通向複雜大腦的神秘數學之旅
用數學和物理學從本質上描述我們的大腦構造可能是一項不可能完成的任務，那麼我們真的無法了解大腦嗎？在神經科學方面，曾經轟動全球的“藍腦計劃”雖然至今未能複制大腦，但科學家重建了部分大鼠的模型，而數學家發現，拓撲學在了解神經元組成的網絡方面，起到了神奇的作用。
撰文| Rachel Thomas
翻譯|張和持
2021年6月，歐洲數學大會（ECM）在斯洛文尼亞召開。在開幕第一天的最後，Betül Tanbay（土耳其著名數學家）向大家介紹了洛桑聯邦理工學院 (EPFL) Kathryn Hess 教授的講座：“通向複雜大腦的神秘數學之旅”。而當天的第一場演講則是關于心髒的數學模型。這真可謂是用數學的方式緊緊抓住了聽衆們的“心靈”。Hess的旅程精彩非凡，這篇文章便是來分享她的奇思妙想的。
降 維
我們的大腦是由數百億個神經元，以及用來連接神經元的數萬億個突觸組成的網絡，其複雜程度我們根本無法想象。如果再考慮神經元的形狀、大小、朝向和一些其他因素，如大腦中的各層血管，情況還會更加複雜。Kathryn Hess 談道，“為了避免直接處理如此複雜的對象，我們使用了一種數學家們都很熟悉的技巧。”
這個技巧叫作降維（dimension reduction），也就是說，選取具有代表性的簡化信息。Hess解釋說，其實我們每個人都會下意識地進行這樣的操作。假如你到斯洛文尼亞參加這場大會，要從酒店前往大會會場，你想知道如何在這兩點間的導航。并不需要知道周圍的建築是什麼顔色，或者這些屋子裡住的人都叫什麼名字。你隻需要知道什麼時候左轉，什麼時候右轉，以及每次轉向之間間隔的距離。你可以想象是從導航地圖的衛星視圖（顯示各種細節）切換成街道視圖（隻顯示與交通有關的信息）。
Hess通過降維的方法，把大腦中如一團亂麻的神經元，表示為一幅網絡圖。每個神經元，暫且不論其形狀與大小，全都表示為一個節點。節點之間的邊則表示連接神經元的突觸，不過即便兩點之間有很多突觸，也隻表示為一條邊（在真實的大腦中，這種冗餘的突觸數量被認為很重要）。由于信息沿突觸傳遞的方向是一定的（從一個神經元的軸突到另一個神經元的樹突），所以這些邊都是有向的——由箭頭表示信息傳遞的方向。兩節點間有兩條相反的邊也是有可能存在的，就是指有相反方向的兩個突觸連接兩個神經元。這個有向網絡提供了大腦功能的簡化結構。
神經元網絡可以用有向圖來表示丨圖片來源：Kathryn Hess
重建大腦
Hess與“藍腦計劃（Blue Brain Project）”進行合作。“（仿真）人腦模型的規模遠遠超過了我們力所能及，”Hess說道，“畢竟有數百億個神經元，數據量是無法想象的龐大。”所以為了重建大腦的數學模型，“藍腦計劃”研究了比人類小得多的大鼠的大腦。不過Hess表示，即便鼠腦已經很小了，他們面對的仍然是“神經元網絡的狂野糾纏”。
大鼠新皮層中不同類型的神經元纏結的數據可視化圖像丨圖片來源：Nicolas Antille, EPFL.在過去的十年中，“藍腦計劃”重建了鼠腦中的軀體感覺新皮質（somatosensory neocortex）——這就像是從鼠腦表面深入到灰質提取出來一份岩心樣本。大腦中負責觸覺的部分組成一個微型電路，這裡包括了大約30000個神經元以及它們之間的800萬個連接。重建的過程，首先是在微型電路的柱狀區域中安放不同的“神經元”，來模拟實驗室中觀察到的種類和數量。接下來這些神經元将按照鄰近關系以及我們對鼠腦已有的信息來連接。
用來重建微型電路的算法包含了随機性（stochastic）。也就是說，算法中的某些分支是依照概率來選擇的，所以算法每運行一次，重建的結果都會不同。“藍腦計劃”最開始使用的數據來自五塊不同鼠腦，和一個彙集了各個大腦數據的“平均”腦。接着他們對每個數據集運行了7次重建（7次之間的差别其實不是很大），這樣就有了總共42個微型電路。
之後，研究人員将突觸的電性質編碼到微型電路裡，如此神經元電路就被真正連接起來，這樣部分鼠腦的重建就完成了。“藍腦計劃”的最終目标是用重建的大腦來研究神經系統的失調，比如帕金森氏症，以及減少藥物研發過程中的動物實驗。
揭示結構
拓撲學是數學中研究形狀分類的學科。如果某個圖形可以通過彎曲或拉伸變成另一個圖形，隻要變化過程中沒有切斷或撕裂，我們就認為兩個圖形相同。最著名的例子就是甜甜圈和咖啡杯，它們從拓撲意義上來說是一樣的。如果有一個橡皮泥做的咖啡杯，那麼你隻要把杯身一點點地往杯把的那邊擠，就可以把它連續地變成甜甜圈。在這個變換過程中，咖啡杯把手的那個洞始終沒有變，隻是變成了甜甜圈的那個洞——洞是不可能消失的。拓撲學對于像洞一樣，在連續變換下不變的量，非常感興趣。
