圓面積公式是什麼？請寫出答案和詳細推導步驟

招聘面試的時候，遇到面試者說得最多的一句話就是：離開學校時間太久了，這些知識平常接觸得少，都忘記了。

筆者認為有些知識點忘記了很正常，用到的時候再去查相關資料就行了。有些知識如果不是靠死記硬背，而是真正消化理解了，可能一輩子都不會忘，哪怕有些公式和結論忘記了，思考的邏輯和方法也不會忘，這些思考的邏輯和方法才是最重要的。

學校裡學什麼？從小學到大學，要上很多課讀很多書，包括各種基礎學科、理論知識和專業知識。離開學校參加工作後，在實際工作中有些知識會經常用到，大部分知識很少會用到，不常用的很多知識就會逐漸被遺忘。有人會問，花那麼長時間，下那麼大工夫學的一些知識都用不上，豈不是浪費？其實不然，學校裡書本上學到的最重要的知識是思考問題的邏輯和方法。有些基礎知識是認識世界解決問題的原始依據，比如一些公理和定義；有些知識是前人經過實踐總結出來的經驗，比如一些定律和公式，既是結論也是更高級知識的基礎和依據。

蘋果從樹上掉落到地上是一種自然現象，沒學過物理的人，隻是覺得理所當然，不會去思考為什麼，學過相關知識的人知道是地球引力的作用。如果要進一步研究蘋果掉到地上，是蘋果被砸爛還是把地上砸出多深的一個坑，還需要用到更多的力學知識，這個時候可能要去查一些資料和計算公式了。

高等數學裡公認比較難學的微積分，如果理解了其基本的概念和用途，其推導的過程就不會忘記，一些具體的公式會忘記，可以分析推導出來，至少也知道去哪查找答案。

所以，讀書有用，真正掌握了的知識不會忘，思考的邏輯和方法最重要。

好了，回到文章題目中提出的問題。

想必大部分人都能想起來，圓的面積公式： S =πr^2。

其中：S代表圓的面積，π是圓周率，r是圓的半徑。

接下來如何推導這個公式呢？有興趣者可以先自行推導之後再往下看或者邊看邊想，建議最好在看到最後答案之前先有自己的答案，可以比較對照。為了給大家有思考和解答的時間，我們先聊一下之前發生的一些事。

一天晚上，筆者把這個題目同時交給設計部門四位年輕工程師，反應各異。

A工程師說從來沒有想過這個問題；B工程師說印象中在哪裡看過或聽别人講過，可能要用到微積分的知識；C 工程師覺得比較無聊，不屑一顧；D工程師自信心不足，反應比較冷淡。

我交待他們利用下班時間仔細思考一下，就當換換腦子，明天給出答案。

第二天，我找A工程師要答案，A說有大緻和他人讨論了一下，自己也作了一些思考，接着把他的想法解釋了一遍。

A的答案基本正确，但邏輯不是很嚴謹，存在有一些漏洞。其它幾位工程師則以各種理由沒有給出答案。

A相對比較積極，願意開動腦筋，存在的主要問題是沒有将推導步驟詳細寫下來并進行仔細推敲，導緻出現邏輯上的纰漏。其他人則可能認為與工作沒有關系，沒有引起重視。如果是面試，筆者認為A是可造之才，其它人當然也不會讓面試官引起重視。

從四個人的不同表現來看，歸納起來存在以下幾個方面的問題：

1、缺乏好奇心。

好奇心是個體遇到新奇事物或處在新的外界條件下所産生的注意、操作、提問的心理傾向。好奇心是個體學習的内在動機之一，是個體尋求知識的動力，是創造性人才的重要特征。

好奇心是認識事物最原始最本能的驅動力，小孩子天生就有很強的好奇心，初來咋到人世間，對身邊的一切都充滿了好奇，“十萬個為什麼”讓很多年輕父母很傷腦，如果在這個時期父母能夠正确應對并加以引導，保留住孩子的好奇心，對小孩今後的成長無疑會有很大的幫助。

