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楊輝算法

宋楊輝(詳見《詳解九章算術》)撰。《楊輝算法》為楊輝後期三部算書的總稱,其包括《乘除通變本末》三卷(1274),《田畝比類乘除捷法》二卷(1275),《續古摘奇算法》二卷(1275)。對這三部書的編著楊輝說:“學者粗知加減歸倍之法,而不知變通之問,遂易代乘代除之術,增續新條,目之曰《乘除通變本末》。及見中山劉先生益撰《議古根源》,演段鎖積,有超古入神之妙,其可不為發揚,以俾後學,遂集為《田畝簡法》。通前共刊四集,自謂斯願滿矣。一日忽有劉碧澗、丘虛谷攜諸家算法奇題及舊刊遺忘之文,求成為集,願助工闆刊行。遂添摭諸家奇題與夫繕本及可以續古法草總為一集,目之曰《續古摘奇算法》”。《乘除通變本末》三卷各有名稱:上卷《算法通變本末》專講乘除;中卷《乘除通變算寶》論加減、求一、九歸諸術;下卷《法算取用本末》乃中卷的注釋。在《算法通變本末》卷首列“習算綱目”,為我國迄今所見的最早的數學教學計劃。在此楊輝主張數學教育要“須責實有”,密切聯系實際;在教學方法上應循序漸進,他具體規定了學習内容與日程,認為先學會運算,再鑽研算理,他說:“依法求日下兩三問,且未要窮理,但要知如何發問,作如何用法,答題如何用乘除。

”在學習方法上要精思熟慮,融會貫通,抓住重點。他說:“治分乃用算之喉襟也,如不學則不足以知算。”“須讨論用法之源,庶久而無忘矣。”在學習過程中他強調計算能力的培養:“夫學算者題從法取,法将題驗,凡欲明一法,必設一題。”“習算綱目”至今對數學教育仍有一定的意義。《算法通變本末》中楊輝還提到幾個級數求和問題,有三角垛兩問,四隅垛一問,其公式與《詳解九章算法》卷六之公式相同。在《乘除通變算寶》中楊輝系統叙述了唐宋相傳的“加法”、“減法”與求一代乘除說。他給出了加法代乘的“加法五術”、“加一位”,乘數十位是1的用之;而乘數百位、十位都是1的用“加二位”;乘數可分為兩個十位為1的因數可用“重加”;若乘數百位為1、十位為0者用“隔位加”;乘數十位為2或百位為2的用“連身加”。還有“減法四術”,即減法代除:減一位,減二位,重減,隔位減。若乘除首位不是1時,可加倍或折半,使首位變成1後再行計算,這就是“求一乘”,“求一除”,其歌訣為:“五六七八九,倍之數不走,二三須當半,遇四兩折扭。倍折本從法,實即反其有,用加以代乘,斯數足可守。”對于不同位數的乘數、被乘數,楊輝總結出不同的計算方法共六種:單因、重因、身前因、相乘、重乘、損乘,這些捷法的要點在于化多位數相乘為一位數連乘,化乘法為加減法,籍以提高計算效率。

對于除法簡便運算,楊輝叙述了“九歸捷法”,在當時流行的四句“古括”的基礎上,他添注三十二句新口訣,将九歸歌訣精簡為三類。在此基礎上逐步發展成為珠算中的歸除法。《田畝比類乘除捷法》上卷為《詳解九章算法》方田章的繼續,但所據各田的比類并無重複,不為《九章》框框所限,舉例更加切合實際;下卷主要是對《五曹算經》的批評,認為該書中有些題目法草公式不合,題問概念不清,“方五斜七”施諸田畝有失精确等,首開對前輩算家的批判之風,後明代王文素、程大位等算家亦行效仿。在《田畝比類乘除捷法》中楊輝還引用劉益《議古根源》中的不少問題,計有直田十問,方田圓田一問,重修議古截田八問,錢田三問;同時還引用他所掌握的台州、黃岩圍量田之實例,保存了宋代的數學史料。《續古摘奇算法》卷上論縱橫圖,古法有“九宮”,唐後稱“洛書”,楊輝始創“縱橫圖”,即幻方。卷上作縱橫圖十三幅,其中有:洛書數,花十六圖,花十六陰圖,五五圖,五五陰圖,六六圖,六六陰圖,衍數圖,衍數陰圖,易數圖,易數陰圖,九九圖,百子圖。此外還錄有聚五圖,聚六圖,聯八圖,攢九圖,八陣圖,連環圖,為縱橫圖衍化發展而得。楊輝還略述了某些縱橫圖的構造方法,如洛書造法,四四陰圖的易換術等,發現并概括了縱橫圖的構成規律,是幻方史研究的珍貴資料。

該書卷下說《海島》,有一定價值。《續古摘奇算法》乃楊輝編輯成書,非精心自著,故内容蕪雜。體例不一,卷上将六十甲子納音的計算作為數學而收入,顯得不倫不類,《楊輝算法》對後世頗有影響,并流傳到日本、朝鮮。其價值在于總結發展了唐宋間的各類捷算法,提供了數學教育的史料,保存了一批宋朝數學史料。《楊輝算法》版本有明洪武十一年(1378)古杭勤德書堂刊本,現存北京圖書館的是朝鮮李朝世宗十五年(1433)的複刻洪武本;1842年《宜稼堂叢書》本;1936-1939年商務印書館《叢書集成初編》本。

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