用數學的眼光研究“八卦”

今年，《周易》八卦圖走進了數學全國高考理科試卷！

在全國卷I理科卷就有這樣一道分值為5分的選擇題：

我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化和發展的規律，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分陽爻“——”和陰爻“——”，下圖就是一重卦，在所有重卦中随機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是：

A、5/16；B、11/32；C、21/32；D、11/16。

讀過《周易》的朋友大概都有一些印象，《周易》中，按陰陽爻的比例，可将六十四卦分為七種，即：

0個陽爻（6個陰爻）；

1個陽爻（5個陰爻）；

2個陽爻（4個陰爻）；

3個陽爻（3個陰爻）；

4個陽爻（2個陰爻）；

5個陽爻（1個陰爻）；

6個陽爻（0個陰爻）。

其數量分别如下：

0個陽爻的卦有1個；

1個陽爻的卦有6個；

2個陽爻的卦有15個；

3個陽爻的卦有20個；

4個陽爻的卦有15個；

5個陽爻的卦有6個；

6個陽爻的卦有1個。

而這一題所說“恰有3個陽爻的概率”就是“3個陽爻（3個陰爻）的卦”，其數量為20個。而六十四卦總卦數是64個，20除以64，結果就是5/16，答案是A。

這個卦是地風——《升》卦，《升》卦是《易經》六十四卦的第四十六卦。淺解：地風升（升卦）柔順謙虛，上上卦。象曰：士人來占必得名，生意買賣也興隆，匠藝逢之交易好，農間莊稼亦收成。這個卦是異卦相疊（下巽上坤）。坤為地、為順；巽為木、為遜。大地生長樹木，逐的成長，日漸高大成材，喻事業步步高升，前程遠大，故名“升”。

從中可以看到出題者對國學的理解之深、對學子的美好祝福。

《周易》也叫《易經》，是中華文化的核心經典，但是，經常被人誤解為“封建迷信”的書籍。記得小時候看到八卦圖就覺得它神秘，四周有“鬼”畫的八個長短線符号，中間有一黑一白兩條魚，黑色那條有白色的眼睛，白色的那條有黑色的眼睛，後來聽說書的說“諸葛亮擺什麼八卦陣吓退陸遜”，道士用它呼風喚雨，測人生死命運前程無不準确無誤， 畫個八卦符貼到房梁上就能夠驅鬼辟邪……

後來讀了相關的書籍，了解一些，曉得這個不能小看了，它很厲害，而且與數學還有着莫大的關系，其中包含着不少的數學原理及數學知識的使用，尤其是在數學思維方面。

本文試圖按照《周易》本身的定義以及相映（類比數學的映射概念）關系，将八卦與各研究對象在一定的範圍内建立一種明确而又清晰的數學映象關系。即嘗試用現代的數學方法和思維去解讀八卦的相關問題，從而慢慢接近、探索八卦所揭示的自然奧秘。

八卦的由來

八卦城

《易傳·系辭下傳》說：“古者包羲氏（即伏羲）之王（管理）天下也，仰則觀象於天，俯則觀法於地，觀鳥獸之文，與地之宜，近取諸身，遠取諸物，於是始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。”

伏羲觀天察地、類物取象而作八卦，後世經過周文王“拘而演《周易》”（周文王姬昌被商纣王拘禁在羑裡，将伏羲的先天八卦推演成後天八卦），周公旦做爻辭，孔子“韋編三絕”附十翼才成為我們現在看到的《周易》。

《易傳·系辭上傳》說:' 是故，易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定吉兇，吉兇生大業。'孔穎達說:'太極謂天地未分之前，元氣混而為一，即是太初、太一也。'古人總結了自然界萬物的規律,認為萬物均由無（混沌、無極）而生，無生有（即，一、太極），一生天地（非我們現在意義上的天地，應理解為陰陽更好些），陰陽交感而萬物成,形成一生二,二生三,三生萬物的哲學觀、世界觀、美學觀。八卦正是由這一簡單的“一”變化為複雜的“多”而逐漸産生形成的，“易”的意思有三——變易、不易、簡易，反映了天、地、人之間“變是常态”、“不變是現象”、“去繁求簡”這幾個基本原則.