其實人們喜歡做某些事情最初的動力也是出于好奇，很多偉大的發明開始也是源于好奇，著名科學家可以說都是極具好奇心的人。牛頓對一個蘋果産生好奇，于是發現了萬有引力；瓦特對燒水壺上冒出的蒸汽也是十分好奇，最後改良了蒸汽機；愛因斯坦從小比較孤僻喜歡玩羅盤有很強的好奇心；伽利略也是看吊燈搖晃而好奇發現了單擺。這些科學家的故事在小學課本上就出現過，隻可惜很多人記住了故事的内容，沒有領會故事的内涵。

機械設計工作是一項創造性的工作，作為機械工程師要有一顆強烈的好奇心。

記得二十年前，部門領導說要從我們所在的自動化設備開發部門派人去支援剛成立的SMT部門，當時筆者幾乎對SMT一無所知，但強烈的好奇心，主動第一個表示願意。後面的工作讓讓對SMT有了很直觀的了解和認識，不僅了解了相關的工藝制程和設備，還從這些先進設備中學到了不少的設計理念。

2、不願嘗試。

嘗試就是試着去做以前沒做過且結果不确定的事情。很多事情，嘗試一下，可能并不像你想象的那樣簡單，也并不像你想象的那麼複雜。嘗試強調的是行動，沒有行動就永遠沒有結果，做過了無論結果如何，從知識和經驗的角度來看，總是一種成長。比如我們文章描述的這個題目，看起來很簡單，但是要把整個的推導過程很嚴謹地寫出來并不是每個人都可以很快就做得到做得好。

機械設計尤其是非标設計很多項目于工程師個人來講從來沒有接觸過，盡管可以通過各種技術手段和方法進行分析預估可能存在的風險，但也會有很多意想不到的細節問題導緻結果的不确定性，需要工程師有挑戰自我的勇氣。挑戰自我、不斷嘗試是工程師獲取新知識、提升能力的必由之路。

3、實用主義。

認為有用的知識就學，沒有用的知識就不學。聽起來似乎也沒錯，問題是到底哪些知識是有用的呢？等要用到的時候再去“臨時抱佛腳”，恐怕有點來不及了。作家不會等到想好了要寫什麼再去讀古典名著讀唐詩宋詞。很多人在工作中遇到困難了，才會發現知識不夠用了，才明白“書到用時方嫌少”。

知識是否有用是相對的。企業招聘都是要求應聘者具備相關的知識和技能，所以你必須先具備了某些知識你才能應聘到相應的崗位，進入到相應崗位你所掌握的知識就有可能用得上了。很多的工作也是因為你具備了相關的知識和技能才有機會去做的，“機會是留給有準備的人的”。

十多年前，小轎車開始進入家庭但還不是很普及，很多人開始練車拿駕照，但有人總是說既買不起車也不開車，學它幹什麼？後來很多人原本沒有買車的計劃也因為拿了駕照買了車。直到十幾年後的今天小轎車很普及了，當初說學車無用的人也一直沒有去考駕照當然也沒有買車，原因不是買不起車，而是覺得買車沒有用。其實開車和不開車最大的區别是心理距離改變，不開車，10公裡的距離會覺得很遠，有了車30公裡的距離可能也覺得不算太遠，這個心理距離的改變會直接影響你的工作和生活。

富士康總裁郭台銘有句名言，“先知先覺，後知後覺，不知不覺”，是針對宏觀經濟變化、科技發展、企業發展來講存在的三類人，其實尋常百姓對周邊所發生的事情何嘗不是這樣，QQ、網購、支付寶、微信、滴滴打車，以及未來的5G的應用，科技的發展日新月異，無時無刻不在影響每一個人的工作和生活，越早接受越能體驗高科技帶來的紅利和便利。

當然也并不是說什麼知識都要毫無目的去學，畢竟人的時間和精力都是有限的，最好是結合自己的興趣愛好以及職業規劃，來制定自己的學習目标和計劃，尤其是專業類的知識一定要與自己當前的工作和未來職業規劃聯系起來。

