當美與數學相遇時——欣賞我們身邊的12個迷人之數(第二部分)
如果你是美劇《生活大爆炸》迷的話，就一定聽說過謝耳朵關于為什麼 73 是完美數的演說，以下是原話：
“73 是最好的數字。為什麼呢？73 是第 21 個質數，它的對稱數字 37 恰是第 12 個質數，而 12 的對稱 21 則是由 3×7 産生。
“73 的二進制 1001001 也恰是個回文數，正過來倒過去都是 1001001。”
這句話取自第十季第四集的節目，巧合的是這是第 73 集中的台詞。
7. 自然對數函數的底數e自然對數函數的底數 e，又稱歐拉數。這個以瑞士數學家萊昂哈德·歐拉命名的無理數與 π 同樣重要。有趣的是，歐拉常數 e 已經被精确到 31415926535897 位(2020年12月5日記錄)。
e 的誕生來自于下面 17 世紀雅各布·伯努利在研究複利時所發現的公式：
對于上面式子考慮的極限值 e 到底是多少呢？伯努利并未成功算出，而是由 50 年後被歐拉攻破。歐拉不僅算出了 e 的 18 位數，并且還借助連分式的形式證明了 e 是一個無理數。
e 的連分數展開式如下所示，請觀察裡面的規律：
注意到其中的模式了嗎：
很多增長過程的問題都可以用指數函數 e^x 來模拟，并且這裡還有個很重要的性質——它與自身的導數恒等。
就這個性質下面是一個相關的數學小幽默圖片：
6. 斐波納契數
提到曆史上比薩的列奧納多這位人物，或許很多人都不曉得，不過如要說起他的外号就是斐波那契，那多數人肯定聽說過。而排名第六位的斐波那契數也因這位數學家的外号而聞名世界。
1202 年，斐波那契在所著《計算之書》研究了兔子繁衍成長率的問題，他用簡單的加法技巧創造了世界上最有趣的數列之一。順便說下，他還将現代數的書寫方式和位值表示法通過著書引入歐洲，這絕對也是非常重要的貢獻了。
公平地講，現在有證據表明早在 6 世紀印度數學家在斐波那契之前就知道這個數列，但我們仍然按照主流說法讨論，繼續稱之為斐波那契數列吧。
斐波那契數簡單地由滿足下面這個簡單的遞歸方程構成，并生成下面這個趨于無窮大的數列：
這個數列最美的地方在于它與自然界存在着緊密的聯系。舉個例子，人們可以在向日葵花盤能看到它的身影，也可以在雛菊花瓣觀察到它的蹤迹，以及小蜜蜂的築巢，等等等等……，它似乎大自然最深處的秘密裡處處隐現。
如果來觀察數列中相鄰的 2 個數，當趨近無窮時，它們的比值(x_n / x_(n-1))會越來越接近 1.61803398，也就是我們常說的黃金比例，我們會在後面再單獨讨論這個美麗的數。
5. 數字 23
許多人都看過這樣的一部電影：金·凱瑞主演的《靈數23》。男主自從讀過一本帶有數字 23 的書，他似乎就被數字 23 纏上了。奇怪的是這個數字和他生活中很多事情似乎有神秘聯系，影片中這個數字這似乎是通靈的完美例子。
而在數學裡，有個與一般直覺相抵的生日問題。它指的是隻要有23人，這群人裡有兩人同一天生日的機率就會大于50%。
如果有懷疑的話，不妨動手來一起算下。求出至少兩人生日相同，重點在于算出每個人生日都不同的概率。
其中 p'(n) 就表示 n 個人中，每個人的生日日期都不同的概率。
計算可得，當 n=23 發生的概率大約是 0.507。順便提一下，如果總共有 70 個人概率就會高達 99%。
4. Pi(π) 與 Tau(τ)數學中最耀眼的明星陣營裡必有圓周率的身影，人人都認識這個數。它是圓的周長與直徑之比，如果畫一個直徑為 1 的圓，它的周長就等于 3.14159…。人們把這個無限不循環小數用字母 π 表示。
暫時不管這個中學時期的概念，先來看看下面這兩個有關 π 的事實：
它的小數部分是無限不循環的。
我們都知道 π 的近似值是 22/7，但我們沒法給出一個分數精準的描述 π，因為它是一個無理數。
