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2021年中國數學奧林匹克競賽(CMO)第二題詳解

引言 問題

求最大的實數

,使得對于任意

,都存在一個複數

滿足

,并且

是如下方程的根:

分析

本題涉及韋達定理以及均值不等式。其中,三次方程的韋達定理可以描述為:方程

的三個複根

滿足下列三個式子

其中 在這個基礎上,借用均值不等式即可逼出滿足題意的的最大值。下面給出本題的解答。

解答

由于對稱性,不妨設

,否則可以對換

,而原方程保持不變。我們考察方程

的複根。

首先,我們斷言上述方程必然有虛根,假設不然,則我們設它的三個實根為

,其中

由韋達定理知:

而由均值不等式,

從而

,即

,這與

相矛盾,從而上述方程必然有虛根。設其三個根為

,其中

我們記

,則由韋達定理知:

假設

,則由上面三個式子可知

,而由均值不等式,

,可得

,矛盾。從而

,即

,這意味着上述方程必然有一個根滿足

,進而

是滿足題意的一個值,由

的最大性可知

另一方面,令

,此時

觀察這幾個根可知

,綜上,

點評

本題的一個關鍵在于觀察到對換

不會改變題目中的方程,從而不妨添加一個條件

,而這個條件也是為了配合均值不等式的使用。本題難度偏大,需要一些觀察和一些運氣,耗費的時間較長。

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