無論從事什麼樣的工作，都需要在平時不斷地學習和積累，不僅要有專業的知識，還需要掌握很多相關的知識，所以知識的學習不能局限于專業知識，有些知識本身就是教人如何去學習和思考的，無論你從事什麼樣的工作都是有所幫助的，對于這類知識恐怕就是開卷有益多多益善了。

4、不願究根到底。

表現在對知識的學習淺嘗辄止不夠深入，不願意作深入探究，這樣不利于知識的學習，學到的知識也不牢；看問題不夠全面，隻看到表面現象，看不到問題的本質，這樣不利于問題的解決，解決也不徹底。隻有究根到底，對所學的知識有足夠深入的了解，才能融會貫通，才能由此及彼，才能使問題從根本上得到解決。

要做好一項工作一件事情必須要有目标要有結果，要有不達目的不罷休的決心。沒有這樣的決心，很多事情就容易半途而廢前功盡棄。人們常說“不到長城非好漢”，就是對這種“死磕”精神的诠釋。

做機械設計就需要有這種“死磕”的精神。設計的本質就是依據各種限制條件和有限的資源進行平衡取舍的過程，在方案設計階段不僅要面對解決技術上的各種問題，還要滿足客戶不同人的各種想法和要求，每一個人看問題的角度不同，所關注的側重點也不同，都需要工程師有“死磕”精神去面對和解決。在設計細化、調試的過程中也會遇到各種意想不到的問題，需要工程師去究根到底，找到問題的根源，才能最終解決問題。

5、好高骛遠。

對自認為簡單的事情不屑去思考和動手去做，一心想着去做“大事”，不願意在小的事情上花時間和精力，諸不知大事是由很多小事組成的，複雜的事物是由很多簡單的事物構成的。

古人說，“一屋不掃何以掃天下”， 意思是說做人做事要腳踏實地，一步一個腳印，不能好高骛遠，眼高手低，光說不練。做很多事情是從最基礎的事情做起的，所謂“萬丈高樓平地起”。

複雜的機器也是由很多簡單的零件和部件組成的，機器最終的性能取決于各零部件的性能，很多項目的失敗往往出在很多小的細節上，所謂“魔鬼出在細節裡”。

評價一個設計好不好，是在滿足功能的前提下結構越簡單越好，而不是越複雜越好。簡單的結構實現複雜的功能才更體現工程師的實力，所以工程師要腳踏實地，從簡單的事情做起，把簡單的事情做得“不簡單”（不是複雜化，而是要下功夫才能做到），注重知識和經驗的積累。

6、思維邏輯不嚴謹。

嚴謹的思維邏輯是把事情做好的先決條件。做任何事情都需要有好的邏輯和方法，否則就會漏洞百出。

邏輯思維能力是指正确、合理思考的能力。即對事物進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的能力，采用科學的邏輯方法，準确而有條理地表達自己思維過程的能力。它與形象思維能力截然不同。邏輯思維能力不僅是學好數學必須具備的能力，也是學好其他學科，處理日常生活問題所必須的能力。數學是用數量關系（包括空間形式）反映客觀世界的一門學科，邏輯性很強、很嚴密。

邏輯思考能力的培養首先是平時養成習慣，注重邏輯思考能力的培養，還要掌握一定的方法。

本文所出的題就是涉及初中所學的内容，主要就是檢驗工程師的邏輯推理能力。

提到初中數學，很多人會馬上蹦出一句話來，“代數代數，撕了再做，幾何幾何想破腦殼”，聽老師講的時候不覺得有多難，但往往一做就不會，對于稍複雜的題目更是無從下手。幾何證明成為教學中的一個難點，也是學生成績提高的一大障礙。

要證明一個命題的正确時，先從已知的條件出發，通過一系列已确立的命題（如定義、定理等），逐步向前推演，最後推得要證明的結果，這種思維方法，叫做綜合法。可簡單地概括為：“由因導果”，即“由原因去推導結果”。