那麼為什麼還要提 τ 呢？τ 被稱為圓常數，其值為圓的周長與半徑之比。一些數學家支持用 τ 來代替 2π，也就圓的周長與半徑之比。因為很多問題中 2π 頻頻出現，這樣做能更便于計算和表達跟圓有關的問題。
3. 歐拉恒等式這就是為什麼我在标題中用了'美'這個詞。難以想象，數學中一些最美麗的概念，竟然有這麼簡潔的形式。先來回顧一下之前提到的的概念：
自然對數函數的底數 e。
虛數單位 i。
圓周率 π
上面這三個數就可以組合成下面這個方程，并得出 -1 這個簡單結果。
怎麼從這三個數學常數得到 -1 的呢？正如前面介紹那樣是 i 擁有了把 2 變成 -1 的力量。歐拉恒等式是歐拉公式的一種特殊形式，後者如下所示：
把歐拉公式繪制到複平面上（以實數軸和虛數軸建立坐标系），就會得到一個單位圓。
如果令 x = π, 我們就會得到如下方程：
了解到 cos π = -1 以及 sin π = 0, 右邊就會出現 -1：
還可以通過等價變換來讓方程變得更漂亮一點：
這樣就更加深刻，包含了數學中 5 個最重要的數學常數：0、1、e、π 和 i。并且包含了三種最基本的算術運算：加法、乘法和幂運算。絕對令人驚訝的是，這些看似無關的數都被這個簡潔的公式聯系起來。
2. 數 61746174 是卡布列克常數(以印度數學家D. R. Kaprekar命名)，又稱黑洞數。這個數有很有趣的特點，一個四位數如果按下面的方式反複計算，就會得到很神奇的結果。
取任意一個至少有 2 位數不同的四位數。
分别把這個四位數按升序和降序的方式重新排列，會得到兩個新的兩位數。
現在用這兩個數中大數減小數。
如果不等 6174，重複第二步。
如果循環的次數足夠多，最終會得到 6174。為什麼無論選什麼數字，都會得到 6174，這就是神奇之處了。可以另外再看幾個示例，先用 2714 做個實驗算下看看吧：
7421 -1247 = 6174
換個數字，再拿 3678 試一試：
8763 -3678 = 5085;
8550 -0558 = 7992;
9972 -2799 = 7173;
7731 -1377 = 6354;
6543 -3456 = 3087;
8730 -0378 = 8352;
8532 -2358 = 6174
這些數就像被吸入到黑洞裡某個固定點中，故像 6174 這樣的數也被稱為黑洞數。而其他位數的數字也有類似的情況，比如 9 位數中有 2 個黑洞數： 554999445 和 864197532，感興趣的朋友可以算下。
6174 還屬于哈沙德數(Harshad number)，也被稱為尼雲數，是指能夠被其各個數位上的數字之和整除的自然數：例如 6174/(6+1+7+4)=6174/18=343。這就又為該數添了一筆神秘色彩。
1. 黃金比例之前提及過這個黃金比例，但這可能是世界上最為重要的比例，以下是它的一些有趣的特性：
1.618… 與 0.618… 互為倒數，也就是 1.618… 的倒數是 0.618…，0.618… 的倒數是 1.618…，人們稱兩者為黃金比例共轭。可以有這個式子表示出來：1/ϕ≈1+ϕ
它在自然界中廣泛存在（就像前面提到的那樣）。有些樹的生長就是很好的例子，樹幹先是自由向上生長，長着長着它就擁有了一個分叉，于是産生了 2 個新的起點，其中一個起點會長出 2 個是新的分叉起點，而另一個則不會。這個模式這個規律就好像是斐波那契數列一樣。
黃金比例廣泛存在于幾何學中，許多建築和藝術品中都含有黃金比例。希臘的巴特農神廟就是典型的例子。
五角星内部也暗含着黃金比例。
上面就是所介紹數學上 12 個有趣之數，希望通過本文這一簡短的探索之旅，能讓對面的你能像數學家一樣欣賞數學之美，或能從一個新的視角來觀察周圍的環境并找到隐藏的美麗。
創組團隊 | 編譯：小白 校對:小白，公理
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