《找次品問題》的求解方法
《找次品問題》的求解方法
湖南衡東 許嶽飛
還是從比爾·蓋茨與81個玻璃球的問題說開來吧。
（1）小比爾·蓋茨的問題：這兒有81個玻璃球，其中有一個球比其他的球稍重，如果隻能用天平來測量，至少要稱多少次才能保證找出來呢？
（2）如果不知道次品玻璃球與标準球的輕重，同樣隻用天平來測量，至少要稱多少次才能保證找出次品玻璃球來？
怎樣用天平來測量次品？就是要用天平稱量時的“平衡”與“不平衡”來判斷研究對象的情況。“平衡”判明沒次品；“不平衡”判明次品就在這裡。本題要求最少的稱量次數，顯然還要找出一個解決問題的最優策略，也就是要讓天平每稱量一次能判斷的研究對象個數最多，最終達到稱量次數最少的目的。實際操作起來就是把研究對象怎樣分組，分成多少組的問題。
怎樣分組？有平均分（對于不能平均分的數量，讓數量多的組多1個，少的組少1個），任意分兩種分法。比較起來隻有平均分才能讓“平衡”與“不平衡”說明研究對象的情況（任意分時，天平兩邊數量不等，“平衡”已不可能，“不平衡”也不能判斷出問題），所以選擇平均分法。
分成多少組？有分成2組、3組、4組、5組等多種分法。因為天平有兩個托盤，每稱量一次能放上兩組研究對象，最多能判斷出3組的情況（既能判斷出天平上兩組的情況，還能判斷出天平外一組的情況。若平衡，次品就在盤外那組中；若不平衡，盤外那組中就無次品），所以隻有分成2組或3組才能使天平每稱量一次包括研究對象的全部，其他組數達不到這個要求——舍棄。再比較2組分法、3組分法的優劣：把2組分法、3組分法上次稱量判斷出的問題組對象再分别2等分之、3等分之。可以得出下次稱量時天平每邊的對象數量，3組分法的遠比2組分法的少。繼續稱量下去，顯然，3組分法的稱量次數要少，更符合最優策略。
綜合起來，就是選擇平均分成3組的分法。
用天平稱量的方法找次品有什麼規律？
因為采用的是三等分法，則每次稱量都是把上次找出的問題組對象三等分之進行研究，且最後一次找出次品時，天平兩邊各隻有1個研究對象，所以從天平兩邊各放1個研究對象開始逆推找規律。
天平稱量法找次品統計表
次數 |
最多判斷出研究對象的個數 |
1 |
3=31（1，1，1） |
2 |
3×3=9=32（3，3，3）（1，1，1） |
3 |
9×3=27=33（9，9，9）（3，3，3）（1，1，1） |
4 |
27×3=81=34（27，27，27）（9，9，9） （3，3，3）（1，1，1） |
|
|
一般地，用天平稱量n次，能判斷出研究對象的最多個數Y=3n。
上面研究的都是“最多”數量的情況，不滿足“最多”條件的數量情況如何呢？比如4、12情況怎樣？
先研究4：因為天平稱量1次最多隻能判斷出3個，所以要再稱量1次，一共2次才能有保證。[平衡2次：（2，1，1）→（1，1）。不平衡1次：（2，1，1）。]
再研究12：天平稱量2次最多能判斷出9個，所以也要再稱1次，一共是3次才能有保證。[平衡3次：（4，4，4）→（2，1，1）→（1，1）。不平衡2次：（4，4，4）→（2，1，1）]
一般地，用天平稱量法找次品，當研究對象的個數Y滿足關系式3n-1＜Y≤3n時，最少要稱量n次才能保證找出次品。
現在回頭解答比爾·蓋茨與81個玻璃球的問題。
問題（1）小比爾·蓋茨的問題：這兒有81個玻璃球，其中有一個球比其他的球稍重，如果隻能用天平來測量，至少要稱多少次才能保證找出來呢？
因為81=34，所以最少要稱4次才能保證找出次品。
問題（2）如果不知道次品玻璃球與标準球的輕重，同樣隻用天平來測量，至少要稱多少次才能保證找出次品玻璃球來？
先測出次品玻璃球是重了還是輕了：
分組81÷3=27（27，27，27）
1次——任取兩組過天平，有“平衡”與“不平衡”兩種情況。
研究“平衡”情況既是“平衡”，就判斷出次品在天平外那組中。
2次——任取已過天平一組與天平外那組同稱，肯定不平衡。若原天平外那組重些，就判斷出次品比标準球重，否則，次品就是比标準球輕。
研究“不平衡”情況既是“不平衡”，就判斷出次品已在天平中，天平外那組是标準球。
2次——取較重的一組與天平外那組同稱，有“平衡”、“不平衡”兩種可能。若“平衡”就判斷出次品球比标準球輕；若“不平衡”就判斷出次品球比标準球重。
綜合以上研究得出：最少稱2次才能知道次品球在那組中，也才能知道次品球比标準球是重些還是輕些。此時，次品所在組有球27個。因為，27=33，所以最少再稱3次才能保證找出次品球來。
一共是2+3=5（次）
例：若73個零件，其中有一個比其他的零件稍重，如果隻能用天平來測量，至少要稱多少次才能保證找出來呢？
解：因為33＜73≤34，所以最少要稱4次才能保證找出次品。
[平衡4次：（25，24，24）（9，8，8）（3，3，3）（1，1，1）。不平衡4次：（25，24，24）（8，8，8）（3，3，2）（1，1，1）]
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