常言說：一個人不識字可以生活，但是不識數就難了。這個數當指下列各數及其豐富的内涵：

無極是0，太極是1，陰陽是2，天地人是3，四象（少陰、太陰、少陽、太陽）是4，木火土金水（五行）是5，上下左右前後（六和）代表6，七星表7，八卦是8，九宮是9，完滿、全數是10.

八卦符号的含義

圖一

八卦是一套抽象的符号系統,它表示什麼意義?“仁者見仁,智者見智。”人們可以賦予它們各種各樣的内容,給出各種各樣的解釋，但最容易理解的是被視為數學的符号（這可能會掩蓋住“易”的本質含義）。在陰陽學的影響下,簡化作出“——”(陽)“——”(陰)兩種符号。通過這兩種簡單的符号可得出各種各樣的錯綜複雜的排列組合。

“——”代表自然界中的天、日、乾。“乾”表現（即卦德）為健、動、剛。從數的意義上看:“——”表示奇數,又表示一個整體。“——”是數的開始和數的發展的基本,是萬物生發之源;“一一”代表自然界中的地、月、坤。“坤”表現為順、靜、柔,它表示偶數。太陽下去,月亮升起;月亮下去,太陽出來,太陽月亮互相推移交替,就産生了時光；“寒暑易節，始一反焉”，就形成了歲月；陰陽交融,萬物繁衍。

把“——”及“一一”這兩個符号結合,可産生錯綜複雜的變化。如果取兩畫為一卦,這兩個符号最多隻能得到四卦,尚不足以概括自然界除天地以外的其他要素。如果取三畫為一卦,那麼陰陽的排列組合可得八卦,正好與人們從自然界中抽象出來的八種事物一一對應，即是說八卦是由陰和陽的兩種能量及其變化所生。我們将八卦所代表的八種自然界現象與事物特性列表如下:

最高數學獎菲爾茲獎章上面刻着：“智者的遊戲，體驗神奇的數學；超越人類的極限，做宇宙的主人。”就讓我們在八卦的數學海洋裡自由遨遊一番吧！

八卦的數學結構

1.八卦與集合論

集合論是現代數學的基礎,它不僅滲透到數學的各個領域,也滲透到許多自然科學和社會科學領域。《周易·系辭》說:“方以類聚,物以群分。”這裡所說的“類”與“群”就與數學中的“集合”概念非常相近。将八卦用集合論的語言描述,就會更方便、更清楚、更精确。《易經﹒說卦傳》還說“卦，象也”、“卦者，挂也”無不告訴我們卦是宇宙間各種事物的映象。

(1)八卦與自然現象的關系

乾為天,坤為地,震為雷,巽為風,坎為水,離為火,艮為山,兌為澤。可以看成是兩個集合,即八卦經集A={乾、坤、艮、兌、巽、震、坎、離}與八種自然物集B={天、地、山、澤、風、雷、水、火}之間的一個一一映射。

(2)八卦與方位的關系:

乾南,坤北,離東,坎西,震東南,巽西南,艮西北,兌東南。看成是兩個集合,即八卦之集A={乾、坤、艮、兌、巽、震、坎、離}與八方之集B={西北、西南、東北、西北、東南、東、北、南}之間的一種一一映射。

(3)八卦與“五行”之間的關系

乾→金,坤→土,震→木,巽→木,坎→水,離→火,艮→土,兌→金。這是兩個集合，八卦集A={乾、坤、艮、兌、巽、震、坎、離}與五行集B={金,木,水,火,土}之間的映射,顯然是從A到B的滿射。

