小學奧數每日一題008 - 卡拉數學
題目：小明、小紅、小李3人進行圍棋比賽，每一輪比賽都是3個人兩兩都比賽一次，每一輪比賽都決出第1、2、3名，第一名得a分，第二名得b分，第三名得c分，其中a,b,c都是正整數且依次遞減。若幹輪比賽過後，小明得分22，小紅得分9，小李得分也是9。小紅在第2輪比賽中得到了第一名。問：第1輪比賽中，誰是第二名？
這道題屬于綜合應用題，突破點在于每一輪比賽總得分不變，全部人的總得分是比賽輪數的整數倍，因此可以通過分解因數确定比賽輪數。
如果你想思考一下，可以暫停滾屏，思考1分鐘後，再繼續。
思路分析：
先确定比賽的輪數，再考慮每個人的得分情況。
步驟1：
先考慮第一個問題，共比賽了多少輪？
3個人的總得分是22+9+9=40。
由于a,b,c都是正整數且a>b>c，故每一輪得分a+b+c不小于6，注意到6*7=42>40，
則比賽輪數不大于7，題目中又告訴比賽輪數不少于2。
由于40=2*20=4*10=5*8，則比賽輪數隻可能是2、4或5，
對此分别進行讨論：
第一種情況，如果隻比賽2輪，
由于小紅得到過第一名，則第一名得分a一定小于9，此時小明兩輪比賽得分不大于18，這與小明得分是22矛盾，故不可能隻比賽2輪；
第二種情況，如果比賽了4輪，小明的平均得分是22/4=5.5，故小明至少有1次得分不小于6，則第一名得分不小于6，由于小紅得到過第一名，而小紅得分9隻能分解為6+1+1+1，則c=1,a=6,由a+b+c=10得b=3，此時4輪比賽中小明最多得3次第一，則小明得分不大于6*3+3=21，這與小明得分是22矛盾，故不可能比賽4輪；
隻剩第三種情況了，這種情況将在步驟2中詳細分析，因此共比賽了5輪。
步驟2：
再考慮第二個問題，考慮原題目的答案。
在步驟1的基礎上繼續思考，在共比賽5輪的情況下，小明的平均得分是22/5=4.4，故小明至少有1次得分不小于5，則第一名得分不小于5。
小紅得分9隻能分解為5+1+1+1+1，故第一名得分a=5,第三名得分c=1,由a+b+c=8可得第二名得分b=2。
則小明得分隻可能是22=5+5+5+5+2，故小明得到了4次第一和1次第二，由于小紅得了第2輪的第一名，故第1、3、4、5輪比賽小明第一，第2輪比賽小紅第一小明第二，則小李第2輪比賽是第三。
由于小紅得了4次第三，故第1、3、4、5輪比賽小紅第三，則第1、3、4、5輪比賽小李第二。所以第一輪比賽中小李第二。
你學會了嗎？
有興趣的讀者可以考慮自行練習下面的擴展題
思考題：小明假期旅行到一個奇怪的小島，島上生活着兩種人，一種是騙子，一種是老實人，騙子永遠說假話，老實人永遠說真話。小明遇見甲乙丙3人。小明翻譯了3個人說的話。
甲說：乙是騙子。
乙說：丙是騙子。
丙說：甲是騙子。
請問小明翻譯的正确嗎？
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