初中動态幾何：手拉手旋轉模型的應用
模型回顧：
在旋轉類幾何問題中，最多的一類就是手拉手旋轉模型
：與.
細品基本模型圖
如何從複雜的圖形中看出基本模型圖或構造模型圖是快速解題的關鍵，需要在平時花時間去研究基本模型圖，細品模型圖及結論，從靜到動，從特殊到一般，從複雜到簡單，甚至還需要從結論到條件的逆向思維. 今天通過一個模型典例來分析圖中所含的模型圖，此題是一個以規則的四邊形（矩形）為載體，繞着一個頂點在旋轉，符合手拉手旋轉模型，所以要吃透手拉手旋轉模型情況及動态變換過程中不變的數學模型或規律.
模型典例： 将一個矩形ABCD繞點A順時針旋轉α（0°＜α≤90°），得到矩形AB'C'D'，連結BD．如圖1，當α＝90°時，點 C' 恰好在 DB 延長線上． （1）若 AB ＝1，試求 BC 的長． （2）如圖2，連結AC′,過點D'作D'M∥AC'交BD于點M．線段D'M與DM相等嗎？請說明理由． （3）在（2）的條件下，射線DB分别交AD'，AC'于點P，N（如圖3），發現線段DN，MN，PN存在一定的數量關系，請寫出這個關系式，并加以證明． 分析：（1）如圖1，設BC＝x， 由旋轉的性質得出AD'＝AD＝BC＝x， D'C＝AB'＝AB＝1， 此題對應平行8字型相似模型，
進而證明△D'C'B∽△ADB， 由相似三角形的性質得出， 由比例線段得出方程，求出x的值即可得出答案； （2）連接DD'，證明△AC'D'≌△DAB（SAS）， 由全等三角形的性質得出∠D'AC'＝∠ADB， 由等腰三角形的性質得出∠ADD'＝∠AD'D， 證出∠MDD'＝∠MD'D，則可得出結論； （3）連接AM，證明△AD'M≌△ADM（SSS）， 由全等三角形的性質得出∠MAD'＝∠MAD， 得出MN＝AN， 此對應共邊共角型相似模型，進而證明△NPA∽△NAD， 由相似三角形的性質得出，則可得出結論．
解： （1）如圖，設 BC ＝ x ，
∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉90°得到矩形AB'C'D'， ∴點A，B，D'在同一直線上， ∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1， ∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1， ∵∠BAD＝∠D'＝90°， ∴D'C'∥DA， 又∵點C'在DB的延長線上， ∴△D'C'B∽△ADB， ∴
，
∴
，
解得
，
（不合題意，舍去），
∴
．
（2） D'M ＝ DM ．
證明：如圖，連接DD'， ∵D'M∥AC'， ∴∠AD'M＝∠D'AC'， ∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB， ∴△AC'D'≌△DAB（SAS）， ∴∠D'AC'＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠AD'M， ∵AD'＝AD， ∴∠ADD'＝∠AD'D， ∴∠MDD'＝∠MD'D， ∴D'M＝DM；
（3）關系式為
．
證明：如圖，連接AM， ∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM， ∴△AD'M≌△ADM（SSS）， ∴∠MAD'＝∠MAD， ∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA， ∠NAM＝∠MAD'+∠NAP， ∴∠AMN＝∠NAM， ∴MN＝AN， 在△NAP和△NDA中， ∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA， ∴△NPA∽△NAD， ∴
，
∴
，
∴
．
點評：本題是四邊形的綜合題，考查了旋轉的性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質及相似三角形的判定與性質，巧用模型是解題的關鍵．
在初中幾何學習中，要注意概念關、語言關、畫圖關、推理證明關四大關。善于靜中找動，實現從特殊到一般的轉化。動中找靜，找到運動過程中不變的數學模型或規律，再從一般到特殊，利用臨界情況解決問題。動靜結合，其樂無窮！解決幾何問題不順手的原因是由于對基本的模型圖及結論掌握不牢固，還有常見的幾何解題方法不夠熟練。本公衆号作者潛心研究整理初中幾何學習過程中常見的幾何基本模型圖及結論，如有錯誤或更好的思路，請大家不吝賜教。
你的關注與分享就是對本作者的最大支持與動力，感謝你的關注與分享。知識在于分享，分享知識，傳播正能量，讓我們攜手共進，共建有效的課堂教學、提升學習效果。
細品基本模型圖
如何從複雜的圖形中看出基本模型圖或構造模型圖是快速解題的關鍵，需要在平時花時間去研究基本模型圖，細品模型圖及結論，從靜到動，從特殊到一般，從複雜到簡單，甚至還需要從結論到條件的逆向思維. 今天通過一個模型典例來分析圖中所含的模型圖，此題是一個以規則的四邊形（矩形）為載體，繞着一個頂點在旋轉，符合手拉手旋轉模型，所以要吃透手拉手旋轉模型情況及動态變換過程中不變的數學模型或規律.
