行列式的本質是解決什麼問題？現實本質是什麼？
本文較為硬核，請酌情跳過部分内容。
如果你真想知道行列式（以及矩陣）究竟是在說什麼，我建議你看完全文。
行列式的本質其實很直觀，先說一下結論，行列式的本質是體積。
至于是什麼的體積？
請往下看。
從線性空間談起
對一些讀者來說，理解行列式的意義需要重塑對線性代數的整體認知，所以我要先介紹一下線性代數的“正确打開方式”。
大部分線性代數教材都把線性方程組放在第一位，但我認為線性代數應該從線性空間講起。
線性空間也叫向量空間，之前學過線性代數的人可能會覺得這是個非常複雜的概念，但其實線性空間很簡單，最典型的線性空間就是我們熟悉的三維空間。
或許我應該從更簡單的一維空間談起，它也是一種線性空間。
一條直線其實就是一個一維空間，直線上有無窮多個點，或者說直線是由無窮多個點組成的。
類推下去，二維空間、三維空間、更高維的線性空間也都是由無窮多個點組成的，或者說：線性空間是點的集合。
一些讀者可能會反駁道：
線性空間明明是滿足8條運算定律的向量的集合，怎麼能說成是點的集合？
這其實就涉及到我們對向量的理解了，什麼是向量？
是有大小和方向的量嗎？
不是，尤其是在線性代數中，一定要注意：向量是滿足8條運算定律的量，它不需要有方向，也不需要有大小。
點，就是最直觀的例子。沒錯，點也是向量。其實這很好理解，當我們用坐标去表示點或向量（暫且看成有大小和方向的量）的時候，用的方法是一樣的。
對于向量這個概念，重要的不是它究竟是什麼，而是它滿足的運算定律是什麼，也就是前文提到的8條運算定律：
這8條運算定律其實都很簡單，就是我們熟知的那種有大小和方向的量的運算定律。
隻要滿足這8條運算定律，那就是向量。這會導緻函數也是一種向量，引出非常豐富的内容，在本文中就不多提了。
“基”與“坐标”
雖然向量不是有大小和方向的量，但是“有大小和方向的箭頭”的圖景可以幫助我們理解向量的性質，所以我們可以暫時把下文中的向量看成是“有大小和方向的箭頭”。
接下來就是重頭戲了，我們需要知道如何描述向量。很多人都知道可以用一組坐标去描述向量，就像下面這樣：
但是，僅僅靠坐标還不足以描述向量，因為坐标系有很多種，一組坐标在不同的坐标系中表示的向量是不同的，就像下面這樣：
所以，在我們用一組坐标表示向量的時候，一定要知道使用的是什麼坐标系。在線性代數中，用“基”表示坐标系，“基”其實也是向量，可以稱為基向量。
理解基向量需要重新認識坐标系，我們通常對向量的坐标表示的看法是：
- 把一個向量沿坐标軸方向分解，或者是把一個向量投影到坐标軸上，向量在坐标軸上的投影的長度就是坐标。
現在我們要放棄上面這種看法，轉而用基向量去重新理解坐标，每一種坐标系都有特定的基向量。
向量的坐标表示其實是：
- 把一個向量表示成基向量的線性組合。
- 所謂的“線性組合”其實就是乘以一個常數（向量的數乘）以後再相加（向量的加法）。
這種方法其實就是把基向量伸縮以後再首尾相連，“伸縮”就是向量的數乘，“首尾相連”就是向量的加法，伸縮的系數就是坐标。
也就是說，完整描述一個向量需要“基向量”和“坐标”，這二者缺一不可。很多人對于向量的印象僅僅隻是“坐标”，而忽略了“基向量”，這正是理解行列式的一個障礙，所以我一定要事先強調“基向量”的重要性。
在這裡就會出現一個很少有人明确告訴初學者的規則，基向量也是向量，描述基向量也需要“基向量”和“坐标”。這時就會出現“無限套娃”的情況（基向量一層一層套下去），為了防止這種“無限套娃”，線性代數默認：
- 描述基向量的基向量是直角坐标系的基向量。
這可能有點繞，不過我相信大家都能理解它。
也就是說線性代數有一個默認的“背景”，這個“背景”是直角坐标系，在這個“背景”中構建出基向量，再用基向量的線性組合去表示一般的向量。
這是理解行列式必不可少的一環，我必須提前說清楚。
“基變換”與“坐标變換”
- 不同的坐标系有不同的基向量.
