牽星術測量北極與子午線

關于牽星術的明确記載，始見于《周髀算經》，《周髀算經》一書是中國現存最早的數理天文學著作，其中包含有一些古老的天文資料，該書有可能定型于戰國時代，也有人認為其成書于西漢。書中卷下有二處涉及牽星術的地方，分别為測定北極極樞和二十八宿距度的方法。

關于極樞的測量，其術為：

“欲知北極樞，旋周四極。常以夏至夜半時北極南遊所極；冬至夜半時北遊所極，冬至日加酉之時西遊所極，日加卯之時東遊所極，此北樞璇玑四遊。正北極樞璇玑之中，正北天之中。正極之所遊，冬至日加酉之時，立八尺表，以繩系表颠，希望北極中大星，引繩緻地而識之。又到旦明，日加卯之時，複引繩希望之首，及繩緻地而識，其兩端相去二尺三寸，故東西極二萬三千裡。其兩端相去，正東西。中折之以指表，正南北。”

我們知道，天穹北極一般很難有一顆亮星作為準确的北極标志，我們所謂的北極星，都沒有真正處于北極，隻是距離北極最近的亮星。

古人要找到北極，必須通過測量其它星來推定北極的位置。這裡是選擇北極附近的大星，作為觀測對象。這顆大星環繞極樞作周日視運動，其處于極樞東西南北四個位置時，稱之為璇玑四遊，測定璇玑四遊，極樞即處于“璇玑之中”。即得于四遊的交叉點上。

測量時在地中立一表，表高八尺，在表的頂部拴一條繩子，牽直并移動繩子，讓眼睛順繩子望去，使表頂與被瞄準的北極旁的大星處于一條線上。這時在地上标出繩子與地面的交點。這種瞄準測量技術，古代著作中稱之為“參”或“參照”。

經過不同時間先後測量，可在地面獲得大星在極南、極北、極東、極西四個測量點位，其中最有意義者是東西兩點，兩點間聯線取中，即為極樞在地面的測量點位。從這一點出發，通過表頂，所望到的天區即為極樞所在處。

如果測量者取極樞至極樞在地面的測量點之間的聯線在地表上的投影線，就是立表處的南北子午線。當然，該處子午線也可直接從垂直立表之根部至極樞在地面的測量點位獲得。

有了這樣的表與子午線，觀測者還可以利用牽星術進行中星觀測。經度，子午線就是經度，對于中國來說，推定北極、及測量子午線并不成問題，而是早就知道的事情！

中國古人習慣于中星觀測，這個天文傳統決定了與其相關的用事制度的形成。

事實上，子午線不僅在公元前5000年就已為先民所認識，中國古代應用圭表就可以測量北極方向，也能測量子午線，《周髀算經》中有記載如何使用圭表測量子午線的方法，

隋代劉焯力主實測地球子午線。源起是中國史書記載說，南北相距1千裡的兩個點，在夏至的正午分别立一八尺長的測杆，它的影子相差一寸，即“千裡影差一寸”說。劉焯第一個對此謬論提出異議。

後于724年，唐張遂等才實現了劉焯的遺願，并證實了劉焯立論的正确性。（他在《皇極曆》中，他首次考慮視運動的不均勻性，并主張改革推算二十四節氣的方法，廢除傳統的平氣，使用他創立的定氣法。）

至唐代的僧一行完成了人類曆史上第一次對子午線長度的測量，證實了《周髀算經》的“千裡差一寸”的說法是錯誤的！

直至利用北極星、子午線的牽星術進行航海定位，宋元明時代都有應用及發展！

牽星術就是利用北極星高度角來獲得當地緯度的，這是中國早就知道的！

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測角儀：“牽星術”、四分儀、六分儀

我們可以看到《坤輿萬國全圖》其中幾處提到了北京的緯度是40度，究竟是怎麼得出來的呢？

北京（京師）的緯度是40度：

此段内容在《坤輿萬國全圖》卷首處部分，其中：

“又用緯線，以著各極出地幾何。蓋地離晝夜平線度數與極出地度數相等，但在南方，則著南極出地之數，在北方則著北極出地之數也。故視京師隔中線以北四十度，則知京師北極高四十度也。”