要證明一個命題正确，為了尋找正确的證題方法或途徑，可以先設想它的結論是正确的，然後追究它成立的原因，再就這些原因分别研究，看它們的成立又各需具備什麼條件，如此逐步往上逆求，直至達到已知的事實，這樣思維方法，就叫做分析法。可簡單地概括為：“執果索因”。即“拿着結果去尋找原因”。

分析法的特點是從要證明的結論開始一步步地尋求其成立的條件，直至尋求到已知條件上。綜合法的特點是從已知條件開始推演，一步步地推導結果，最後推出要證明的結果。證幾何題時，在思索上，分析法優于綜合法，在表達上分析法不如綜合法。分析法利于思考，綜合法宜于表述，在解決問題中，最好合并使用。對于一個新問題，我們一般先用分析法尋求解決，然後用綜合法有條理地表述出來。

以上的方法是不是很熟悉，是不是我們在設計和解決問題的過程中經常要用到的，這就是我們所說的邏輯思考方法。

邏輯思維能力和空間想象能力是從事機械設計工作必須具備的基本技能。根據客戶需求拟定功能設計要求，再将功能進行分解，設計相應的部件和零件。很多設計做出來以後并不覺得有多難和多新奇，但是從無到有是一個很複雜的過程，需要工程師要有很強的綜合能力，其中很重要的能力就是邏輯思維能力。思考邏輯不足或不嚴謹會給設計帶來很大的困難，造成極大的風險。

7、封閉型（抗拒性）思維。

不管别人的建議、要求、觀點是否正确合理，首先表現出來的是抵觸的情緒和抗拒的态度，不等别人把話說完就先怼了回去再說，是一種典型的抗拒性思維。有這種思維的人往往固執己見，自我封閉，不太容易接受别人的觀點，很難接受和獲取新的知識，不太容易從别人身上獲得幫助。

思維方式是看待事物的角度、方式和方法，它對人們的言行起決定性作用。不同的思維方式決定着不同的言論和行動，成就不同的人生。

抗拒性思維的特點就是别人說什麼，他都說“NO”。一個人如果拒絕接收信息，就可以找出各種理由來說“NO”。抗拒性思維是把事物彼此割裂開來、孤立起來、封閉起來，使思維具有保守性、被動性和消極性的形而上學思維。

與之相反的是開放性思維。所謂開放性思維，是指突破傳統思維定勢和狹隘眼界，多視角、全方位看問題的思維；開放性思維本質上具有反教條和實事求是的特征。具備了開放性的思維方式，就能夠不斷地有所發現、有所發明、有所創造、有所前進。

開放性思維要求我們在認識事物的過程中，突破傳統的狹隘觀點，摒棄規規矩矩的簡單繼承手段，以一種開放、包容的态度接觸和認識事物，從而力圖有所創造，這點對于個人的成長和社會的進步都是十分重要的。

保持開放性思維，因為你會發現原來的世界就像“坐井觀天”故事裡的那口井，一直以為那就是世界的全部。而當你走出來，或者說擁有“開放性思維”，你會發現，世界是那麼的精彩斑斓，遠比那口井要大太多！

機械設計是一項創造性工作，需要工程師具有開放性思維和開放的态度。尤其是在科技發展日新月異的今天，更加需要以開放性的思維去接受撲面而來的新觀念、新技術，去學習和掌握更多的新知識和技能。機械設計經常需要腦力激蕩，融合多人的想法，依靠團隊的集體智慧才能有更好的創意，找到最佳的方案。不僅如此，工程師還要以開發的态度主動與他人交流，去請教有經驗的的設計工程師、現場裝配的工程師，還包括現場的使用者、零件供應商，在解決問題的同時學到更多新的知識。

孔子說“三人行必有我師”，從字面上的理解就是，三個人在一起，其中必定有人在某個方面是值得我學習的，那他就可當我的老師，當然，這裡的“三”應該作為虛數，泛指多人。孔子深層的意思是說，學無止境，不管一個人的學問多大，總有你不擅長的地方，不應該因為某一方面比别人強就驕傲自滿，要具有虛心向别人學習的态度，

