關于直線對稱點坐标公式，這個公式也太複雜了吧，但卻很常用
今天在研究中考數學壓軸題時，遇到一道超麻煩的問題，麻煩之處，在于它多次要求已知點關于已知直線的對稱點坐标。
按照一般步驟，先設過已知點與已知直線垂直的直線解析式，然後代入已知點的坐标，确定這條直線的解析式。
然後根據對稱點所在直線的解析式，假設對稱點的坐标。最後根據兩點到直線距離相等，列關于對稱點橫坐标的方程，從而解得對稱點的橫坐标，并且得到對稱點的坐标。
一番操作下來，還是比較繁的，架不住這道題三番兩次要重複這個過程。因此老黃就想，如果有關于直線對稱點坐标公式，那該多好多簡便啊。
雖然網上有現成的公式，但是學習這件事情，老黃不想假手于人。因此老黃還是決定自己推導一下。沒想到結果如此之複雜。設點(x0,y0), 求關于直線Ax+By+C=0的對稱點, (A^2+B^2不等于0)。
按照上面叙述的一般過程，先設過已知點與已知直線垂直的直線解析式：Bx-Ay+D=0, 代入已知點的坐标，求得D=Ay0-Bx0. 因此直線的解析式為：Bx-Ay+Ay0-Bx0=0.
可設對稱點的坐标為(x,(Bx+Ay0-Bx0)/A), 則：
|Ax0+By0+C|=|Ax+B(Bx+Ay0-Bx0)/A+C|，因為對稱的兩點在對稱軸的兩側，所以
Ax0+By0+C+Ax+B(Bx+Ay0-Bx0)/A+C=0，化簡得：
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2),
(Bx+Ay0-Bx0)/A=B((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^3+AB^2)+y0-Bx0/A.
橫坐标的公式還好說，縱坐标的公式就未免太複雜了。而且當A=0時，它是沒有意義的。那怎麼辦呢？其實對稱點的橫坐标和縱坐标是具有一定的對稱性的。我們可以由它的對稱性，直接得到縱坐标y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2). 或者運用上面的推導過程再推導一次。
因此點(x0,y0), 求關于直線Ax+By+C=0的對稱點坐标為
(((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2),((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)) (A^2+B^2不等于0).
這個坐标公式，看起來想要記住還是有可能的。接下來檢驗一下它的正确性。
先舉一個最簡單的例子：比如點(2,1)關于橫軸的對稱點是(2,-1)，這裡A=0，B=1, C=0, 因此對稱點的坐标：
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=x0=2,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=-y0=-1. 檢驗正确。
再随便舉一個例子：比如點(1,2)關于直線3x-2y+1=0的對稱點坐标記為(x,y)，這裡A=3, B=-2, C=1. 則
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=(-5x0-6(-2y0+1))/13=1,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=(5y0+4(3x0+1))/13=2.
所以點(1,2)關于直線3x-2y+1=0的對稱點還是它本身，這一開始吓到了老黃，但仔細一點，原來點(1,2)在直線上，所以結果也是正确的。
凡事不過三，最後舉一個例子：比如點(2, 3)關于直線2x+y-3=0的對稱點記為(x,y)，這裡A=2, B=1, C=-3. 則
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=(-3x0-4(y0-3))/5=-1.2,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=(3y0-2(2x0-3))/5=1.4
通過作圖，結合求點關于直線的對稱點坐标的一般方法。我們就可以檢驗這個答案是正确的。
你也可以繼續舉一些例子來檢驗。以後我們在求點關于直線的對稱點坐标時，就可以直接運用這個坐标公式了。
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