其實這裡應用了“牽星術”原理，“牽星術”又名“過洋牽星術”，一種利用星星進行導航的航海技術，一句話概括，它是一種測量所在地緯度的技術，在大海航行時使用，可以有效地進行導航。

“牽星術”，具體來說，就是使用簡單的測角儀，從而來為船隊定位。其實，也就是古代的“勾股測量法”哦！

星體在天上好比燈塔，如能分别測出兩座燈塔的基點（這種基點稱為“星下點”——星體與地心的連線和地球表面上的交點）與航船的距離，就能得到航船的大緻方向和位置。但測星定位受天氣影響很大，看不見星體時就無法使用，所以，也需要指南針等其他輔助。

圖 牽星術中用于定位的“星下點”

它的原理是什麼呢？

衆所周知，所謂緯度，就是地球上某點和地心連線與赤道面之間的夾角。

圖 牽星術“A點的緯度就是AO與赤道面的夾角，也就是∠1。”

A點的緯度就是AO與赤道面的夾角，也就是∠1。然而，我們知道北極星是在地球自轉軸上的，（如圖中，紅色的北極星在紅色的地軸上）。且北極星距離地球無限遠。

那麼，點A和北極星的連線就和地軸平行，如此，很簡單就可以證明出，點A和北極星連線與地面的夾角∠2就等于∠1。——也就是說，在地球上某地觀測到的北極星仰角，就是該地的緯度。所以，測量緯度就是如此簡單，隻要我們測出北極星的仰角就成了。

而這個原理，據說“古希臘”《天文學大成》中記載阿拉伯人“發明”四分儀，然後六分儀的原理是牛頓“提出”的。

四分儀就是四分之一圓的一個量角器，上端有兩個小孔，可以通過小孔去觀測星星。還有一根通過圓心的鉛垂線，通過小孔看到北極星後，鉛垂線所标出的角度，就是北極星的仰角，即本地緯度。

圖 四分儀

根據圖上所示，其實應用了中國的“勾股定理”，也是中國牽星術的原理。

牽星術測量的原理是“勾股定理”，中國古代測量中運用的最廣泛的是勾股弦三角測量。其原理即是勾股定理，古人将其簡化為勾三股四弦五來表示三邊的這種關系。

實際上，“勾股測量法”（“勾股測望術”）來自于天文，這是最早的天體測量學，即便現在也在使用。後來在徐光啟、利瑪窦等人的改名換姓後，變成了西方的“幾何”，這樣一來中國人就難以發現兩者聯系的秘密了呢！

在直角三角形中，其直角兩邊分别稱為“勾”“股”，斜邊稱“弦”，這種名稱的來源與測量有關。

《周髀算經》中的髀就是股。髀字本義指腿，引申為立表，漢人蔡邕即認為髀就是表。弦就是弓弦，在這裡就是表頂牽扯至地的測繩。在直角三角形中指的是斜邊。标有尺寸的測繩是一種古代重要的測量工具，古書中一般稱之為繩，如“準繩”，與表相配合者也有稱“綴”者，如“表綴”，亦有稱索者。

中國古代著名的數學著作《九章算術》中有這樣的題目：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？古人稱表端為末，表底為本。這種測量方法與牽星術是相同的。

《隋書·天文志》記有梁代尚運用的“推北極裡數法”，其術為：“夜于地中表南，傅地遙望北辰紐星之末，令與表端參合。以人目去表數及表高自乘并而開方除之為法。”