俗話說“天外有天，人外有人”， 自己的才華能力再高，在這世上也有比自己更有才華的人。這句的意思是告訴人們：強中更有強中手，一山還比一山高。

8、沒有好的做事方法。

很多人做事，效率低下，問題多，丢三落四，顧此失彼，其實是沒有找到好的做事方法和習慣。

好的做事和學習方法是把工作完成好和自我提升的必由之路。做任何事情都要講求方法，做機械設計更需要講方法。

比如說養成記錄的習慣就是一個好的方法。設計中有什麼問題不一定馬上解決，但必須先記錄下來；現場發生的什麼問題，怎麼解決的要記錄下來；與客戶溝通，溝通的内容包括客戶提出的問題要詳細記錄下來；有了好的設計靈感了也要馬上記錄下來；記錄下來的目的是防止遺漏、遺忘，便于歸納總結。

具體關于機械設計的方法不是本文的重點，可關注機械設計輕松學公衆号查閱學習。

9、缺乏學習的主動性

學習有主動學習和被動學習之分。在學校裡有的學生是有自己的目标和規劃，除了完成正常的學業外，還能主動學習課外知識和其他相關專業的課程。有的學生則是除了上課應付老師布置的作業，其它時間則是“享受學生時代的美好時光”。工作後的主動學習者，有自己的職業規劃和清晰的目标，提前補足自己的短闆，等到要用的時候駕輕就熟。

工作後學習與在學習裡學習有很大的區别。工作後的學習更強調學習自覺性。最顯著的特征是在學校裡學習是要繳費的，而在工作中學習是拿工資的。學習裡是按照教學大綱的安排，老師照本宣科去授課，學生按部就班來學習。工作中的學習則是在承擔任務的過程中，遇到問題要解決，随時需要用到新的知識，具有很強的随機性，必須具備較強的學習能力和領悟能力。

以上問題并非上綱上線，隻是借此來說明工程師比較普遍存在的一些問題。

在看到答案之前，我們還探讨一個問題，作為對前面問題的補充說明。華為、阿裡巴巴等高科技企業為什麼隻招211、985等名校的學生？一般來說，剛參加工作的學生，實際工作經驗基本上都為零，即使參加過工廠實習和社會實踐，哪怕跟着導師做過一些題，所積累的工作經驗微乎其微。準确答案無從得知，個人的觀點是看重學生的以下一些特質：

1、理論基礎知識比較紮實。對自己所掌握的知識有比較清晰的認知，會就是會不會就是不會。

2、思維活躍，有較強的接受能力和領悟能力。

3、有較強的自我控能力，有較好的學習态度，學習主動，勤學好問，努力刻苦。

4、自學能力強，有較好的學習方法。善于對知識的梳理歸納和總結，有明确的學習目标和規劃。

5、善于獨立思考，邏輯思維能力強。

6、有較強的自信心、上進心和不服輸的精神。

7、有自己的理想和追求，對自己有較高的要求。

無論從事什麼樣的工作，從選才的角度來講具備以上特質都是受歡迎的，如果不考慮成本的話換了任何一個企業都會做出這樣選擇。

當然并不一定是說所有重點名校的學生都具備以上一些特點，而其他大學的學生都不具備。我認為這些公司是從大概率的角度來看問題，公司有了吸引了又不差錢當然是優中選優了。

一般學校畢業的學生也不必氣餒，知道了企業需要什麼樣的人才，知道了要成為人才需要具備什麼樣的特質，就可以朝這個方向去努力。無論你在什麼樣的公司，處于什麼樣的崗位，隻要保持一顆學習的心、進取的心就一定能把自己的才能發揮出來，俗話說“是金子總會發光的”。

好了，下面開始答題。首先聲明，答案并非唯一，（網絡上有另外一種方法姑且稱之為切分拼湊法）本人認為解決同樣的問題用到的知識越基礎越好，用到的方法越簡單越好。所以這裡主要用到初中知識和常規方法，有興趣者可以用更多其他方法，盡量詳細嚴謹。

