淺談龐加萊猜想（附注釋）

作 者：Delta

引 言

1904 年，在一篇名為《對位相分析學的第五次補充》的論文中，亨利·龐加萊(Henri Poincaré)提出了一個猜想：

在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。

這個猜想所表達的意思到底應該如何理解？難道這就是高深莫測的龐加萊猜想嗎？為什麼一個連數學符号語言都沒有的、完全用自然語言描述的看似“顯然”的猜想能困擾曆代整整九十九年的數學家？

今天這篇文章就着重來解決這些問題。

正 文

這句話的意思并不難理解。我們先反過來，從一個三維球體 D3 内部的一條封閉曲線開始考慮。下面我們通過數學軟件模拟出來這個情形：

其結果為：

現在我們讓球内的曲線任意收縮，如圖：

最終能收縮成一個點(1)。

不難看出對于球内的任意一條閉合曲線都是這樣。也就是說，我們可以觀察出來，在 D3 中，每一條封閉的曲線都能收縮到一點。而龐加萊猜想，則是把這條看起來顯然的定理逆過來，他認為利用每一條能收縮到一點的曲線，能夠推導出這些曲線所在的空間的性質。當然，到這裡你可能有個問題：就算能夠利用曲線的性質推導出它所在空間的性質，但為什麼偏偏是球體？為什麼不能是其它形體？

（讨論環節。）

其實不一定是球體，也可以是正方體、長方體，甚至可以是(2)：

好吧。

我承認心形體确實不大可能，除非設計這個空間的人是個可愛的女孩子。

撇開這些不談，實際上，上面說到的這些形狀，專業名詞稱之為流形(manifold)，通俗地來說被定義為：

局部具有歐幾裡得空間(Euclidean Space)性質的空間。

什麼叫做歐幾裡得空間？

這樣講吧，一維的歐幾裡得空間就是（實）(3)直線，二維的就是平面，三維的就是立體， 跟我們日常生活中所認識的一樣。

在此基礎上我們來理解流形。先來一個最貼近我們的例子：現在人類基本上都知道地球近似是一個球體，也就是說它的表面是一個球面，那我們平常生活中出行能感受到這個球面的曲率嗎？

“大三角形”雖然是曲邊的，

但右下角非常小的三角形就和平面上一樣了。

（原圖來自維基百科）

顯然不能，這是因為在局部上，球面是等價于平面的。這也是為什麼古人認為地球是一個大圓盤，因為在不觀察月食現象、做環球旅行或是其他實驗的情況下，如果不能上太空，人類又無法直接從宇宙中直接觀察到地球的整體，隻能看到局部，那麼自然無法判斷地球的真實形體。這就叫做局部具有歐幾裡得空間性質，也因此我們認為地球的表面是一個二維流形，因為它局部具有平面的性質。

更“數學”一點來說，如果一個空間能夠以某種方式投影成 n 維歐幾裡得空間，那麼這個空間就被稱作 n 維流形。真正的數學定義其實是這樣的：

（還想進一步理解？下課來我辦公室啊（不是）。）

而我們前面提到的球體、正方體或是心形體，它們都是三維流形。這裡我們要說，它們在點集拓撲上(General Topology)都是等價的。這裡的等價有兩種概念，第一是同倫(Homotopy) 等價，第二是同胚(Homeomorphism)。也就是說，在拓撲學家(topologist)的世界觀中，球體和你所說的正方體、長方體其實都是一樣的，沒有任何區别(4)。這就是為什麼我們說“不一 定是球體”但卻用球體來描述該猜想，因為它們在拓撲學裡都是一樣的。（這裡沒有壓迫， 人人平等！）

