數學家發現了用于理解混沌系統的工具，對科學具有深遠的影響

1885年，瑞典國王奧斯卡二世宣布了一項由四個數學問題組成的公開挑戰。法國博學多才的亨利龐加萊關注的是一個與天體運動有關的問題，即所謂的n體問題。太陽系會永遠保持它的順時針運動嗎？這些行星是會飛向虛空，還是會坍塌成一個熾熱的太陽？ 龐加萊研究表明至少有一些系統，比如太陽、地球和月球，是穩定的，他赢得了這個著名的獎項，并在1889年出版了一篇相關文章。不幸的是，他的解決方法是錯誤的。 龐加萊承認了他的錯誤，并花錢銷毀了他的解決方案的副本（花費超過了獎金）。一個月後，他提交了修改後的版本。他現在看到，即使是一個隻有三個物體的系統，其行為也可能不可預測，太混亂而無法建模。于是動力系統領域出現 了 。 就我們的目的而言，動力系統隻是一個函數，其可能的輸出也可以是輸入。這允許我們重複插入函數的輸出，允許行為的進化。正如龐加萊的研究所顯示的，這個簡單的前提可以産生如此複雜和随機的例子，它被稱為混沌。 在大約70年後，有一種優雅的方式可以理解龐加萊的結論，并為混沌帶來一些秩序。在才華橫溢的年輕拓撲學家（菲爾茲獎得主）斯蒂芬·斯梅爾寫完他的第一篇關于動力系統的文章後不久，他收到了一封信，信中他發現了一個相對簡單且普遍存在的函數，可以解釋龐加萊在三體問題中觀察到的混沌現象。斯梅爾稱之為馬蹄鐵。 為了理解它，讓我們從一個簡單的動力系統的例子開始，它不是混沌的。假設你想用一個簡單的計算器計算根号2。有一種叫作牛頓法的方法，你應該從任意一個猜想開始，比如說3，然後把它代入函數 輸出f(3) = 1.8333333，比輸入更接近真實值。為了更接近函數，将輸出插入到函數中：f(1.8333333) = 1.4621212。再這樣做三次，得到1.4142136，這可能是計算器準确度的極限。 把第六次近似寫成 記作 我們稱無限的輸出序列為x的“軌道”。把每次叠代看作是時鐘的滴答，把軌道看作沿着數軸跳動，接近根号2。 在這個例子中，我們稱根号2為一個吸引不動點：一個不動點是因為它産生了固定的軌道 而 吸引 是因為，像黑洞一樣，它會吸進附近點的軌道。但是，并不是所有的動力系統都 表現 出如此簡單和可預測的行為。一個動力系統的軌道可以周期性地通過有限的一組點，或者向無限延伸，或者沒有明顯的順序。 為了理解這些概念（它們是混沌系統的核心），考慮一個特别具有啟發性的例子，稱為帳篷映射，T，定義為x在0到1之間的值。就像糖果制作者拉太妃糖一樣，它把這個間隔拉長到原來長度的兩倍，對折，然後回到原來的間隔。這意味着0和1都映射到0，1/2映射到1。因為帳篷映射産生的值也在0到1之間，所以它 可以 是一個動态系統。叠代函數，就像牛頓法，意味着重複這個拉伸和折疊的過程。

