求最大的實數
,使得對于任意,都存在一個複數滿足,并且是如下方程的根: 分析本題涉及韋達定理以及均值不等式。其中,三次方程的韋達定理可以描述為:方程
的三個複根滿足下列三個式子其中 在這個基礎上,借用均值不等式即可逼出滿足題意的的最大值。下面給出本題的解答。
解答由于對稱性,不妨設
,否則可以對換,,而原方程保持不變。我們考察方程的複根。
首先,我們斷言上述方程必然有虛根,假設不然,則我們設它的三個實根為
,其中由韋達定理知:而由均值不等式,
從而
,即,這與相矛盾,從而上述方程必然有虛根。設其三個根為,其中我們記,則由韋達定理知:假設
,則由上面三個式子可知,而由均值不等式,,,可得即
,矛盾。從而,即,這意味着上述方程必然有一個根滿足,進而是滿足題意的一個值,由的最大性可知另一方面,令
,此時觀察這幾個根可知,綜上, 點評本題的一個關鍵在于觀察到對換
,不會改變題目中的方程,從而不妨添加一個條件,而這個條件也是為了配合均值不等式的使用。本題難度偏大,需要一些觀察和一些運氣,耗費的時間較長。
有話要說...