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初中數學|經典幾何問題：相似模型（上）

初中數學往期模型


相似模型

模型1.A、8模型

如圖，已知：∠1=∠2

結論：△ADE∽△ABC。

分析：如圖，在相似三角形的判定中，我們經常通過作平行線，從而得出A型或8型相似，在做題時，需要注意由平行線所産生的相似三角形。

例子：如圖，在△ABC中，中線AF、BD、CE相交于點O。求證：

證明：

方法一：

聯結DE,∵D、E是中點，

∴DE∥BC， DE/BC=1/2。

∴△EOD∽△BOC(8字模型)。

∴OE/OC=OD/OB=1/2。

同理，

∴OE/OC=OD/OB=OF/OA=1/2。

方法二：

過點F作FG∥AC交BD于G。

∵F是中點，

∴GF/CD=1/2, GF∥AD。

∵AD=DC,∴GF/AD=1/2,

∵GF∥AD,

∴△GOF∽△AOD(8字模型)。

∴GF/AD=OF/OA=1/2。

同理，

∴OE/OC=OD/OB=OF/OA=1/2。

思考：如圖，在△ABC中，中線BD、CE相交于點O，連接AO并延長，交BC于點F。

求證：點F是BC的中點。

提示：聯結DE交AF于G

分别考慮

△AEG∽△ABF,

△ADG∽△ACF,

△EOG∽△COF,

△DOG∽△BOF。

思考：在△ABC中，AD是角平分線，

求證：AB/AC=BD/DC。

提示：

作BG∥AC, 交AD延長線與G，

∴△ADC∽△GDB(8字模型)。

易證△ABG是等腰三角形。

模型2.共邊共角型

已知：∠1=∠2

結論：△ACD∽△ABC。

分析：要熟記模型的結論，模型中由△ACD∽△ABC，可得AC·AC=AD·AB。

思考：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC-90°，AD⊥BC于D。

求證：(1)AD·AD=BD·DC。

(2)AC·AC=DC·BC。

提示：△ADB∽△CDA,

△CAB∽△CDA。

思考：已知△AMN是等邊三角形，∠BAC=120°。

求證：(1)AB·AB=BM·BC。

(2)△AMB∽△ANC。

(3)MN·MN=BM·NC。

提示：∠BAM=∠C。

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