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張益唐的成功,标志着“純數學”不再僅僅是“年輕人的遊戲”

2013年,張益唐證明了孿生素數間隙上的第一個有限界,立即成為世界上在世的最著名的數學家之一。

生平簡介

  • 張益唐沒有接受過正規的高中教育,隻能自學數學。

  • 在美國獲得博士學位後,他很難找到一個學術職位,不得不打零工養活自己,有時甚至住在他的車裡。

  • 當他取得第一個數論突破時,他已經58歲了,盡管純數學是“年輕人的遊戲”。

下面的圖表顯示了許多傑出數學家做出開創性貢獻的年齡。你可以看到,在58歲的時候,張已經在分布的尾部。如今67歲的他更是一個異類!

張益唐的朗道-西格爾零點猜想

與純數學的任何結果一樣,它都建立在基礎理論的實質性基礎上,而世界上隻有少數人真正理解這些理論(我顯然不是其中之一,差得太遠)。

但在高水平上,這是一個關于朗道-西格爾零點的陳述,這是廣義黎曼假設的潛在反例。

黎曼假設是數學中最著名的未解問題之一。黎曼假設是一個關于黎曼ζ函數的猜想,它猜想黎曼ζ函數的每一個非平凡零點的實部都等于1/2。關于黎曼猜想的詳細内容請閱讀:

  • 黎曼ζ函數

廣義黎曼假設是關于狄利克雷L函數的,它是狄利克雷在1837年發明的,作為他證明以下猜想的一部分:對于任意兩個正素整數a和d,在等差數列t(n) = a + nd中有無限多個素數。

狄利克雷L函數和黎曼Zeta函數之間的密切關系可以通過比較上面的級數定義和下面的級數定義看出:

  • 狄利克雷L函數

廣義黎曼假設說,與黎曼ζ函數類似,狄利克雷L函數的非平凡零的實部也等于1/2。

現在來看朗道-西格爾零點:它們是狄利克雷L函數的假設實零點,非常接近于1。

因為普遍認為廣義黎曼假設是正确的,所以人們也認為西格爾零點不存在。西格爾零點的不存在在與數論密切相關的學科中有很大的影響,西格爾零點不存在的猜想常常作為廣義黎曼假設的一個較弱的替代。

西格爾零點和孿生素數猜想之間還有一種令人着迷的關系,孿生素數猜想是1983年由英國數學家羅傑·希思-布朗發現的:

以下至少有一項是正确的:

  1. 不存在西格爾零點;

  2. 有無限多個孿生質數;

張益唐的同事、數論專家Jeffrey Stopple在2015年的一次采訪中表示,張益唐不太可能解決朗道-西格爾定理:

在某種意義上,這就像一個人被閃電擊中兩次一樣。——Jeffrey Stopple

張益唐并沒有聲稱已經完全證明西格爾零不存在。但他對任何可能的0到1的距離設定了足夠大的界限,為數論中的幾個相關結果提供了基礎:

  • 一個具體的結果是,它将把高斯和歐拉的最後一個開放問題減少到有限的計算量,即二元二次型的判别式的分類。

  • 它對等差數列素數定理的誤差項也有重要的意義。

你可能已經注意到,張益唐給出的界限中的指數恰好包含了2022,這是一個驚人的巧合嗎?

值得一提的是,在2007年,張益唐試圖對朗道-西格爾零點進行類似的證明。

這一證據被發現存在一個缺陷,而張益唐聲稱在最近的論文中已經解決了這個缺陷。

2007年的論文有54頁。2022年的論文有111頁。因此,一些數論領域的世界頂級專家可能需要花費數周甚至數月的時間來進行同行評審。

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