先來說說什麼是拓撲學，在這裡我們引用北大尤承業教授在《基礎拓撲學講義》的引言中所寫的内容：

“什麼是拓撲學？”這是許多初學者都會提出的問題。拓撲學是一種幾何學，它是研究幾何圖形的。但是拓撲學所研究的并不是大家熟悉的普通的幾何性質，而是圖形的一類特殊性質，即所謂“拓撲性質”。于是，要了解拓撲學就要知道什麼是圖形的拓撲性質。然而，盡管拓撲性質是圖形的一種很基本的性質，它也具有很強的幾何直觀，卻很難用簡單通俗的語言來準确地描述。它的确切定義是用抽象的語言叙述的，這裡還不能給出。……以上幾個問題顯示出幾何圖形的一類特别的幾何性質，它們涉及到圖形在整體結構上的特性，這就是“拓撲性質”。顯然，它們與幾何圖形的大小、形狀，以及所含線段的曲直等等都無關，也就不能用普通的幾何方法來處理，需要有一種新的幾何學來研究它們，這個新學科就是拓撲學。也有人形象地稱它為橡皮幾何學，因為它研究的性質在圖形作彈性形變時是不會改變的。

由于篇幅有限，在該書提到的“幾個問題”中我們僅選取 Euler 多面體定理進行詳細的叙述，另外的兩個問題分别是“七橋問題”和“地圖着色問題（四色問題）(5)”，感興趣的讀者可以在網上查一查。

對于 Euler 多面體定理，相信大多數人在學習立體幾何的時候一定早有耳聞。它說的是：

然而，既然我們需要的是在彈性形變時不會變化的性質，我們就得抛開多面體來考慮。現在把凸多面體放進一個大球體，并使球心在多面體内部。接着從球心做中心投影，把凸多面體的頂點映射成球面上的節點，棱映射成球面上的曲線（被稱為枝）。這些節點和枝構成球面上的一個圖，它把球面分割成 f 個面塊，有 l 條枝和 v 個節點。如圖：

這個圖滿足：

(1) 每條枝的端點是兩個不同的節點；

(2) 不同的枝不會相交于内點；

(3) 每條枝不會自交。在這個意義上，歐拉定理可以推廣為：

當球面變形時，可以看出 f , l 和 v 這三個數并不會變化，所以對變形的球面比如橢球面， 或是任何閉的單連通二維流形（這裡的閉表示封閉）這個定理仍然成立。要注意，我們這裡說的變形，是一種連續的過程，是不發生粘連或者撕裂的變形。在這 種變形下，你不可能把一個球面變成一個環面(6)：

否則你必須撕裂這個球面然後再以其他的形式粘連，或者直接把球面的兩極下壓至粘連再撕裂。這也就意味着，球面和環面之間的一些拓撲性質是不同的。比如上文提到的歐拉定理，如果在環面上存在一個連通的圖，那麼它必然滿足：

不僅是 f - l v 的得數，還有其他許多不同的性質。比如，我們不難看出，環面比球面在中心多了一個洞，這意味着如果我們像開頭那樣在環面的内部（我們一般把它叫成甜甜圈）任意畫一條閉合的曲線，這條曲線不一定能收縮成一個點(7)：

對于上面這種情況，不難看出這條曲線在收縮的時候會被中間的孔洞擋住，從而變成孔洞的形狀而無法收縮成一個點。我們把這種情況叫做一維多連通（非一維單連通），把孔洞的個數叫做虧格(genus)。虧格也是一種拓撲性質。

球面顯然是一個零虧格曲面，而環面則是一虧格。而對于虧格更大的曲面，比如(8)：

它們的 f - l v 是一個負數，我們把這個由曲面本身的性質決定的數叫做 Euler 數。

注意到，我們在上文對拓撲學的介紹中多次提到了一種連續的變形，這種連續的變形就 是我們在開始介紹拓撲學之前就已經提到的兩種等價：同倫和同胚。這兩種等價關系都不會 改變在上文提到的兩個性質，因為虧格和 Euler 數（Euler 示性數）都是同倫不變量，而同倫 不變量一定是拓撲（同胚）不變量。

（讨論環節。）

中日關系是同倫不同胚的，中美關系是不同倫也不同胚的。

了解了這些概念之後，我們再來看龐加萊最初提出的猜想：

在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是 一個三維的圓球。

我們現在知道，這個圓球是拓撲意義下可以做同胚變換的“圓球”。這是正确的嗎？我 們好像想象不出其他的情形，但這并不足以說明這個猜想是對的。實際上它是錯的，因為它 沒有考慮流形的邊緣。