- 同一個向量在不同坐标系中有不同的坐标。
上文的關鍵内容其實就是這兩句話。
變換是連接不同坐标系的橋梁，也就是把一個坐标系變換到另一個坐标系。這種變換包括兩部分：
- 基變換
- 坐标變換
我們可以用一個簡單的旋轉變換看出它們之間的關系：
也就是說：基變換和坐标變換是反着的，專業一點的說法是它們互為逆變換。
上面的例子其實是線性變換，也是線性代數中讨論的變換。之所以說稱其為“線性變換”是因為：
- 新的基向量是舊的基向量的線性組合。
- 新的坐标是舊的坐标的線性組合。
到了這一步，才算是碰到了理解行列式的門檻。
矩陣的意義
矩陣和行列式很像，事實上行列式就是對矩陣進行一套運算之後的結果，所以在理解行列式之前需要先了解矩陣。
上面的旋轉變換還可以寫成這種形式：
也就是說，矩陣其實就是線性變換的一種表現形式。
不過僅僅對矩陣理解到這個程度還不夠，根本不足以進一步理解行列式，想要加深理解就需要先運用一下矩陣，比如用矩陣表示“基變換”和“坐标變換”：
讓我們把重點放在“基變換”上面，“基變換”其實就是把新的基向量表示成舊的基向量的線性組合。相應的，矩陣中每一列的元素都是一個新的基向量的坐标。
這也就是說，矩陣也是一組向量的坐标，更準确地說是：一組基向量在另一組基向量中的坐标。
“線性變換”和“一組向量的坐标”其實是一回事，它們都是矩陣的意義。
（确實也可以簡單地說：矩陣就是一組向量。這可能是一個顯而易見的結果，不過簡單地觀察矩陣與向量的形式得到這個結論，和經過“基變換”得到這個結論相比，對結論的理解可遠遠不在一個檔次上。）
行列式的意義
現在，終于可以正式談論行列式的意義了。
前面說過：
- 行列式就是對矩陣進行一套運算之後的結果。
- 矩陣是一組基向量在另一組基向量中的坐标。
将它們綜合之後，大家就可以理解行列式的意義了。
行列式是一組基向量構成的圖形的“體積”，行列式的計算方法就是計算“體積”的方法。
基向量構成圖形的方法其實很簡單，兩個基向量構成的圖形就是平行四邊形，三個基向量構成的圖形就是平行六面體。
之所以統一用“體積”這個詞，而不用“面積”這個詞，是因為線性代數研究的向量是任意的n維空間中的向量，基向量構成的圖形也是任意的n維空間中的圖形，所以用“體積”這個詞更合适。
考慮到基向量是“單位向量”，所以行列式表示的“體積”也是“單位體積”，或者說是“體積元”。
（當然，這裡說的“體積”和我們熟悉的那個體積還是有些不同的，因為這裡說的“體積”是有方向的，這和行列式的計算方法有關。至于計算行列式的方法到底是怎麼來的，這就有些麻煩了，本文就不介紹了。）
行列式的用處
知道了行列式是體積元，其實就已經可以想到很多用處了。由于筆者隻對物理學有所了解，所以想到的用處基本上都在物理學裡，比如廣義相對論裡面會經常用到體積元。歡迎大家在評論區裡補充其它用處。
在線性代數裡面，行列式通常是用于判斷一個矩陣是否有逆矩陣。如果一個矩陣的行列式等于0，就說明這個矩陣沒有逆矩陣。
逆矩陣很好理解，在前面提到的旋轉變換裡面，表示順時針旋轉的矩陣的逆矩陣就是表示逆時針旋轉的矩陣。
一個矩陣存在逆矩陣其實就是說：矩陣表示的線性變換是可逆的，也就是在變換之後，還可以用逆變換變回原樣。
至于這和體積有什麼關系？
依然可以用基向量理解，線性變換是聯系兩組基向量的橋梁，一個線性變換（“基變換”）存在逆變換其實就是說：兩組基向量都可以表示成對方的線性組合。
理解這些内容隻需要看一張圖片：
如果一組基向量在線性變換之後發生了“降維”，那麼新的基向量就無法表示更“高維”的原本的基向量，這就說明這個線性變換沒有與之對應的逆變換。
最新文章
-
威士忌高階關于 OB 與 IB，一次給你說透！
6分鐘前 -
非常時期，工具準備清單及使用說明丨硬核生存指南
24分鐘前 -
把彩虹染到你頭發上 到底是美爆了還是土得掉渣
41分鐘前 -
嘉陵江和長江，如何切割川東平行嶺谷
59分鐘前 -
精辟！聰明的人從不說這4句話，六十歲後千萬别再說了！
1小時前 -
實體門店私域引流的10種玩法攻略
1小時前 -
幽默笑話：小故事幾則
1小時前 -
原來一個好故事都被這個公式拿捏住了
2小時前
熱門文章
-
每日一誦傷寒論第241條
1周前 -
老張老李侃門球之140篇
2天前 -
診餘雜記（師傳經驗）
4天前 -
為什麼五點鐘要起床答案讓人吃驚！（現在知道還不晚）
1周前 -
這個穴位可以治療多種胃痛腹痛，還可以減肥
6天前 -
治療坐骨神經痛藥酒５方
1周前 -
美麗中國-2870：中國最大的内陸河，塔裡木河
2天前 -
二十四山開門放水作竈真訣開門放水作竈直訣——子山
2天前
有話要說...