這種在立表頂端系繩用于測量的方法在這裡再次得到體現。弦（繩）從表頂斜扯至地面，所以，弦在測量中代表直角三角形的斜邊。其次說勾，古文多寫為“句”，這也是最難解之一，在直立的三角測量中，勾一般都是指地面上的直角邊。為什麼稱此邊為勾，主要是從三角測量中所用的測勾而來。

要說到測勾，就必需講至測矩。

中國古代測矩的出現，又比早期的表繩測量進了一步。因為矩本身帶有直角，其邊上還刻有尺度，隻要擺放得當，運用起來，即可以取代圭表與繩的測量方法，同時，其攜帶與運用也比表繩方便得多。

但是矩在測量中變換測量角度很不方便，于是就有了帶繩鈎的矩。值得注意地是，矩的勾股邊尺寸和形狀一般是固定不能變化的，但在這裡，其勾的高度是可以變化的，如何變化，其具體形式，我們目前不好推測，大緻推測矩的一邊上，設有可以移動的鈎。

應用時将與股端相連的繩挂在鈎上，移動鈎繩進行測量，以改變測量三角的形狀。也可以不設繩，直接從鈎端處測望。《周髀算經》雲：“是故知地者智，知天者聖。智出于勾，勾出于股。”這段文字是說三角測量中的勾股測量，股上有勾，勾上有數，見數而知天地，知天地者為聖智。

這也說明，古人對于能進行天文地理測量如此，則在立表牽繩中，立表為股，牽繩為弦，測鈎為鈎，鈎同勾，勾股弦之得名蓋在乎此。其法與牽星術同出一源。

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為什麼看北極星的仰角等于當地的緯度？

一方面，因為北極星離我們太遠了，遠在434光年之外，比地球繞日軌道遠的多，所以從地球上看，它的位置幾乎不變，我們就不用擔心地球公轉帶來的視差了，因此自古以來，人們經常使用北極星的星光導航。

這是因為北極星在地球轉軸的延長線上，因為北極星距離地球遠在434光年，作為測量，可以認為北極星是無限遠的一點。這樣我們在地球的其他位置看北極星的方向，和地軸方向就是平行的。

因為一個位置的緯度，就是這個位置和地心連線，與同經度赤道位置和地心連線的夾角。而我們測量北極星得到的夾角正好等于我們所在的緯度夾角。所以隻要測出北極星的仰角，就是我們所在位置的緯度。

北極星的仰角等于當地緯度，這個命題的前提其實是北極星距離地球足夠遠，遠遠大于地球半徑。基于這個前提，北極星的光線會近似于平行的射在北半球上（北極星在地球北極的地軸延長線上）。

也就是說，從北半球上任意位置看北極星，北極星都是在同一個方向。明白了這一點後，就可以簡單驗證了，如圖三個紅色标出來的角，依次用平行線和互餘的知識可以證得三個角相等，所以得出結論：在北半球看北極星，北極星的仰角等于當地緯度。