• 由方程T(x)=−2∣x−1/2∣+ 1所描述的帳篷映射，拉伸并折疊了區間[0,1]。叠代函數對應于重複的拉伸和折疊。

在根号2的例子中，帳篷映射有固定的點，0和2/3。但它也有一個周期在兩點之間的軌道，2/5和4/5，我們稱它為周期2的軌道和周期3的軌道，周期為2/9，4/9和8/9。令人驚訝的是，因為帳篷圖中有一個點産生了一個周期為3的軌道，我們可以證明它在每個周期都有點，不管你選的是哪個正整數，都會有一個重複的軌道。 第一個發現這個關于實數軸函數的事實的人是烏克蘭數學家亞曆山大·沙科夫斯基。然而，他1964年關于這一課題的論文在東歐以外的地區仍不為人所知，直到1975年，馬裡蘭大學數學家李天彥和詹姆斯·約克獨立地重新發現了這一成果才為人所知。他們證明了這樣一個動力系統也有沒有可識别模式的軌道，就像帳篷映射中點根号2減1的軌道。他們寫道，“周期3意味着混沌”，并在此過程中創造了數學術語“混沌”。 更有趣的是，盡管√2- 1和√2- 0.999兩個點距離很近，但它們的軌道分離得很快：例如，T^9(√2- 1)= 0.07734，而T^9(√2- 0.999)= 0.58934。這種現象被稱為“對初始條件的敏感依賴”，或者更通俗的說法是蝴蝶效應。最初的小變化可能導緻大的結果變化。正如數學家兼氣象學家愛德華·洛倫茲所言:“巴西蝴蝶扇動的翅膀會在德克薩斯州引發龍卷風嗎?”雖然混沌沒有固定的定義，但這種敏感的依賴性是它的特征之一。 為了幫助理解這些混亂的系統，讓我們使用一種起初看似粗糙的技術。首先，将可能值的區間劃分為标記為L和R的兩半，然後，随着軌道的發展，簡單地記下下一次叠代的一半落在了哪裡。這個順序就是軌道的“行程”。例如，周期3的軌道2/9的行程是LLRLLRLLR…，因為2/9和4/9在L内，8/9在R内。√2- 1的軌道的行程從 LRLRRRRRLL開始。 用它們的行程來表示軌道看起來是一種巨大的信息損失，但事實并非如此。這是因為每一個可能的L和R序列都對應于一個且隻有一個點。例如，2/9軌道是唯一一個行程為LLRLLRLLR的軌道。這個特性為分析帳篷映射的動态提供了一個方便的工具。它揭示了當點的行程是周期性的時候，點是周期性的。它還可以讓我們從任何給定的路線中确定一個點的精确位置。 現在，讓我們将帳篷映射的概念擴展到更多的維度，并最終滿足斯梅爾的馬蹄鐵函數h。從一個正方形開始，将它拉伸成一個細矩形，折疊成一個馬蹄鐵，并将其放置在原來的正方形上。 和所有的動力系統一樣，我們可以重複這個過程——拉伸、折疊、拉伸、折疊、拉伸、折疊——馬蹄形中的馬蹄形。 馬蹄形圖是可逆的——除了知道x點的去向（用h(x)來描述）外，我們還知道x點的來源。将h^（-1）應用到原來的正方形上，就得到了一個與第一個直角的新馬蹄形。如果你繼續，新的馬蹄鐵裡會有更多的馬蹄鐵。 現在把這些地圖的圖像疊加在一起： 有一組點，我們稱之為H，它由所有水平和垂直的馬蹄鐵的交點組成。這就是有趣的事情發生的地方。 就像帳篷 映射 一樣，馬蹄鐵地圖也可以用旅行路線來分析。讓我們定義L為垂直馬蹄鐵的左邊，R為右邊。
現在如果我們在H中取任意一點，我們就可以計算出它正向軌道的行程。因為馬蹄鐵是可逆的，我們也可以确定逆向軌道的行程。 例如，我們從L區域的一個點開始，當我們運行正向軌道時，我們得到LRRLRR…，向無限遠處移動。當我們運行反向軌道時，我們得到LRRLRR....所以我們可以把它的行程寫成…LRRLRRLRRLRR…，下劃線表示起點。這是一個周期為3 的 軌道。 現在對H中的每一點都這樣做。 有了這些行程，我們就有了對馬蹄形地圖的完整描述——我們完全理解它——盡管它具有混沌的動力學：每個時期的點，對初始條件的敏感依賴等等。 現在我們可以看到斯梅爾的馬蹄鐵如何更清楚地描述龐加萊的三體問題中的混沌。在他混亂的馬蹄鐵中，必定有一個固定的點（稱之為p），因為每個可能的路線都存在點。這意味着一定還有一個點——我們把這個點叫作q——這個點的行程是……LLLRLLL....這個點的向前軌道接近p（我們稱之為“進入未來”），它的向後軌道也接近p（進入過去）。 同時，龐加萊觀測到某些函數的 不動 點具有吸引和排斥方向。這意味着有一個向固定點移動的曲線，就像靜脈将血液送回心髒，也有一個向外移動的曲線，就像動脈将血液送進身體。如果這些曲線相交，相交點，稱為同宿點，具有一種奇特的性質，即它們在未來和過去都接近不動點。

• 點q是一個同宿點，因為它在向前和向後的時間内都接近不動點p。當這種情況發生時，曲線産生同宿的糾纏并顯示出混亂的行為——就像馬蹄鐵一樣。

斯梅爾指出q是一個同宿點，因為它的軌道在未來和過去都趨向于p。至關重要的是，斯梅爾還證明了相反的情況：如果有一個同宿點，那麼你就得到了一個馬蹄鐵。既然我們知道馬蹄鐵是混沌的，那麼龐加萊的系統肯定也是混亂的。換句話說，龐加萊的複雜系統——以及任何具有同宿點的系統——都表現得像斯梅爾的簡單系統。了解馬蹄鐵，你就能掌握混沌本身。 斯梅爾也證明了這種混沌是穩健的。如果我們将正方形映射到一個稍微不同的馬蹄鐵上，得到的映射将具有相同的混沌行為。盡管系統中存在局部不穩定性，但整體行為是非常穩定的。也就是說，這種混亂不是轉瞬即逝的，即使是在很小的幹擾下。混亂本身是穩定的。 混沌理論将繼續吸引公衆的注意力。1986年《科學美國人》上的一篇文章把它作為“科學建模的新範式”提出，詹姆斯·格萊克1987年的暢銷書《混沌》的副标題也很有争議:“創造一門新科學”。混亂出現在流行文化中，比如1990年的小說《侏羅紀公園》和湯姆·斯托帕德1993年的戲劇《阿卡迪亞》。 盡管一些數學家對這種炒作感到憤怒——動力系統畢竟不是什麼新鮮事——但混沌系統對數學和科學的影響是深遠的。混沌的存在表明，即使在确定性系統中，由于混沌對初始條件的敏感依賴，我們也可能無法準确預測未來。但是因為有了像斯梅爾的馬蹄鐵這樣的工具，我們仍然可以從這些系統中提取有用的信息。 來源：quantamagazine