拓撲學提供了形狀和連接性質的數學語言，它還可以用局部約束來描述整體結構。“拓撲學是絕妙的數學過濾器，”Hess講解道，拓撲可以用來檢測重建電路的結構以及連接性質，幫助人們理清各部分在大腦功能中扮演的角色。
對于如何将拓撲這個過濾器應用于重建的微型電路及其31000個節點，800萬個連接上，Hess介紹了多種方法。她與同事所采用的方法是考慮能反映原網絡顯著特征的子網絡。信息的流向在神經回路中至關重要，所以他們着重研究前饋子網絡，這是指網絡中的信息隻沿一條路徑傳遞。
從拓撲的角度來說，這種結構可以用有向單純形（Directed simplex）來表示。單純形是三角形在任意維度下的推廣：0-單純形是一個點（節點）；1-單純形是一條線（節點之間的邊）；2-單純形是我們熟悉的三角形（三個節點和三條邊）；4-單純形是四面體（四個節點和六條邊），等等。如果隻考慮邊有向的單純形，那麼一個前饋網絡就可以由一個單純形表示，而且這個單純形中，方向指向完全向外的節點（網絡的輸入端），以及指向全向内的節點（網絡的輸出端）都隻有一個。
不同維度的有向單純形丨圖片來源：Kathryn Hess
拓撲學的強大之處在于，即便隻給出局部信息（例如這些神經元的連接方式），也能告訴你網絡整體的重要特征。Hess和她的同事計算了神經元電路中每個維度中有向單純形的個數，并将其與其他可比較類型的的網絡進行了局部結構對應數量的比較。
不同維度下的單純形數量，藍色代表“藍腦計劃”的微型電路；綠色代表随機網絡；黃色代表更為一般的生物網絡。圖片來源：Kathryn Hess他們構造了一種随機網絡（圖中的綠線），從任何一組數量相近的結點開始，随機地往外連線，使網絡中邊的數量保持一定，連接每個節點的邊數也保持一定，這與神經微電路相似。在這種網絡中，有向單純形的數量非常少，而且沒有維數在4以上的單純形。他們發現，在更為一般的生物網絡中（不考慮神經元的形狀大小），也存在這種現象。
重建出的神經元微型電路中，有向單純形的數量卻比其他網絡中高得多，而且還包括高維有向單純形。Hess表示，“藍腦計劃”中的微型電路有更多（數量），該電路與随機網絡相去甚遠。”他們的研究結果表示，為了使神經元必要的傳導行為能夠協調……這些神經元必須得屬于一個更大的結構（例如這些高維單純形）。
數數有多少個洞
讓我們回到上面說的甜甜圈和咖啡杯，它們的共通之處在于都有一個洞。球面則不然，它沒有洞，所以沒辦法平滑地（指不撕開或不切割。譯者注：數學上平滑/光滑（smoothness）指的是任意階可導，而拓撲中的變換應該說連續）變換成甜甜圈，所以球面和甜甜圈從拓撲意義上來說是不同的。而物體中洞的數量——稱為虧格（genus）——是拓撲中非常重要的一個概念，因為它在平滑變換下是不變的。洞的形狀和大小有可能會變，不過數量不會。
而與此相對應的是，網絡中也有一個概念，叫作腔（cavity）。這是指多個單純形，互相的節點重合在一起，形成的一個封閉對象。比如說你可以把一個由1-單純形組成的腔（即2-腔）想象成一扇窗戶（窗戶的邊就是1-單純形），而2-單純形組成的腔（即3-腔）想象成一個房間（牆壁就是2-單純形）。
由4個1-單純形構成一扇窗戶，或稱2-腔。丨圖片來源：Nicolas Antille, EPFL 由8個2-單純形構成的一個房間，或稱3-腔。丨圖片來源：Nicolas Antille, EPFL)Hess解釋說，“網絡中的腔，是高度有序的，它們的存在揭示了網絡的結構。” Hess和她的同事們計算了“藍腦計劃”的那42個不同微型電路中，不同維度的腔的數量。計算結果表明，這項拓撲參數忠實地反映了生物學事實。
下圖展示了42個重建電路中，2-腔和3-腔的數量對比。不同顔色對應不同的大鼠（或者共用數據的平均鼠）。可以明顯看出，同一隻鼠的數據聚集在一起。對于不同鼠而言，上述拓撲參數顯然是不同的，而對于同一隻而言，又基本保持吻合。
生物樣本中拓撲參數的聚類分析丨圖片來源：:Kathryn Hess
有向單純形和腔這兩個數量參數，還可以用來分析神經網絡中傳遞的電活動的波動。如果一條邊對應的一個神經元正在觸發另一個，則我們稱這條邊是激活的。研究者們可以用有生物學意義的時間步長，對每個步長内激活的單純形和腔的數量進行計數，以此來觀察活動的變化。下面這張圖表——Hess和同事們稱其為“嗖嗖（swoosh）”——展示了活動時數據沿曲線逆時針方向移動。
“嗖嗖”圖展示了激活的3-腔（縱軸）與激活的1-腔(橫軸)的數量丨圖片來源: Kathryn Hess最新文章
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