(4)“八卦”與先天卦數、後天卦數的關系

先天八卦數是:乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。故在A={乾、坤、艮、兌、巽、震、坎、離}和B={一，二，三，四,六,七,八,九}之間是一個一一映射。

後天八卦數是：乾→六,坤→二,震→三,巽→四,坎→一,離→九,艮→八，兌→七。即下面兩個集合，A={乾、坤、艮、兌、巽、震、坎、離}和B={一，二，三，四,六,七,八,九}之間的另一個一一映射。

以此類推，仰天察地，遠取諸物，近取諸身，周易說明了世間外物均可以在特定的範圍内将八卦與之建立抽象的映射關系，通過對八卦的推演排算，從而達到預知事物發展變化的趨勢，從而斷其吉兇。那些認為它的迷信的人眼光太短了，那些奉它為神靈的人未必真的了解其預測的原理。

2.八卦與二進制

通常我們所采用的十進制是“逢十進一”，且在十進制中使用0，1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字符号。而二進制是“逢二進一”,隻用0,1兩個數字符号即可。如将陰爻用“0”表示,陽爻用“1”表示,則八卦是一個二進制數組。對于八卦與二進制數字及十進制的數字的對應關系

據說德國數學家萊布尼茲（1646～1716）就是根據我國八卦圖發明了計算機二進制（他曾感歎：二進制與八卦的卦爻太一緻了），震動了世界科學界，故八卦有計算機之母的美譽。

3.八卦與組合論

八卦中的每一卦都由兩種元素(陰爻,陽爻)中可重複選取3個所做的排列。設排列數為N,則N=23,其中“2”是指隻有兩種元素， “3”是指三個爻位（每一爻位都要從兩種元素中選取1個元素）。即是3個位置，每個位置兩種選擇，可重複排列，所以N=23=8，正對應于八卦。

這是以位置為主來考慮，也可以以卦的形式為主來考慮，分成四個部分：3個全陽爻，2陽1陰，2陰1陽，3個全陰，故有：

4.八卦與代數式

如果令a表示陰爻,b表示陽爻,并規定ab≠ba如,則當n=2時，

(a b)2=a2 ab ba b2

對應于八卦:

當n=3時，

(a b)3=a3 aab aba abb baa bab bba b3

對應于八卦:

當n=6時，

（a b）6=a6 aaaaab …… abbbbb b6

對應于64卦。

5.八卦與概率論

在《周易》中，按陰陽爻的比例，可将六十四卦分為七種，其數量分别如下（高考題即在此列）：

故而各部分出現的概率并不相同，通過搖卦的人大部分搖到的是中間那一部分的“卦”，不同的時刻、空間搖到的也并不相同，如果真的以此為準繩恐怕會偏離太多吧（每一卦的概率是一樣的，都是1/64）！

《說卦傳》中說：“觀變于陰陽而立卦”，卦取動不取靜，事情的變化受外界的幹擾太多，恐怕非一卦所能概括完的，所搖之卦不過說了事情的發展變化之一罷了，還未必是它最有可能變化的方向。為什麼算卦重在解卦，就看誰“蒙”的準了，當然“蒙”也是有原理和技巧的。

6.八卦與群論

從數學上講，一個群隻不過是可以通過乘法聯系到一起的一組變換。我們首先對一堆以某種方式聯系的對象作明确規定（定義），對象也就是群的成員，即“元素”。這些元素按照變換規則組合起來，此規則必須具有三個性質：A、封閉性，如果兩個元素按照變換規則組合起來，它必是生成群中的另一個元素。B、恒等性，必然有一個元素（稱為單位元或單位變換），它使任何與之組合的變換都保持不變。C、反演性，每個變換具有一個逆變換，它消除了原變換中一個元素上的作用。

八卦其實是講究先後秩序的群乘法結果，（陰 陽）（陰 陽）（陰 陽）=（陰陰 陰陽 陽陰 陽陽）（陰 陽）=（陰陰陰 陰陰陽 陰陽陰 陰陽陽 陽陰陰 陽陰陽 陽陽陰 陽陽陽）=坤 艮 坎 巽 震 離 兌 乾，也就是易經中的乾一兌二離三震四巽五坎六艮七坤八之說。

