反比例函數的解題策略：面積問題與面積法
反比例函數策略（三）
——面積問題與面積法
今天隻談與反比例函數“自帶”的“面積模型”和與反比例函數相關的“面積法”。
一、反比例函數中的“面積模型”
反比例函數是“自帶”“面積模型”的！
常言：“龍生龍，鳳生鳳”，發比例函數一旦誕生，就“自帶”貴族氣質——“自帶”“面積模型”。反比例函數就是這麼“任性”！
（一）反比例函數圖像上的坐标矩形與坐标三角形的面積（以下部分内容選自《沙場秋點兵》）
1、如圖1，若反比例函數解析式為y=x/k，則；S矩形OBAC=|k|；
2、如圖2，若反比例函數解析式為y=x/k，則；S△OAB=1/2·|k|。
關于這兩個結論的證明，自然不用贅述，關于這兩個結論的靈活應用，則更是儀态萬千，手頭有《沙場秋點兵》的話，上面有許多練習，自己練練。也可從本公衆号找到去年推送的文章——反比例函數中的面積問題》自己打印練習......
（二）反比例函數中的三角形與等積梯形
1、如圖3，若反比例函數解析式為y=k/x，則；S△OAB=S梯形BCDA；
2、如圖4，若反比例函數解析式為y=k/x，則（1）S△OAB=S梯形CDEA；（2）
CD2=EB·EA；
這兩個結論，其實是前面結論的更進一步，但是，已經有些同學不太好理解了。其證明如下：
1、如圖3，易知S△BOC=S△AOD=1/2·|k|，∴S△AOM=S梯形ADCM，∴S△BOM+S△ABM=S梯形ADCM+S△ABM，即S△AOB=S梯形BCDA；
2、如圖4，易知S△COD=S△BOE=1/2·|k|，∴S△COM=S梯形BEDM，則（1）S△COM+S△梯形ABMC=S梯形BEDM+S梯形ABMC，即S△AOB=S梯形BEDM；（2）易知CD·OD=BE·OE，∴BE:CD=OD:OE=CD:AE，即CD2=EB·EA。
（三）過雙曲線上兩點的矩形或直角三角形
如圖5：
1、S△OAP=S△OPB=1/2(S矩形OCPD-|k|）；
2、（1）PB：BD=PA：AC；（2）AB∥CD；
這兩個結論的證明不算太難：
1、∵矩形PCOD，∴△PCO≌△PDO，則S△PCO=S△PDO，由（一）知，S△ACO=S△BDO=1/2·|k|，∴S△OAP=S△OPB=1/2(S矩形OCPD-|k|）；
2、∵S△ACO=S△BDO，S△OAP=S△OBP，∴PB·OD=PA·OC，BD·OD=AC·OC；∴PB：PA=AC：BD=OC:AD，則PB:BD=PA:AC，∴AB∥CD；
二、“面積法”在建立反比例函數線段模型中的作用
“面積法”是一個古老而又新興的話題，從古老的“勾股定理”的證明，到現在的計算機證明，“面積法”有時候起着化腐朽為神奇的絕妙作用。有些題目，用常規解法比較麻煩，而用“面積法”則簡潔明了。簡單的來說：運用面積公式、面積之間的和差關系、積的不變性等來解決問題的方法統稱為面積法（若有時間，再單獨探讨）。在解決反比例函數的相關問題時，靈活運用“面積法”，也能得出一些常見的線段基本模型。
（一）同一象限内反比例函數圖像上兩點連線的平行線
1、如圖6，過反比例函數y=k/x上兩點A、B，分别作坐标軸的垂線，垂足為C、D，則AB∥CD；
2、如圖7，過反比例函數y=k/x圖像上的點A、B分别向兩條坐标軸作垂線，垂足分别為E、F、C、D，則AB∥CD∥EF；
對于1中的結論，可以仿照圖5中2的證法。也可以在圖7中，一次性予以證明。我們從證明中可以體會到“面積法”的神奇作用。
如圖8，連接AF、BE、AC、BD，則S△ADC=S△BCD=1/2·|k|，∴AD·CM=BC·DM，即AD:DM=BC:CM，則AB∥CD；且易知∴S△BEF=S△AEF=1/2·|k|，根據等底等高的三角形面積相等，則△BEF和△AEFEF邊上的高相等，則AB∥EF。∴AB∥CD∥EF。
根據這裡兩個結論，我們進而可以得到下面的結論：
（二）一次函數被反比例函數所截得到的等線段
1、如圖9，若一次函數y=k1x+b與反比例函數y=k2/x交于點A、B，與坐标軸交于點C、D，則AC=BD；
2、如圖10，若一次函數y=k1x+b與反比例函數y=k2/x交于點A、B，與坐标軸交于C、D，則AC=BD；