回顧一下，圓的面積公式： S =πr^2

其中：S代表圓的面積，π圓周率，r是圓的半徑。

先來了解什麼是面積？

百度詞條裡的定義：面積是表示平面中二維圖形或形狀或平面層的程度的數量。我的理解是：平面内某一确定範圍内包含單位形狀大小的數量，如以毫米為單位，則是平面内某一确定範圍内包含長寬為1毫米正方形大小數量，面積以平方毫米為單位。以米、公裡等其它長度為單位依次類推。

我們來看看長方形的面積。假定長度a=6，寬度b=5，該長方形的面積S=a*b=6*5=30。從圖１中可以看出長方形内小正方形的數量就是30。

我們再來看看三角形的面積。底邊a=6，高b=5，我們将三角形補正為長方形，如圖2，該三角形的面積,：S=a*b/2=6*5/2=15。

好了，我們記住三角形的面積公式：S=a*b/2。可記成：底乘以高除以2。

π為圓周率，是圓周長與直徑的比值，即π=L/D，其中：L為圓的周長，D為圓的直徑。

無論圓的大小如何變化，π始終是一個固定值，我們可以理解為是圓的一個特性。

将公式轉換：L=π*D=2πr 其中：r為圓的半徑。

畫一個圓，然後以過中心的線段将圓分别切分成12等分，如圖3，圓的面積等于切分後這些小的扇形面積之和，這個結論總是成立，與将圓切分多少等分沒關系。

扇形面積我們不知道，但前面我們已經知道三角形的面積公式。

如圖4，三角形OAB的面積與扇形OAB面積相差一個弓形的面積，如圖5所示陰影部分。如果陰影面積越小，三角形的面積與扇形的面積相差越小。

如圖6，以過中心的線将圓分别切分成12、36、90等分。切分的的等分越多，A、B兩點之間的距離越小。當切分的等分數多到一定程度時，三角形面積與扇形的面積很接近，我們就可以用三角形OAB面積來代替扇形OAB的面積。

切分的等分數用n來表示。

如圖5所示，

三角形面積：SOAB =│AB│*│OC│/2

則圓的面積：S≈SΔOAB *n=│AB│* │OC│/2*n （1）

當圓被切分無限多等分時，也就是n趨于無窮大，則：

（1）A、B兩點之間的距離趨近于零（但不等于零），那麼A、B兩點間的距離（弦長）與弧長幾乎相等。将每一個小三角形QAB中A、B兩點之間的距離全部相加就是圓的周長，即 L=│AB│*n=2πr （2）

（2）OC與OA 相等，即：│OD│=│OA│=r （3）

将（2）、（3）式分别代入（1）式

圓的面積S=│AB│*│OC│/2*n=(│AB│*n)*│OC│/2= L*r=2πr*r/2=πr^2 （4）

至此，推導完成。

這個題目很簡單，寫出答案并不難，主要是考察答題者的思考邏輯和做事的态度和方法，是否能做到思路正确，邏輯嚴謹。将推導過程詳細寫下來的好處，一是可以反複推敲，避免漏洞，使過程更清晰完整；二是考察表述能力，完整寫出來比想和說更有難度，所謂“做到比光說不練難”。

本文目的不是給讀者上一堂初中數學課，筆者想借此表達如下觀點：

1、在學校裡所學的知識，如果真正融會貫通了，一般不會忘記；

2、思考邏輯和方法是學校學習的重點，無論從事什麼樣的工作都會有用。

3、分享一種做事的方法和做事的态度。

說明：本文首發于同名公衆号《機械工程文萃》，轉載時有少量修改。

後記：時隔一段時間再讀原來寫的文章，發現文章中一些文字表述方面的問題，正如筆者看别人寫的文章，越細讀越斟酌覺得問題越多。其實我們寫文章也好做機械設計也好都有類似的現象。

文章發布出來一是分享自己的一些觀點，二是抛磚引玉，歡迎讀者留言讨論，賜教斧正。

筆者在網絡上看到有另外一種推導圓面積公式的方法，姑且稱之為切分拼湊法，讀者可自行百度搜索學習。