5/6 、 1 。看來，并不是所有遊戲都是先下手為強啊。
20．小明參加某電視台的選秀節目。 A 、 B 、 C 三位導師欣賞了小明的一番激情演唱後，需要投票決定小明能否晉級。小明的表演征服了 A 、 B 兩位導師，每位導師都有 4/5 的概率投出贊成票，支持小明晉級。但 C 導師則猶豫不決，不知道該如何選擇。怎麼辦呢？節目組給出了兩種方案供小明選擇。第一種方案是， A 、 B 兩位導師獨立作出決定， C 則抛擲一枚公正的硬币，如果硬币正面朝上，則晉級與否完全以 A 的決定為準，如果硬币反面朝上，則晉級與否完全以 B 的決定為準。第二種方案是，A 、 B 兩位導師獨立投出贊成票或反對票， C 則抛擲一枚公正的硬币，如果硬币正面朝上，則投出贊成票，如果硬币反面朝上，則投出反對票，最後晉級與否則取決于三人中的多數票。為了提高晉級的概率，小明應該選擇哪種方案？
A．選擇第一種方案
B．選擇第二種方案
C．兩種方案的晉級概率相同
這個題目的答案是 C 。兩種方案中，小明晉級的概率是相同的，都是 4/5 。即使把題目中 4/5 這個比例換一換，答案也依舊如此。不妨假設 A 、 B 兩位導師投出贊成票的概率都是 p ，那麼第一種方案中小明晉級的概率顯然是 (1/2) · p + (1/2) · p = p 。第二種方案呢？兩位導師都投出贊成票的概率是 p2 ，此時小明必然晉級； A 投出贊成票 B 投出反對票的概率是 p · (1 – p) ，此時小明有 1/2 的概率晉級（這取決于 C ）； A 投出反對票 B 投出贊成票的概率是 (1 – p) · p ，此時小明有 1/2 的概率晉級（這取決于 C ）；其他情況下小明都無法晉級。因此，第二種方案中小明晉級的概率為 p2 + (1/2) · p · (1 – p) + (1/2) · (1 – p) · p ，化簡的結果是一樣的： p 。
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