數學家發現了用于理解混沌系統的工具，對科學具有深遠的影響
1885年，瑞典國王奧斯卡二世宣布了一項由四個數學問題組成的公開挑戰。法國博學多才的亨利龐加萊關注的是一個與天體運動有關的問題，即所謂的n體問題。太陽系會永遠保持它的順時針運動嗎？這些行星是會飛向虛空，還是會坍塌成一個熾熱的太陽？
龐加萊研究表明至少有一些系統，比如太陽、地球和月球，是穩定的，他赢得了這個著名的獎項，并在1889年出版了一篇相關文章。不幸的是，他的解決方法是錯誤的。
龐加萊承認了他的錯誤，并花錢銷毀了他的解決方案的副本（花費超過了獎金）。一個月後，他提交了修改後的版本。他現在看到，即使是一個隻有三個物體的系統，其行為也可能不可預測，太混亂而無法建模。于是動力系統領域出現
了
。
就我們的目的而言，動力系統隻是一個函數，其可能的輸出也可以是輸入。這允許我們重複插入函數的輸出，允許行為的進化。正如龐加萊的研究所顯示的，這個簡單的前提可以産生如此複雜和随機的例子，它被稱為混沌。
在大約70年後，有一種優雅的方式可以理解龐加萊的結論，并為混沌帶來一些秩序。在才華橫溢的年輕拓撲學家（菲爾茲獎得主）斯蒂芬·斯梅爾寫完他的第一篇關于動力系統的文章後不久，他收到了一封信，信中他發現了一個相對簡單且普遍存在的函數，可以解釋龐加萊在三體問題中觀察到的混沌現象。斯梅爾稱之為馬蹄鐵。
為了理解它，讓我們從一個簡單的動力系統的例子開始，它不是混沌的。假設你想用一個簡單的計算器計算根号2。有一種叫作牛頓法的方法，你應該從任意一個猜想開始，比如說3，然後把它代入函數
輸出f(3) = 1.8333333，比輸入更接近真實值。為了更接近函數，将輸出插入到函數中：f(1.8333333) = 1.4621212。再這樣做三次，得到1.4142136，這可能是計算器準确度的極限。
把第六次近似寫成
記作
我們稱無限的輸出序列為x的“軌道”。把每次叠代看作是時鐘的滴答，把軌道看作沿着數軸跳動，接近根号2。
在這個例子中，我們稱根号2為一個吸引不動點：一個不動點是因為它産生了固定的軌道
而
吸引
是因為，像黑洞一樣，它會吸進附近點的軌道。但是，并不是所有的動力系統都
表現
出如此簡單和可預測的行為。一個動力系統的軌道可以周期性地通過有限的一組點，或者向無限延伸，或者沒有明顯的順序。
為了理解這些概念（它們是混沌系統的核心），考慮一個特别具有啟發性的例子，稱為帳篷映射，T，定義為x在0到1之間的值。就像糖果制作者拉太妃糖一樣，它把這個間隔拉長到原來長度的兩倍，對折，然後回到原來的間隔。這意味着0和1都映射到0，1/2映射到1。因為帳篷映射産生的值也在0到1之間，所以它
可以
是一個動态系統。叠代函數，就像牛頓法，意味着重複這個拉伸和折疊的過程。
現在如果我們在H中取任意一點，我們就可以計算出它正向軌道的行程。因為馬蹄鐵是可逆的，我們也可以确定逆向軌道的行程。 例如，我們從L區域的一個點開始，當我們運行正向軌道時，我們得到LRRLRR…，向無限遠處移動。當我們運行反向軌道時，我們得到LRRLRR....所以我們可以把它的行程寫成…LRRLRRLRRLRR…，下劃線表示起點。這是一個周期為3 的 軌道。 現在對H中的每一點都這樣做。 有了這些行程，我們就有了對馬蹄形地圖的完整描述——我們完全理解它——盡管它具有混沌的動力學：每個時期的點，對初始條件的敏感依賴等等。 現在我們可以看到斯梅爾的馬蹄鐵如何更清楚地描述龐加萊的三體問題中的混沌。在他混亂的馬蹄鐵中，必定有一個固定的點（稱之為p），因為每個可能的路線都存在點。這意味着一定還有一個點——我們把這個點叫作q——這個點的行程是……LLLRLLL....這個點的向前軌道接近p（我們稱之為“進入未來”），它的向後軌道也接近p（進入過去）。 同時，龐加萊觀測到某些函數的 不動 點具有吸引和排斥方向。這意味着有一個向固定點移動的曲線，就像靜脈将血液送回心髒，也有一個向外移動的曲線，就像動脈将血液送進身體。如果這些曲線相交，相交點，稱為同宿點，具有一種奇特的性質，即它們在未來和過去都接近不動點。
- 由方程T(x)=−2∣x−1/2∣+ 1所描述的帳篷映射，拉伸并折疊了區間[0,1]。叠代函數對應于重複的拉伸和折疊。
現在如果我們在H中取任意一點，我們就可以計算出它正向軌道的行程。因為馬蹄鐵是可逆的，我們也可以确定逆向軌道的行程。 例如，我們從L區域的一個點開始，當我們運行正向軌道時，我們得到LRRLRR…，向無限遠處移動。當我們運行反向軌道時，我們得到LRRLRR....所以我們可以把它的行程寫成…LRRLRRLRRLRR…，下劃線表示起點。這是一個周期為3 的 軌道。 現在對H中的每一點都這樣做。 有了這些行程，我們就有了對馬蹄形地圖的完整描述——我們完全理解它——盡管它具有混沌的動力學：每個時期的點，對初始條件的敏感依賴等等。 現在我們可以看到斯梅爾的馬蹄鐵如何更清楚地描述龐加萊的三體問題中的混沌。在他混亂的馬蹄鐵中，必定有一個固定的點（稱之為p），因為每個可能的路線都存在點。這意味着一定還有一個點——我們把這個點叫作q——這個點的行程是……LLLRLLL....這個點的向前軌道接近p（我們稱之為“進入未來”），它的向後軌道也接近p（進入過去）。 同時，龐加萊觀測到某些函數的 不動 點具有吸引和排斥方向。這意味着有一個向固定點移動的曲線，就像靜脈将血液送回心髒，也有一個向外移動的曲線，就像動脈将血液送進身體。如果這些曲線相交，相交點，稱為同宿點，具有一種奇特的性質，即它們在未來和過去都接近不動點。
- 點q是一個同宿點，因為它在向前和向後的時間内都接近不動點p。當這種情況發生時，曲線産生同宿的糾纏并顯示出混亂的行為——就像馬蹄鐵一樣。
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