圖 北極星的地平高度（天體仰角）＝當地緯度

換句話說，我們站在地面上（或者海平面上），極目遠眺，如果沒有遮擋物，會覺得地面或海面無限向遠處延伸，形成了所謂的地平線或者海平面。

但實際上，地球是個球體，我們所認為的地平面或海平面，隻是假想出來的一個平面，它與地球的大圓相切。我們站着的這個平面上與它垂直，并一直指向地球的球心。

也就是說，測量當地北極星的高度角，從而就能得到當地的緯度。

圖 測量北極星高度角示意圖

我們測量北極星的高度角，也就是它與地面的夾角，其數值就正好等于：我們所在的位置到地心的連線與赤道面的夾角。而後者正好是地球緯度的定義。

圖 北極星光射來方向漸變動态圖

随着觀測者從赤道走向北極，所處位置測量的北極星與地平面夾角θ1逐步增大，而與地心連線和赤道的夾角θ2保持一緻。

如果在北半球，仰角的度數就等于自已所處的緯度。如果在南半球，是看不到北極星的。

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“牽星術”、六分儀，及“看北極法”的原理

在《坤輿萬國全圖》中，其實介紹了該法，即“看北極法”：

“用平圓版，一面或銅或木，務要平整，愈大愈佳。中挂一線，線端墜一丸子，以求其直。中心畫十字線，此直線即天頂也，橫線即地平也。

此線以上為地上，從中心以規運一大圈，以當天之圓體。十字間勻作四停，每停畫成九十度，共刻成三百六十度。

用時，隻刻一停九十度，亦足矣。

如版式寬大，則每度分作六十分，更妙也。中心釘一量天尺、又可以旋轉者，中界直線，兩頭刻去一半，以看度分尺。

上離心三寸，置兩耳，耳中各鑽一小眼，務要兩眼直對，可以透望。

夜對北極望之，看在地在線幾十度，即知此地上北極出地若幹度，為此地離赤道若幹度。”

圖 量天尺（圭表）—《看北極法》（日刻版）

圖 牽星闆的測量原理

此法應用的原理正是：北極星高度＝當地緯度，即與“牽星術”定位所用原理是一樣的，但是，其“中心釘一量天尺，又可以旋轉者”，已經比從前測量子午線的儀器更先進了！

六分儀也是用此原理，隻是換成了鏡面，變成了：北極星高度角（天體仰角）＝當地緯度（反射角＝入射角）！

圖 六分儀原理示意圖

所以，“牽星術”、六分儀所用原理都可以這樣表示：

圖 牽星術、六分儀+“星下點”：北極星高度＝當地緯度01

圖 牽星術、六分儀+“星下點”：北極星高度＝當地緯度02

再加上，《坤輿萬國全圖》中的“看北極法”量天尺：“夜對北極望之，看在地在線幾十度，即知此地上北極出地若幹度，為此地離赤道若幹度。”

牽星術單位是“指”，“指”以下單位是“角”，一指等于四角。“角”可從牽星闆刻度讀出，或用小 象牙塊量得。

即，勾股測量法（勾股測望術）：北極星高度＝當地緯度，或者，北極星的高度角（天體仰角）＝當地緯度

因此，測量當地北極星的高度角（天體仰角）＝當地緯度！

所以，我們能夠測得北京的緯度是40°！（更精确的北京緯度由朱載堉測得，他是中國曆史上第一個精确計算出北京的地理位置(北緯39°56′，東經116°20′)的人。而《坤輿萬國全圖》的北京緯度尚是40度，說明繪制于朱載堉之前哦！）

明代的牽星，一般都是牽北極星，在低緯度（北緯六度）下看不到北極星時，改牽華蓋星（北極星是小熊座a星，華蓋星是小熊座β、γ雙星）。另外，還定出其它方位星進行觀測，如織女星、燈籠骨星等。

明代在航海中還定出了方位星進行觀測，以方位星的方位角和地平高度來決定船舶夜間航行的位置。當時叫“觀星法”，觀星法也屬牽星術範圍之内。

鄭和航海圖中記錄了大量的牽星坐标，如北辰星三指、燈籠骨星7指等，這些類似恒星高度角的觀測值記錄了某個地點的緯度值。航路點島嶼間的短距離航行過程中主要依據指南針的定向，以時間更數計程，觀測北辰等星座的目的是确定南北的偏移，接近目标時通過對景定位，觀測海島山峰的高度角判斷遠近，準确抵達目的地；在長距離跨洋航行時，則難以依靠羅盤定向航行，必須通過觀測一組恒星的高度角來控制航線，牽星跨洋來尋找目的地，這樣的圖稱為跨洋牽星圖。

海圖上共記錄了64處各地所見的北辰星和華蓋星的高度。同時，觀測的牽星記錄和測量的水深也都有記載。《鄭和航海圖》詳細記錄了我國船舶航行于東南亞、印度直到東北非的航程，直到16世紀初葡萄牙人在東南亞航行時，仍舊用我國的針路。