如圖11、圖12，分别過點A、B作AM⊥y軸于點M，BN⊥x軸于點N，連接MN。運用面積法，仿照（一）中的證明方法，易證明MN∥AB，則易證明四邊形BDMN和四邊形ACNM是平行四邊形，∴在圖11中，AC=MN=BD。在圖12中，AM=NC，DM=BN，則易證△ADM≌△CBN，則AD=BC。
三、“反比例函數的面積模型”和“面積法”在解決反比例函數問題中的作用
例1、如圖13，在平面直角坐标系xOy中，直線AB與x軸、y軸分别交于點A，B，與反比例函數y=k/x（k為常數，且k>0）在第一象限的圖象交于點E，F．過點E作EM⊥y軸于M，過點F作FN⊥x軸于N，直線EM與FN交于點C．若BE:BF=1:m（m為大于1的常數）．記△CEF的面積為S1，△OEF的面積為S2，則S1:S2=．（用含m的代數式表示）——選自《沙場秋點兵》反比例函數的常見模型
解析：易證明△BME∽△FCE∽△FNA，且易知BE=AF，則BE:EF=ME:MC=AF:EF=NF:FC，∵BE:BF=1：m，則BE:EF=1：（m-1）;∴ME:EC=NF:FC=1：（m-1）.如圖14，作EH⊥x軸于點H，設NF=1，NC=EH=m，則FC=m-1，設EC=NH=n,易知S△EOF=S梯形EHNF，即S2=1/2·(FN+EH)·HN=1/2·(m+1)·n；,S1=1/2·FC·EC=1/2·（m-1）·n,∴S1:S2=（m-1）:(m+1).
例2、如圖15，已知梯形ABCO的底邊AO在x軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過點C的雙曲線y=k/x交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面積等于3，則k的值（）——選自《沙場秋點兵》反比例函數中的面積問題
A. 2 B.3/4 C.24/4D.無法确定
解析：如圖16，作DF⊥y軸于點F，DE⊥y軸于點E，則易知S△OBC=S梯形DFEB，∵OD：DB=1：2，∴OD:OB=1:3，則S△ODG:S△ODE=1:9，∴S△ODF：S梯形DFEB=1:8，即S△OCE：S△OBC=1:8，∴k/2：3=1:8，解得k=3/4選B。
例3、如圖17，兩個反比例函數y=k1/x和y=k2/x（其中k1＞0＞k2）在第一象限内的圖象是C1，第二、四象限内的圖象是C2，設點P在C1上，PC⊥x軸于點M，交C2于點C，PA⊥y軸于點N，交C2于點A，AB∥PC，CB∥AP相交于點B，則四邊形ODBE的面積為（）——選自《沙場秋點兵》——反比例函數中的面積問題
A.|k1﹣k2| B.K1/|k2| C.|k1·k2|D.k22/k1
解析：設OM=a，PM=NO=b，MC=c，OE=d，∵OM·PM=ab=k1，OM·MC=OE·ON=ac=bd=-k2，∴c=-k2/a,d=-k2/b，∴S矩形ODBE=cd=
k22/ab=k22/k1，選D
三、關于反比例函數面積問題的一個最值問題
關于反比例函數的最後一個問題：
如圖18，點P為反比例函數y=k/x的圖像上一動點，經過點P作x、y軸的垂線PC、PD，當四邊形PDOC為正方形時，周長最小；
這個結論的證明，也很有意思。要用到一個不等式：a+b≥2√a·√b（你會證明嗎？）。
我們知道，反比例函數圖像上任意一點，向坐标軸“做雙垂”構成的坐标矩形的面積為定值|k|。我們不妨設這個坐标矩形的長為a，寬為b，即a·b=|k|.根據a+b≥2√a·√b，即a+b≥2√k|，當且僅當a=b時，取等号，∴當且僅當a=b是，a+b最小，即當矩形為正方形時，周長最小！
反比例函數和“面積”居然有如此多的的淵源啊！如果您對反比例函數的“策略一”和“策略二”還有印象的話，你會發現，“根據反比例函數圖像上任一點的縱橫坐标之積為定值”這一結論，居然如此之重要！既是“數形結合”，又是“構造方程”，還是“面積問題”！
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