無論是小學奧數中,還是在初中常規方程中,雞兔同籠問題都是非常典型的.
雞兔同籠問題,不僅是我國古代數學名題,也是多種數學思想與解題方法的載體.學霸數學小編以此題開篇,以敬先賢,也希望以此挖掘歸納出此題的思想方法,讓同學們掌握方法的同時,更多的了解數學問題中的文化内涵.文尾也會留下相同的問題,供同學們解答.
在中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》中就有“雞免同籠問題”:今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足.問雉兔各幾何.”翻譯成現代文:若幹隻雞與兔子同關一處,從上看有35個頭,從下看有94條腿,問有雞兔各多少隻?
古人對于“雞兔同籠”問題早已經給出了許多精妙解法.例如在《孫子算經》中說到:上置頭,下置足,半其足,以頭除足,以足除頭即得.此方法就是半足法.而《算法統宗》給出了兩種算法:一種是“置總頭倍之得七十,與總足内減七十餘二四,折半得一十二是兔,以四足乘之得四十八,總足減之餘四十六足為雞足,折半得二十三”;另一種算法叫做倍頭法,就是先求雞的隻數.
可能多數同學看不懂上述古文表述,下面我們分析一下現代人們的解法:
解法一:半足法,也稱“金雞獨立”法
我們假定雞和兔子通人性,能聽懂人話,也能服從主人的命令,主人吹個口哨,一聲令下,所有的雞擡起一條腿,而兔子擡起兩條腿,這時候我們如果蹲到地上,一數腿數,就會發現地上腿的總數變成了原來的一半,即47條腿.而雞的腿數與頭數相同,一條雞腿就代表一隻雞,而兔的腿數是兔的頭數的2倍,這意味着每條多出來的腿代表着一隻兔子,因此從47裡頭減去頭數35,剩下來的就是兔的頭數12隻,于是雞有35-12=23隻.
解法二:擡腳法
此方法在以前的算學課本中很常見,也是我國更相減損術的一個應用,晚清民國時的算術啟蒙基本都采用這種方法.仍然是假設雞和兔子都通人性,一聲令下,雞跟兔子都兩時擡起兩條腿,這時雞撲通一聲,坐到了地上,而兔子還有兩條腿立在地上,地上總有剩下94-35×2=24條兔子腿,故兔共12隻,雞23隻;當然,此法也可進行用“砍足法”來求解,同學們可以大膽嘗試.
解法三:極端假設法.在新中國成立後,由華羅庚等人參與編纂的數學讀物裡常出現的解法
假設所有的兔子都變成了雞,那麼如果是35隻雞,就總共會有70條腿,但實際的腿數卻有94條,我們假設的比實際數目少24條腿,變少的原因在于兔子的腿少數了2條,于是兔子的隻數24÷2=12隻,雞23隻.當然,假設全是兔時,思路一樣,同學們可以試一試
解法四:公平設計法.
中國科學院院士張景中教授給出一種被稱為“公平設計法”的解法:兔子有4條腿,而雞卻隻有兩條腿,這簡直就是種族歧視,實在不公平,所以我們就将雞的兩個翅膀也看作腿,那麼總共有35×4=140條腿,如果不把翅膀當作腿時,那麼腿隻有94條,所以多出的140-94=46條腿,是雞翅,于是雞的隻數46÷2=23隻,則兔有12隻.
以上解法主要對相應的數據進行改變,通過差異進行修正和還原,最後使原問題得到解決的思想方法,此為假設法.當然,除了上述4種方法外,我們還可以使用方程,一元一次方程和二元一次方程組都可以輕松解決;也可非常巧妙的通過面積法來解決;
解法五:一元一次方程
設雞的數量為x隻,則兔子為(35-x)隻,2x+4(35-x)=94,解得x=23;
解法六:二元一次方程組
設雞的數量為x隻,兔的數量為y隻,則x+y=35,2x+4y=94,x=23,y=12;
解法七:面積法
李樹清在《雞兔同籠問題的解法探讨》一文中提出把雞兔同籠問題變成一道幾何題來做,如下圖,AB=35,表示共35個頭,BC=2,表示雞的兩條腿,AF=4,表示免的4條腿,總面積為94,求AH和BH,即兔、雞各有多少隻?
此法的巧妙之外在于将代數問題轉化為幾何問題,腿的總數=雞頭數2+兔頭數2,轉化為長方形的面積=長寬,
SAHEF+SHBCD=AH∙HE+BH∙BC=94,延長CD交AF于點G,SABCG=35×2=70,故四邊形GDEF的面積為94-70=24,FG=2,所以EF=24÷2=12,即兔子為12隻,雞為23隻.
綜述:雞兔同籠問題雖易,但它可能是多數人接觸到的第一個有方程思想的古代數學名題;方法中擡腿、砍足法的應用,天馬行空卻不失其合理性.
留下以下兩個問題,供同學們思考:
①有雞和兔共40隻,有120條腿,問雞兔各多少隻?
②小明買了鉛筆和鋼筆共30支,鉛筆2元一支,鋼筆5元一支,共花了120元,問鉛筆和鋼筆各多少支?
有話要說...