在此要說明的是牽星坐标是目的地的準确坐标值，通過一組恒星來控制緯度，這種方法在長距離跨洋航行中發揮着重要的導航作用。因為如果隻有指南針的話，在茫茫大海中，季風、海流、地磁變化等會使航向偏離，有了牽星觀測就會有效修正偏移差錯，準确抵達目标。

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《坤與萬國全圖》中的南北緯度數

在《坤與萬國全圖》黃赤道節氣部分也同樣提到了北京緯度是40度，不過内容略有差别。

圖 《坤與萬國全圖》黃赤道節氣示意圖部分

上圖也說了“假如右圖，京師地方北極出地平線四十度，則赤道離天頂南亦負四十度”，圖中也畫了“出地四十度”！

這裡面說的是北京是北緯40°，赤道南同樣位置為南緯-40°，而現在北京的緯度是北緯40°左右，和現在的說法一樣，證明測繪已經很精确了！

這幾處地方都說到了北京的緯度是40°，都是應用的“北極星高度＝當地緯度”得知緯度度數的，說明當時的中國人已經知道地理經緯度了，于現今表達方式并無差别！

或者說，其實，現在的天文地理知識是來自于中國古代才對！

而此時的西方尚未建立天文台，本初子午線更沒有，更别提西方一直無法确定經度，因其無“南”向，也無測量方向的儀器，它們自然不可能确定“經度”了，因此這隻能是中國自己的知識！

有了這些知識，繪制帶有經緯度的中國地圖，乃至世界地圖也是完全可以做到的，上面反複提到北京是北緯40°，還附有計算“太陽出入赤道緯度”的度數表，這想必已是長期觀測獲得的數據，那麼當時的明朝以此繪制精确的經緯度的中國地圖也是正常的！

其中“太陽出入赤道緯度”的度數表，這應該是反映太陽視運動的日躔表，以二十四節氣為引數，列出各氣内太陽的實際運動數，和平均運動數的差等各種有關數據。利用此表可以進行在從平朔改正到定朔時因太陽而産生的改正數。皇極曆是我國古代現存最早的完整的載有二十四節氣太陽視運動不均勻性改正數值表(日躔 Chán表)的曆法，其前身即張子信的“入氣差”。

中國曆法是陰陽合曆，觀察到“月行遲疾”後産生的“定朔法”，“日行遲疾”産生的“定氣法”計算太陽視運動出現日躔表，西方沒天文台就沒有積累，即便有了曆法和天文台，也與月亮、節氣無關，自然不可能有日躔表的觀測數據出現，時間也更加不夠呢！

如此，這種勾股測量法演變出“六分儀”，現在被認為是西方“發明”的，但是，我們知道西方古代一直不能測量經度，那就不可能是勾股測量法的發明者，更不可能突然在毫無基礎的情況下，“發明”出六分儀來。這隻能來自于中國。

六分儀的原理是：根據光學的基本原理光線的反射角等于入射角。由牛頓“首次”提出，利用最基本的光學原理，光經平面鏡反射後，入射角等于反射角這一原理，用于航海時利用太陽光來定位的一個儀器，在子午儀和無線定位出現前，應用比較廣泛，用于GPS定位。

六分儀外形是扇形，組成部分有一架小望遠鏡，鏡頭裡面有一半透明一半反射的固定平面鏡即地平鏡組成，一個與刻度指标相連的活動反射鏡即指标鏡。六分儀的刻度弧為圓周的1/6。

用來測量遠方兩個目标之間夾角的光學儀器。通常用它測量某一時刻太陽或其他天體與海平線或地平線的夾角，以便迅速得知海船或飛機所在位置的經緯度。

觀測者通過小望遠鏡觀望水平線，同時調較活動臂，讓天體（例如太陽）的光線剛好反射到小望遠鏡，這樣，太陽的影像便會和水平線重合。再查看刻度，便可知道太陽距離水平線的角度了。

