楊輝算法

宋楊輝(詳見《詳解九章算術》)撰。《楊輝算法》為楊輝後期三部算書的總稱，其包括《乘除通變本末》三卷(1274)，《田畝比類乘除捷法》二卷(1275)，《續古摘奇算法》二卷(1275)。對這三部書的編著楊輝說：“學者粗知加減歸倍之法，而不知變通之問，遂易代乘代除之術，增續新條，目之曰《乘除通變本末》。及見中山劉先生益撰《議古根源》，演段鎖積，有超古入神之妙，其可不為發揚，以俾後學，遂集為《田畝簡法》。通前共刊四集，自謂斯願滿矣。一日忽有劉碧澗、丘虛谷攜諸家算法奇題及舊刊遺忘之文，求成為集，願助工闆刊行。遂添摭諸家奇題與夫繕本及可以續古法草總為一集，目之曰《續古摘奇算法》”。《乘除通變本末》三卷各有名稱：上卷《算法通變本末》專講乘除；中卷《乘除通變算寶》論加減、求一、九歸諸術；下卷《法算取用本末》乃中卷的注釋。在《算法通變本末》卷首列“習算綱目”，為我國迄今所見的最早的數學教學計劃。在此楊輝主張數學教育要“須責實有”，密切聯系實際；在教學方法上應循序漸進，他具體規定了學習内容與日程，認為先學會運算，再鑽研算理，他說：“依法求日下兩三問，且未要窮理，但要知如何發問，作如何用法，答題如何用乘除。

”在學習方法上要精思熟慮，融會貫通，抓住重點。他說：“治分乃用算之喉襟也，如不學則不足以知算。”“須讨論用法之源，庶久而無忘矣。”在學習過程中他強調計算能力的培養：“夫學算者題從法取，法将題驗，凡欲明一法，必設一題。”“習算綱目”至今對數學教育仍有一定的意義。《算法通變本末》中楊輝還提到幾個級數求和問題，有三角垛兩問，四隅垛一問，其公式與《詳解九章算法》卷六之公式相同。在《乘除通變算寶》中楊輝系統叙述了唐宋相傳的“加法”、“減法”與求一代乘除說。他給出了加法代乘的“加法五術”、“加一位”，乘數十位是1的用之；而乘數百位、十位都是1的用“加二位”；乘數可分為兩個十位為1的因數可用“重加”；若乘數百位為1、十位為0者用“隔位加”；乘數十位為2或百位為2的用“連身加”。還有“減法四術”，即減法代除：減一位，減二位，重減，隔位減。若乘除首位不是1時，可加倍或折半，使首位變成1後再行計算，這就是“求一乘”，“求一除”，其歌訣為：“五六七八九，倍之數不走，二三須當半，遇四兩折扭。倍折本從法，實即反其有，用加以代乘，斯數足可守。”對于不同位數的乘數、被乘數，楊輝總結出不同的計算方法共六種：單因、重因、身前因、相乘、重乘、損乘，這些捷法的要點在于化多位數相乘為一位數連乘，化乘法為加減法，籍以提高計算效率。

對于除法簡便運算，楊輝叙述了“九歸捷法”，在當時流行的四句“古括”的基礎上，他添注三十二句新口訣，将九歸歌訣精簡為三類。在此基礎上逐步發展成為珠算中的歸除法。《田畝比類乘除捷法》上卷為《詳解九章算法》方田章的繼續，但所據各田的比類并無重複，不為《九章》框框所限，舉例更加切合實際；下卷主要是對《五曹算經》的批評，認為該書中有些題目法草公式不合，題問概念不清，“方五斜七”施諸田畝有失精确等，首開對前輩算家的批判之風，後明代王文素、程大位等算家亦行效仿。在《田畝比類乘除捷法》中楊輝還引用劉益《議古根源》中的不少問題，計有直田十問，方田圓田一問，重修議古截田八問，錢田三問；同時還引用他所掌握的台州、黃岩圍量田之實例，保存了宋代的數學史料。《續古摘奇算法》卷上論縱橫圖，古法有“九宮”，唐後稱“洛書”，楊輝始創“縱橫圖”，即幻方。卷上作縱橫圖十三幅，其中有：洛書數，花十六圖，花十六陰圖，五五圖，五五陰圖，六六圖，六六陰圖，衍數圖，衍數陰圖，易數圖，易數陰圖，九九圖，百子圖。此外還錄有聚五圖，聚六圖，聯八圖，攢九圖，八陣圖，連環圖，為縱橫圖衍化發展而得。楊輝還略述了某些縱橫圖的構造方法，如洛書造法，四四陰圖的易換術等，發現并概括了縱橫圖的構成規律，是幻方史研究的珍貴資料。

該書卷下說《海島》，有一定價值。《續古摘奇算法》乃楊輝編輯成書，非精心自著，故内容蕪雜。體例不一，卷上将六十甲子納音的計算作為數學而收入，顯得不倫不類，《楊輝算法》對後世頗有影響，并流傳到日本、朝鮮。其價值在于總結發展了唐宋間的各類捷算法，提供了數學教育的史料，保存了一批宋朝數學史料。《楊輝算法》版本有明洪武十一年(1378)古杭勤德書堂刊本，現存北京圖書館的是朝鮮李朝世宗十五年(1433)的複刻洪武本；1842年《宜稼堂叢書》本；1936－1939年商務印書館《叢書集成初編》本。