小學奧數每日一題020 - 卡拉數學
題目：在一個4行4列的方格中，放入8顆相同的棋子，使每一行每一列都有2顆棋子。共有多少種不同的方法？
這道題屬于排列組合問題，學通這道排列組合題，到高考都夠用了
如果你想思考一下，可以暫停滾屏，思考1分鐘後，再繼續。
思路分析：
基礎知識就是加法與乘法原理，隻需要牢牢記住兩條：分步驟完成用乘法，分情況讨論用加法。
先排列第一行的棋子，再讨論第二行棋子的不同種類，然後計算每種情況下的排列方法數，最後綜合利用加法與乘法原理。
步驟1：
先思考第一個問題，如果第一行的2顆棋子已經排列好，第2行與第1行的棋子所在列有哪幾種關系？
這個問題比較簡單，每行都是2個棋子，因此這兩行棋子所在列的關系可分為3類：
第一類是兩行棋子所在列相同；
第二類是隻有1個棋子所在列相同；
第三類是所有棋子所在列都不同。
下面将對這3種情況分别讨論。
步驟2：
再思考第二個問題，在第一行的2顆棋子已排列好時，如果前兩行棋子所在列相同，後三行的棋子有多少種不同的排法？
考慮每列中的棋子數，第二行的棋子排法已經固定，此時已經有2列中有2個棋子，由于每列都隻有2個棋子，對第三行和第四行中的2個棋子來說，都隻能在剩餘2列中，因此後三行中的棋子有1種排法。
步驟3：
再思考第三個問題，在第一行的2顆棋子已排列好時，如果前兩行隻有1個棋子所在列相同，剩餘三行棋子有多少種不同的排法？
先排第二行的兩顆棋子，與第一行相同的那顆棋子有2種排法，與第一行不同的那顆棋子也有2種排法，故第二行的棋子有2*2=4種排法；
再排第三行的兩顆棋子，此時還剩餘1列沒有排任何棋子，故第三行的棋子一定有1顆在該列，已經還剩2列各有1顆棋子，第三行的另一顆棋子可以任選1列排，故第三行的棋子有1*2=2種排法；
最後排第四行的兩顆棋子，此時剩兩列都是各有1顆棋子，故第四行的棋子有1種排法。
根據乘法原理可得這種情況下，後三行中的棋子的排法總數是4*2*1=8種。
步驟4：
再思考第四個問題，在第一行的2顆棋子已排列好時，如果前兩行所有棋子所在列都不同，剩餘三行棋子有多少種不同的排法？
先排第二行的兩顆棋子，隻能排在剩餘的2列中，故第二行的棋子隻有1種排法；
再排第三行的兩顆棋子，可以在4列中任選2列，故第三行的棋子有4*3/2=6種排法；
最後排第四行的兩顆棋子，此時剩兩列都是各有1顆棋子，故第四行的棋子有1種排法。
根據乘法原理可得這種情況下，後三行中的棋子的排法總數是1*6*1=6種。
步驟5：
綜合上述幾個問題，考慮原題目的答案。
把所有8顆棋子的排列分兩步：
先排第一行的2顆棋子，有4*3/2=6種排法；
再排後三行的棋子，有3種不同的情況，分别對應着步驟2、3、4，
根據加法原理，後三行的排法數為1+8+6=15種。
注意到上述兩步是分步驟的，應用乘法原理，所以不同的排法數是6*15=90種。
你學會了嗎？
有興趣的讀者可以考慮自行練習下面的擴展題
思考題：把5個相同的小球放進3個不同的口袋，每個口袋中至少放1個小球，有多少種不同的方法？
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