模型典例： 将一個矩形ABCD繞點A順時針旋轉α（0°＜α≤90°），得到矩形AB'C'D'，連結BD．如圖1，當α＝90°時，點 C' 恰好在 DB 延長線上． （1）若 AB ＝1，試求 BC 的長． （2）如圖2，連結AC′,過點D'作D'M∥AC'交BD于點M．線段D'M與DM相等嗎？請說明理由． （3）在（2）的條件下，射線DB分别交AD'，AC'于點P，N（如圖3），發現線段DN，MN，PN存在一定的數量關系，請寫出這個關系式，并加以證明． 分析：（1）如圖1，設BC＝x， 由旋轉的性質得出AD'＝AD＝BC＝x， D'C＝AB'＝AB＝1， 此題對應平行8字型相似模型，
進而證明△D'C'B∽△ADB， 由相似三角形的性質得出， 由比例線段得出方程，求出x的值即可得出答案； （2）連接DD'，證明△AC'D'≌△DAB（SAS）， 由全等三角形的性質得出∠D'AC'＝∠ADB， 由等腰三角形的性質得出∠ADD'＝∠AD'D， 證出∠MDD'＝∠MD'D，則可得出結論； （3）連接AM，證明△AD'M≌△ADM（SSS）， 由全等三角形的性質得出∠MAD'＝∠MAD， 得出MN＝AN， 此對應共邊共角型相似模型，進而證明△NPA∽△NAD， 由相似三角形的性質得出，則可得出結論．
解： （1）如圖，設 BC ＝ x ，
∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉90°得到矩形AB'C'D'， ∴點A，B，D'在同一直線上， ∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1， ∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1， ∵∠BAD＝∠D'＝90°， ∴D'C'∥DA， 又∵點C'在DB的延長線上， ∴△D'C'B∽△ADB， ∴
（2） D'M ＝ DM ．
證明：如圖，連接DD'， ∵D'M∥AC'， ∴∠AD'M＝∠D'AC'， ∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB， ∴△AC'D'≌△DAB（SAS）， ∴∠D'AC'＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠AD'M， ∵AD'＝AD， ∴∠ADD'＝∠AD'D， ∴∠MDD'＝∠MD'D， ∴D'M＝DM；
（3）關系式為
證明：如圖，連接AM， ∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM， ∴△AD'M≌△ADM（SSS）， ∴∠MAD'＝∠MAD， ∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA， ∠NAM＝∠MAD'+∠NAP， ∴∠AMN＝∠NAM， ∴MN＝AN， 在△NAP和△NDA中， ∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA， ∴△NPA∽△NAD， ∴
在初中幾何學習中，要注意概念關、語言關、畫圖關、推理證明關四大關。善于靜中找動，實現從特殊到一般的轉化。動中找靜，找到運動過程中不變的數學模型或規律，再從一般到特殊，利用臨界情況解決問題。動靜結合，其樂無窮！解決幾何問題不順手的原因是由于對基本的模型圖及結論掌握不牢固，還有常見的幾何解題方法不夠熟練。本公衆号作者潛心研究整理初中幾何學習過程中常見的幾何基本模型圖及結論，如有錯誤或更好的思路，請大家不吝賜教。
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