什麼是流形的邊緣？

讓我們從大家最熟悉的開區間和閉區間開始讨論。事實上，開區間就是一個無邊緣的一維流形，而閉區間就是一個帶邊緣的一維流形。在初高中，我們是怎麼用通俗易懂的手段來判斷開閉區間的呢？是看這個區間包不包含端點。這個端點就稱作一維流形的一個邊緣。同樣的，如果我們把區間的帶邊緣問題整體提升一個維度，來研究二維流形，那麼我們判斷的根據就是這個二維流形包不包含“邊界線”。

如圖，虛線代表不含圓周：

顯然，前者是無邊緣的，後者是帶邊緣的。

在這裡我們要說明兩個問題。首先不能像開閉區間那樣按流形是否帶邊緣稱作開閉流形。事實上，開閉流形都是無邊緣流形，區别是緊緻化的問題。這個問題我們不談。

顯然，一個無邊緣三維流形，不能等同于帶邊緣（球面）的三維球體，所以我們說這個猜想是錯的。龐加萊在1905年發現了他叙述中的錯誤，并對其進行了修改：

任何與三維球面同倫的三維封閉流形必定同胚于三維球面。

或者說：

任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面。

這才是真正的龐加萊猜想。

我們剛剛才提過，二維球體（圓盤）的表面是一個一維球面（圓周），而三維球面實際 上是四維空間中的東西，它是平鋪于四維球體上的一層沒有四維“厚度”的膜。也就是說， 我們無法想象出三維球面（超球面）到底長什麼樣子。

不過，通過類比的方法、通過二維球面，我們可以想象、刻畫或理解三維球面的可能性 質。在這裡我們要介紹黎曼球面，它原本是黎曼(Riemann)在複分析中解釋擴充複平面時引 入的一種球極投影。現在我們利用這種思路在實空間中将球面從球的頂極點 P 向平面射影：

這就把球面上除了極點 P 之外的所有點映射到了一個無窮大的零虧格平面上，而且這個 映射是雙射且連續的（事實上其逆映射也連續）。接着黎曼定義平面上的無窮遠處全部交于 一點，該點稱為無窮遠點，作為球面的 P 點映射到平面上得到的結果。在這個意義下，0 可 以作為除數，并且滿足：

注意，在其他任何意義下該式都不成立。

也就是說，

同樣的，三維球面也可以做類似的投影，它可以描述為無洞的三維空間（也就是三維單連通流形）加上一個無窮遠點。但是，我們知道三維球面向三維空間的映射是雙射且連續的， 并不知道其逆映射是否連續。也就是說，我們單知道三維球面可以被描述為三維單連通空間，不知道如果一個三維空間單連通，它是否一定能連續變化為三維球面。

這便是龐加萊猜想，他認為是這樣的。

尾 聲

最後我們來簡單說說龐加萊猜想的證明曆史。

前期做龐加萊猜想的大部分數學家，比如懷特海德(J.Whitehead)、哈肯(Haken)等人，他們給出的證明都是有缺陷的，但也為拓撲學的發展打下了堅實的基礎。在這裡我們隻單獨提一下赫裡斯托斯·帕帕基裡亞科普洛斯(Χρήστος Δημητρίου Παπακυριακόπουλος)，簡稱 Papa。他把自己的一生都獻給了龐加萊猜想，為此放棄了教授的職位。在他胃癌晚期撒手人寰的前段時間，他還将自己證明龐加萊猜想的手稿交給他的朋友過目。然而僅僅翻了幾頁，他的朋友就發現了錯誤，但為了讓Papa 安心離去，朋友并沒有告訴他。可以說，Papa的一生是一場悲劇，但對于他自己而言卻是喜劇，因為他能夠将自己的生命奉獻給自己熱愛的事業。

中期對龐加萊猜想作出巨大貢獻的，主要是瑟斯頓(10)(Thurston)，他給出了幾何化猜想，認為宇宙一定由八種基本拓撲形狀構成，并利用幾何化猜想證明了龐加萊猜想。然而，用猜想證明猜想當然是不嚴謹的，但瑟斯頓以跟希爾伯特(Hilbert)類似的理由(11)放棄了對幾何化猜想的繼續證明。他的理由是“要是證明出來了，年輕人就沒有奮鬥的動力了”。