六分儀是相當準确的儀器，能達到10角秒（1角秒即1度的1/3600 ）的精度，而實際定位則準确至1公裡左右。

圖 六分儀動态示意圖

使用時，觀測者手持六分儀，轉動指标鏡，使在視場裡同時出現的天體與海平線重合。根據指标鏡的轉角可以讀出天體的高度角，其誤差約為±0.2°~±1°。在航空六分儀的視場裡，有代替地平線的水準器。這種六分儀一般還有讀數平均機構。六分儀的特點是輕便，可以在擺動著的物體如船舶上觀測。缺點是陰雨天不能使用。二十世紀四十年代以後，雖然出現了各種無線電定位法，但六分儀仍在廣泛應用。

六分儀在目前的遠洋輪船上還有配備，作為應急測量船位用。其測量的原理是用六分儀測某顆星對水平線的角度，并查航海表，就可在海圖上得到代表船舶所在位置的一條線，連續測量兩顆星，就能得到兩條線，兩條線的交叉點就是船舶所這位置。由于測量時各方面可能存在誤差，因此一般要求同時測量多顆星，得到多個船舶位置，真實的船位一般就在這些測量船位的中心。

在陸地上其定位功能和經緯儀有相似的地方。比如觀測定位一條船在河流的一個斷面上的位置。如果是使用經緯儀，則需要在河岸求一條和河流斷面垂直的線，在直角那個點插好标尺，利用經緯儀測出直角三角形的一個銳角和岸上已知長度的直角邊，可以确定船的位置。

和經緯儀比優點就是避免在岸上的輔助工作，不用岸上有人配合。缺點就是測量員必須有足夠的經驗，因為船在水面是搖擺不定的，站穩同時能夠瞄準兩個目标難得還是比較大的。

六分儀和子午儀可以用來确定位置：六分儀可以從太陽和星座的角度和高度來測量緯度，子午儀可以從子午線知道經度，來确定位置！（是在沒有GPS的情況下）

因此，當西方“發明”六分儀時，由于需要換算緯度，那麼顯然西方需要建立一套觀測經緯度的體系，而當時隻有明朝可以做到。現代西方隻是改成新的“經緯度”标準，其本質并未改變，所以，“經緯度”是從明朝中國傳入西方的！

至于，用六分儀測量北極星的仰角，可以測量位置的緯度的原理，這些都是應用的“牽星術”定位的原理，那麼就不能說阿拉伯人“發明”的四分儀，甚至六分儀的原理是“牛頓”提出的，而是中國人提出并應用于“牽星術”航海定位導航！

更準确的應該說，牽星術、四分儀、六分儀，乃至象限儀的出現，都是應用的中國的“勾股測量法”（勾股測望術），亦即徐光啟所稱之“幾何”。

geometric -- 幾何

　　geo -- 地理

　　metric -- 測量

實際上，geometric -- 幾何應稱之為“勾股測量法”，這是中國古代測量地日距離，天文測量所用。（這一點在<《機器與儀器的制造場》、《奇器圖說》與中國古代機械>文章中的“勾股與幾何”部分做了解釋。）

徐光啟所稱曆法的“北極高度”和緯度是等同的認識，其實這就是“牽星術”用于定位的“北極星的仰角＝當地的緯度”的知識，源于中國的勾股定理。

并非是徐光啟“首創”認識到将“北極高度”與緯度等同，牽星術應用到的“牽”北辰星，中國古代早就知道如何利用北極星定北向了，自然也就能夠知道如何測定子午線，即0度經度。而牽星術也與勾股定理有關，理所當然能夠得出“北極高度”＝（當地）緯度的概念！

從唐代《大衍曆》開始，傳統曆法中已經引入“服差”的概念——北極高度對日食的影響的相應算法，所以地理經度對曆法推算也有影響，因此天文曆法與地理測繪才緊密相連的！