如果把八卦中的陰爻記做-1，陽爻記做1，那麼八卦集A={乾、坤、震、艮、離、坎、兌、巽}就可以改寫成符号集B={111，-1-1-1，-1-11，1-1-1，1-11，-11-1，-111，11-1}，如果在集合B上定義一個二元代數運算叫做乘法，乘法運算如下：

從上表可以看出，B滿足群的條件，就是說B構成了一個群，姑且命名為伏羲八卦群。容易看出，上表與四元數群的群表有完全相同的構造，于是得到一個美妙的結論：伏羲八卦群與四元數群同構。伏羲八卦群的乘法法則不僅反映了作為群的元，其間的變易法則，而且通過對應爻上的規律性隐含着群的元内部陰陽變易與轉化法則，這就決定了伏羲八卦群連同其一系列推論将有着廣泛而重要的應用。

另外八卦與數學還有着其他的關系，比如：在數學上，四象可以對應直角坐标系的四個不同的象限，八卦可以對應空間直角坐标系的八個象限；維度與八卦等等不再多述。

八卦的美感

八卦圖是我國祖先的一種人工語言,也是一種深奧精巧的數學結構,蘊涵着一種極其豐富的數學之美。

中國古代的科學美學思想比較講究和諧與平衡,但這種和諧與平衡并不像古希臘科學美學思想那樣偏重于靜态肅穆,而是偏重于變化的動态平衡。中國古代的人們更欣賞世間萬物在相互作用、共同促進中所表現出來的動态美。《周易·系辭》說:“易有太極,是生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦…”

我們取“太極”(用1表示)、兩儀,四象,八卦這15個元素及推廣為頂點,可連成如圖1的一個“金字塔”，給人以一種整齊對稱的美感。把其代表的數字系數可列為下圖楊輝三角。

高考題的卦數分布數值與第6行完全一緻。

在《周易·系辭上》說:“言天下之至動而不可亂也”，“拟議以成其變化”……無不是說

八卦表象的是動态的事物，描述的是事物的變化，關注的是變化的過程，變才是世界的根本，不變隻是表象，八卦體現的是一種動态美。

如《周易·乾卦》從“潛龍勿用”到“現龍在田”，到“終日乾乾”，到“或躍在淵”，到“飛龍在天”，到“亢龍有悔”，最後到“群龍無首”。無不體現了事物的變化過程及人在這個過程中應該注意的事項，最後告訴我們實際上沒有什麼真正的結束，隻是另一個過程的重新開始。

八卦文化的魅力

八卦從産生、發展至今,已經越來越引起中外哲學家和科學家的重視，比如用它來反映一年的氣候，用它來拟化萬物的運動發展，甚至用它來滅敵制勝等。而八卦圖更是随處可見，如量子力學的哥本哈根派以八卦圖作為他們學派的标志,韓國以八卦圖作為他們的國旗（隻用了乾坤坎離四卦，表示春分、秋分、夏至、冬至四個節氣，顯示其是個農業國家）,蒙古國的國旗上用到了八卦圖，這都說明八卦圖具有超凡脫俗的美感，八卦是文化中最有價值的文化之一。而八卦與衆多數學分支的聯系,還有待我們繼續挖掘整理。

韓國國旗

蒙古國旗

保羅·戴維斯在《上帝與新物理學》中談道：“人們長期以來所寵愛的信仰：宇宙是按照一個單一的質樸的、具有驚人的優美的數學原理運行的”，八卦可能就是這個“規律”，讓我們為自己祖先創造重了這具有豐富哲學和科學内涵的八卦文化而感到自豪吧！

我們要用善于發現的眼睛去看待數學，這樣才能夠體會到日常生活中無所不在的數學美感，

我們應繼續把八卦文化發揚光大。