最終，在克雷(Clay)數學研究所剛剛把龐加萊猜想加入“千禧年問題”後的不到三年， 佩雷爾曼(Perelman)便完成了瑟斯頓“幾何化猜想”的證明。2002 年 11 月 12 日，佩雷爾曼在 arXiv.org 上公布了自己的證明，并在之後半年中又發布了兩篇系列論文。這三篇文章概述了龐加萊猜想以及更一般的幾何化猜想的證明，從而實現了哈密頓(Hamilton)提出的綱領。

到這裡對龐加萊猜想的介紹就基本結束了，但我們還剩最後一個問題沒有解決：為什麼一個連數學符号語言都沒有的、完全用自然語言描述的看似“顯然”的猜想能困擾曆代整整九十九年的數學家？

這個看似直觀顯然的猜想為什麼如此難以證明，事實上是一般人難以理解的。所以在這裡，我們不妨用問題來解釋問題：如何證明一條閉合曲線把平面分為兩部分呢？

這看起來可比龐加萊猜想顯然多了，然而它的證明也是十分困難的，需要以基本群為工具才能給出證明。它的學名是 Jordan 曲線定理，直到 1905 年才出現第一個正确的證明。用自然語言叙述，它可能是一目了然的；但用數學語言叙述：

看起來就沒那麼顯然了。龐加萊猜想，也是類似的道理。所以，在科普的最後，我也要建議大家，不要認為表面顯然的真實就是易懂的事實。不僅數學如此，人生，不也是一樣的嗎？

（ 全 文 完 ）

注 釋

(1) 本文所使用的數學計算機輔助程序為 Mathematica。該收縮過程可以用 gif 圖展示， 但是我的電腦在處理以下代碼時失敗了，有興趣且電腦配置比較好的讀者可以試着自己展示一下，代碼見下：

(2) 這個秀兒一般的三維體是這樣得到的：

(3) 除特别說明以外，本文讨論範圍均在實空間内。

(4) 區别實際上是存在的，但是并不存在于 1935 年之前的大部分拓撲學家腦海中。一 直到惠特尼(H.Whitney)提出了微分流形的嚴格概念之後，微分拓撲才真正開始興起，拓撲學 家才開始在原先同胚的基礎上考慮“微分同胚”，即從連續過渡到光滑。比如，球體的表面 顯然是處處光滑的，但正方體卻存在八個不光滑的奇點；所以這兩個幾何體雖然同胚但并不微分同胚。除特别說明以外，本文讨論範圍均不包含微分性質。

(5) 四色定理的證明其實和龐加萊猜想還有一定的淵源。沃夫岡·哈肯(Wolfgang Haken) 在證明龐加萊猜想的過程中發現了自己的一個緻命錯誤，這次失敗讓 Haken 博士陷入了暴食 症，後來被人戲稱為“龐加萊猜想綜合症”。最終在 Haken 轉向研究“四色問題”後該病不治而愈了，而他最終也利用機器證明給出了四色定理的答卷（盡管并不是所有人都滿意）。

(6) 圓環面的繪圖：

(7) 如下：

(8) 圖源自百度百科對“虧格”的介紹。

(9) I = [0,1].

(10) 斯梅爾(Smale)也在龐加萊猜想方面作出了一定的貢獻，但他所做的工作并不是證 明我們上文提到的常規的龐加萊猜想，而是證明了高維的、較簡單的龐加萊猜想：

任何與 n 維球面同倫的 n 維封閉流形必定同胚于 n 維球面，其中 n ≥ 5。

為什麼高維的龐加萊猜想還要更簡單？這就牽扯到紐結理論了。高維的情形下閉合曲線 收縮的過程中不會打結，但三維中是會出現扭結的。

(11) 希爾伯特當年拒絕證明費馬大定理(Fermat’s Last Theorem)的理由是：“這是一隻會下金蛋的鵝，我為什麼要殺掉它？”

作 者：Delta

APC編輯部科普組